5.1. Определение особых точек. Вид ряда Лорана в окрестности И.О.Т.

1) Точка z0

называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел

lim f (z) = A .

z→z0

2) Точка z0

называется полюсом, если lim f (z) = ¥ , т.е. | f (z) |→ ∞ при z ® z0 .

z→z0

3) Точка z0

называется существенно особой точкой, если lim f (z) не существует.

z→z0

Вид ряда Лорана в окрестности изолированной особой точки зависит от характера

особой точки. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы z0 была устранимой особой точкой функции f(z) необхо-

димо и достаточно, чтобы разложение f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0

не содер-

жало главной части.

Необходимость.

Если

z0 устранимая особая точка, то из существования конечного

предела

lim f (z) = A

следует,

что функция f(z)

ограничена в окрестности точки z0 , т.е.

z→z0

| f (z) |£ M , z Îuzδ .

0

Запишем

формулу

для

вычисления

коэффициентов

ряда

Лорана

1

!ò

f (η)dη

±2 .

Пользуясь произвольностью выбора радиуса окружности

cn =

, n = 0,±1,

2πi

(η - z0 )

n+1

γρ

γρ , возьмем 0 < ρ < δ . Имеем,

| f (η) |≤ M ,

то

2π

| c |£

M

ρdϕ

= Mρ−n ,

n

2π ò0 ρn+1

т.е.

| c

|£ M ×ρn (n =1,2,3,K).

−n

При ρ ® 0, | cn |® 0 , следовательно все c−n = 0, n =1,2,3,K .

∞

Достаточность. Если c−n = 0, n =1,2,3,K , то

f (z) = åcn (z - z0 )n , и существует конеч-

ется аналитической функция

g(z) =

1

, для которой

lim g(z) = 0 . Следовательно z –

f (z)

z→z0

0

устранимая точка для g(z). Положив

g(z0 ) = 0 , получим, что

z0

является нулем функции

g(z). Обратно, если g(z) имеет в точке z = z0

нуль; то функция

f (z) =

1

аналитична в не-

g(z)

которой окрестности точки z0 ; очевидно, f(z) имеет в этой точке полюс.

1

Условимся называть порядком полюса порядок нуля z функции g(z) =

. Напом-

0

f (z)

ним, что число z0

является нулем порядка n функции если она представляется в окрестно-

сти этой точки

в виде

f (z) = (z - z0 )n φ(z) , где

φ(z) ¹ 0 ,

при

z = z0 .

Функция

φ(z) = cn + cn+1(z - z0 ) +K, φ(z0 ) = cn ¹ 0,φ(z)

– аналитическая функция как сумма сходящего-

ся ряда аналитических функций. Очевидно, что порядок нуля z0

можно определить также

как порядок наименьшей отличной от нуля производной

f (n) (z0 ) .

Теорема 2. Для того, чтобы точка z0

была полюсом функции f(z), необходимо и дос-

таточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции f(z) в окрестности z0

содержала лишь

конечное число членов:

c−1

∞

c−n

k

f (z) =

+K+

+ åck (z - z0 )

.

(5.1)

(z - z0 )

n

(z - z0 )

k=0

Необходимость. Пусть z

- полюс порядка n функции f(z). Тогда функция g(z) =

1

,

0

f (z)

имеет в точке z0

нуль порядка n и может быть представлена в окрестности точки z0

в ви-

де g(z) = (z - z0 )n φ(z) , где φ(z)

аналитическая и φ(z0 ) ¹ 0 .

В этой окрестности

1

1

1

f (z) =

=

×

.

(5.2)

g(z)

(z - a)n

j(z)

Но функция

1

аналитическая в некоторой окрестности точки

z0 , следовательно рас-

j(z)

1

= c

+ c

−n+1

(z - z

0

) + c

(z - z

0

)2 +K+ c (z - z

0

)n +

j(z)

−n

−n+2

0

+c (z - z

0

)n+1

+K,

1

Достаточность. Пусть теперь,

в некоторой окрестности U R

точки z имеет место

z

0

разложение (5.1), причем c−n ¹ 0 .

0

Тогда функция j(z) = (z - z

0

)n f (z), j(z

0

) = c

в круге | z - z

0

|< R

представляется рядом

Тейлора

−n

j(z) = c−n + c−n+1(z - z0 ) +K,

(5.3)

а,

следовательно,

является

аналитической. Так как

lim j(z) = c−n ¹ 0 , то

z→z0

lim

f (z) = lim

j(z)

= ¥ , точка z

0

– полюс порядка n функции f(z).

z→z0

z→z0 (z - z0 )n

æ

1

ö

1

эквивалентно поведению функции j(η) = f ç

÷

, где

z =

η

в окрестности нуля.

è

η ø

1) f (z) =

ez -1

;

2) f (z) =

z +1

;

z

z4

1

1

3) f (z) = e

z2

;

4) f (z) =

.

ez -1

Решение. 1) В первой задаче особая точка

z0 = 0 . Для исследования характера точки

воспользуемся разложением функции ez в ряд по степеням z:

ez -1 =1+

z

+

z2

+K +

zn

+K -1 =

z

+

z2

+K +

zn

+K = z ×j(z) ,

n!

1!

2!

1!

2!

n!

где j(z) =1+

z

+

z2

+K – аналитическая функция и j(0) ¹ 0 , поэтому

2!

3!

lim f (z) = lim

ez

- z

= lim

z ×j(z)

= lim j(z) =1 ,

z

z

z→0

z→0

z→0

z→0

таким образом, установлено, что z0 = 0 – устранимая особая точка.

2)

Особая

точка z0 = 0 .

Для выяснения

характера точки, построим функцию

g(z) =

1

=

z4

, отсюда следует, что z

= 0 , нуль порядка четыре функции g(z) а следо-

f (z)

(z +

1)

0

1

мнимой осях в окрестности точки z=0. На действительной оси z=x

и f (x) = e

x2

, при

1

1

1

z = iy, f (iy) = e−

,

lim e−

= 0 . Следовательно,

x ® 0 e

® ¥ . На мнимой оси

y2

y2

предел f(z)

x2

y→0

при z → 0 , не существует, точка z0 = 0 - существенно особая точка.

1

4) Изолированные особые точки этой функции это нули функции

g(z) =

= ez -1 .

f (z)

Решим уравнение e

z

=1, zk

= 2kπi , т.к.

¢

z

¹ 0 , при z = zk , следовательно zk

- простые

g (z) = e

полюса (полюса первого порядка).

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Определить характер особых точек

1

1

1

1

а)

;

б)

;

в)

;

г) e z+2 ;

z - sin z

e2z

+ i

1- sin z

−

1

p

1- sin z

sin z

2

д) e

z

;

е) sin

;

ж).

;

з)

;

z +

1

cos z

z3

л) доказать, что lim

f (z)

= lim

f ¢(z)

, если

f (z

0

) = g(z ) = 0 .

z→z0 g(z)

z→z0 g¢(z)

0

выч [ f (z); z = z0 ] =

1

lim

d n−1

((z - z0 )n f (z)) ,

(5.4)

dzn−1

(n -1)! z→z0

[ f (z); z = z0 ] = lim (z - z0 ) f (z) .

(5.5)

z→z0

Если в окрестности точки z0

функция f(z) является отношением двух аналитических в

этой точке функций f (z) =

j(z)

причем j(z0 ) ¹ 0, ψ(z0 ) = 0, ψ′(z0 ) ¹ 0 , то формулу (5.5) мож-

ψ(z)

но заменить следующей:

[ f (z); z = z0 ] = lim

j(z)(z - z0 )

=

ψ(z)

выч = lim

z→z0

(5.6)

j(z)

=

j(z0 )

,

ψ(z) - ψ(z0 )

z→z0

ψ¢(z0 )

1. f (z) =

ez

,2.

f (z) = z2 ×sin

1

,

3. f (z) =

z3

.

z

(z -1)2

1- z

Решение. 1)

Особая точка

z0 =1, полюс первого порядка, т.к. z0 =1 нуль первого по-

рядка функции g(z) =

1

. Найдем вычет по формуле (10.3):

f (z)

выч[ f (z); z

æ

ez

ö

æ ez

ö

= -e .

0

=1] = ç

÷

= ç

÷

ç

¢ ÷

ç

÷

è (1- z)

øz=1

è -1

øz=1