Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лесев.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

916.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

470.

Проверить,

принадлежат

ли

прямые

x - 4

y + 2

x + 1

y + 1

z - 5

плоскости x - 2 y - 1 = 0 .

Тестовые задания к четвертой главе.

Задание { 1 }.

Уравнение плоскости,

проходящей через данную точку пер-

(A; B; C ), имеет вид:

пендикулярно вектору n

- : Ax + By + Cz = 0 ,

- : A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) + D = 0 ,

- : Ax + By + Cz + D = 0 ,

- : A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 .

Задание { 2 }. Общее уравнение плоскости имеет вид:

- :

= 0 ,

- :

= 1,

- : Ax + By + Cz + D = 0 ,

- : Ax + By + Cz = 0 .

Задание { 3 }. Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид:

- :

= 1,

- :

= 0 ,

- : Ax + By + Cz = 0 ,

- : Ax + By + Cz + D = 0 .

Задание { 4 }. Нормальное уравнение плоскости имеет вид:

- : Ax + By + Cz + D = 0 ,

- :

x cos a + y cos b + z cos g = 1 ,

- : Ax + By + Cz = 0 ,

- :

x cos a + y cos b + z cos g = p .

Задание { 5 }.

Общее уравнение плоскости проходящей через начало коор-

динат имеет вид:

- : Ax + By + D = 0 ,

- : D + By + Cz = 0 ,

- : Ax + By + Cz = 0 ,

- : Ax + By + Cz + D = 0 .

Задание { 6 }.

Общее уравнение плоскости проходящей через ось аппликат

имеет вид:

- : Ax + By = 0 ,

- : Ax + Cz = 0 ,

- : By + Cz = 0 ,

- : Ax + By + Cz = 0 .

Задание { 7 }.

Общее уравнение плоскости проходящей через ось ординат

имеет вид:

- : Ax + By = 0 ,

- : Ax + Cz = 0 ,

- : By + Cz = 0 ,

- : Ax + By + Cz = 0 .

Задание { 8 }.

Общее уравнение плоскости проходящей через

ось абсцисс

имеет вид:

- : Ax + By = 0 ,

- : Ax + Cz = 0 ,

- : By + Cz = 0 ,

- : Ax + By + Cz = 0 .

106

Задание { 9 }.

Условие

перпендикулярности

двух

плоско

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2

= 0

имеет вид:

- :

- : A A + B B + C C

= D D ,

107

- :

= 1 ,

- : A A + B B + C C

= 0 .

Задание { 10 }.

Условие

параллельности

двух

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2

= 0

имеет вид:

- :

= 1 ,

- :

- : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = D1D2 ,

- : A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

Задание { 11 }.

Уравнение

плоскости,

проходящей

через

точкиA(2;3;1),

B(3;1;4), C(2;1;5), имеет вид:

- : x + 2 y + z - 9 = 0 ,

- : x - 2 y - z + 9 = 0 ,

- : x + 2 y + z + 9 = 0 ,

- : x - 2 y + z - 9 = 0 .

Задание { 12 }.

Уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки A(2;0;-1),

B(- 2;4;1), C(0;2;-1), имеет вид:

- : x + z - 2 = 0 ,

- : x - z + 9 = 0 ,

- : x + y - 2 = 0 ,

- : x - y + 9 = 0 .

Задание { 13 }. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и

точки A(2;1;1),

B(- 3;0;4), имеет вид:

- : 4x + 11y - 3z = 0 ,

- : 4x - 11y + 3z = 0 ,

- : 4x + 11y + 3z = 1 ,

- : 4x + 11y + 3z = 0 .

Задание { 14 }.

Уравнение

плоскости, проходящей через точку A(3;5;-7) и

отсекающей равные отрезки на осях координат, имеет вид:

- : x + y + z = 4 ,

- : x + y + z = 3 ,

- : x + y + z = 2 ,

- : x + y + z = 1 .

Задание { 15 }.

Уравнение плоскости, проходящей через точку A(1;1;2) и отсе-

кающей отрезки, равные 5 и –7 на осях Ох и Оу соответственно, имеет вид:

- : 14x - 10 y + 33z = 70 ,

- : 14x - 10 y + 33z = 50 ,

- : 14x - 10 y + 33z = 30 ,

- : 14x - 10 y + 33z = 10 .

Задание { 16 }.

Расстояние

точки A(7;-1;2)

от

плоскости

x + 2 y - 2z + 5 = 0 равно

- : 1,

- : 2,

- : 3,

- : 4.

Задание { 17 }.

Расстояние точки A(3;5;1) от плоскости x + 2 y - 2z + 5 = 0

равно

- :

108

- :

Задание { 18 }.

Расстояние точки A(2;0;4) от плоскости 2x -

y + 3z = -4

равно

- : 9,

- : 7,

- : 5,

- : 3.

Задание { 19 }.

Расстояние

точки A(3;9;1)

от

плоскостиx - 2 y + 2z = 3

равно

- :

Расстояние точки A(

3;1;1)

Задание { 20 }.

от плоскости, проходящей через

3;2;3), равно

начало координат перпендикулярно вектору n = (

- : 2,

- : 3,

- : 4,

- : 1.

точкиA(2;3;1),

Задание { 21 }.

Уравнение

прямой,

проходящей

через

B(4;6;9), имеет вид:

- :

x - 2

y - 3

z - 1

- :

x + 2

y + 3

z + 1

- :

x - 2

y - 3

z - 1

- :

x + 2

y + 3

z + 1

Задание { 22 }.

Уравнение

прямой,

проходящей

через

точкиA(7;-1;2),

B(5;1;4), имеет вид:

- :

x - 7

y + 1

z - 2

- :

x + 7

y - 1

z + 2

- 2

- :

x - 7

y + 1

z - 2

- :

x + 7

y - 1

z + 2

Задание { 23 }.

Уравнение

прямой íìx - 2 y + 4z = 0,

записанное в пара-

î3x - 2 y + 5z = 0,

метрической форме, имеет вид:

- : x = t, y = 4t, z = 7t ,

- : x = 2t, y = -7t, z = 3t ,

- : x = -t, y = 4t, z = -7t ,

- : x = -2t, y = 7t, z = 4t .

109

Задание { 24 }.																												Уравнение прямой íìx + y - z + 5 = 0,																																	записанное в			па-
																																			î2x - y + 2z - 2 = 0,
раметрической форме, имеет вид:
- : x = t, y = -4t, z = -3t ,																																			- : x = t, y = -8 - 4t, z = -3 - 3t ,
- : x = -t, y = -8t, z = -3t ,																																			- : x = 1 - 2t, y = 3 - 8t, z = -8 - 3t .
Задание { 25 }.																												Направляющие							косинусы cos a, cos b, cos g ,																												прямой
	x - 1					=					y - 5											=								z + 2				, соответственно равны:
4						=																=												, соответственно равны:
4								- 3																	12
- :				1		,			4					, -						5							,								- :	7			,			9				,				11					,
- :						,								, -													,								- :				,							,									,
13								13										13																	13					13								13
- :				4		, -						3					,			12								,							- :	3			,			4				, -							5						.
- :						, -											,											,							- :				,							, -													.
13								13										13																	13					13											13
Задание { 26 }.																												Направляющие							косинусы cos a, cos b, cos g ,																												прямой
	x		=					y - 7								=								z + 3									, соответственно равны:
12			=					9								=																	, соответственно равны:
12								9																	20
- :				12			,			9					,			20						,											- :	3					,		5						,		7						,
- :							,								,			25						,											- :						,		25						,		25						,
25								25										25																	25								25								25
- :				4			, -						3								,		12						,						- :	7					,		3						,		16						.
- :							, -														,								,						- :						,		25						,		25						.
25								25										25																	25								25								25
Задание { 27 }.																												Направляющие							косинусы cos a, cos b, cos g ,																												прямой
	ì5x - 6 y + 2z + 21 = 0,
í																																		соответственно равны:
	îx - z + 3 = 0,
- :				6			,			7					,			6						,											- :	6		,			7				,				6				,
- :							,								,			25						,											- :			,							,								,
25								25										25																	11					11								11
- :				6		, -						7					, -									6					,				- : -		6					,		7								,		6						.
- :						, -											, -														,				- : -							,										,								.
13								13																	13										31								31								31
Задание { 28 }.																												Косинус угла							между прямыми												x - 1									=					y + 2	=	z - 5	и
Задание { 28 }.																												Косинус угла							между прямыми																					=					6	=	2	и
	x				y - 3																z + 1																											3													6		2
	x	=			y - 3														=		z + 1											равен
2		=																	=													равен
2								9											73						6																											74
- : cos j = ±																			73						,										- : cos j = ±																	74						,
- : cos j = ±																									,										- : cos j = ±																							,
																		77																																	77
- : cos j = ±																			72						,										- : cos j = ±																	71						.
- : cos j = ±																									,										- : cos j = ±																							.
																		77																																	77

110

Задание { 29 }.

Косинус

угла

между

прямыми

x + 2

y + 4

z +

x - 1

y - 3

равен

- : cos j = ±

Задание { 30 }.

y - 1

z - 1

Угол

образованный

прямыми

x - 1

y - 1

равен

- : 300,

- : 600,

- : 450,

- : 900.

ГЛАВА 5. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.

§1. Понятие функции.

Пусть даны два непустых множества X

и Y . Переменная

y называ-

ется однозначной функцией f

от переменной x в данной области измене-

ния

X = {x}, если каждому значению x Î X

ставится в соответствие одно

определенное действительное значение y = f (x), принадлежащее множеству Y = {y}. Говорят также, что функция f отображает множество X на множество Y . При этом, переменная x называется аргументом или незави-

симой переменной, а у – функцией или зависимой переменной. Функция,

все значения которой равны между собой, называется постоянной. Множество X носит названиеобласти определения или области

существования функции f (x), а Y – множеством значений этой функ-

ции.

В простейших случаях множество X представляет собой или откры-

тый интервал: (a; b), a < x < b или полуоткрытые интервалы: (a; b],

a < x £ b ; [a; b), a £ x < b	или замкнутый интервал (отрезок или сег-
мент): [a; b], a £ x £ b , где	a и b – некоторые вещественные числа или

символы -¥ и +¥ (в последних случаях равенства исключаются).

Пример 1. Администрация планирует организовать торговлю определенным видом товара. Опрос продавцов и покупателей показал, что функция

111

предложения	на товар имеет	вид: Q = 0.5 × 2P + 84 , а функция	спроса–
Q = -0.5 × 2P	+ 116 . Здесь, Q	– дневной объем продаж (шт.); P	– цена

единицы товара (руб/шт). Найти: 1) множество значений функции предложения на интервале цен [1; 6] руб/шт; 2) значение функции спроса при цене

на товар P = 2 руб/шт.; 3) объем продаж при равновесной цене.

Решение: 1) Подставляя значения P = 1 и P = 6 в функцию предложения, получим Q(1) = 85 , Q(6) = 116 . Таким образом, ответ на первый вопрос задачи имеет вид: [85;116].

2) Для ответа на второй вопрос задачи достаточно подставить значение P = 2 в функцию спроса: Q(2) = -0.5 × 22 + 116 = 114 шт.

3) Прежде чем найти объем продаж, необходимо установить равновесную цену товара. Приравнивая правые части функций спроса и предложения, находим P = 5 руб/шт. Теперь, подставляя найденное значение равновесной цены, например в функцию предложения, получим расчетный объ-

ем продаж: Q(5) = 0.5 × 25 + 84 = 100 шт.

Задания.

471.Вычислить f (0), f (1), f (2), f (3), если f (x) = x4 - 6x3 + 11x2 - 6x .

472.Вычислить f (- 1), f (- 0.001), f (100), если f (x) = lg x2 .

473. Вычислить f (0.9), f (0.99), f (0.999), f (1), если f (x) = 1 + [x], где

[x] – целая часть числа x .

Найти области определения (существования) следующих функций:

474.

y = 3x + 3 .

475.

y = x2 + 5x - 6 .

476.

y =

3x - 1

477.

y =

x - 1

1 - x

5x + 6

478.

y = 3x - 1 +

479.

y =

2 - 3x + lg x .

4 - x

480. y = x2 - 4x + 3 .

482. y = 1 - x2 . 484. y = x + cos x .

486. y = tg x .

488. y = log2 (2x - 1).

481. y = . x2 - 4x

483. y = sin 4x .

485. y = ctg x .

487. y = arctg(2x - 1).

489. y = log2 (log3 x).

112

490.	y = log5 (3x - x2 ).								491.		y =				1				.
490.	y = log5 (3x - x2 ).								491.		y =				log2 (1 - 2x)				.
															log2 (1 - 2x)
			cos x												-		1
			cos x												-
492.	y =					.			493.		y = 2 x .
492.	y =	x2 - 5x + 4				.			493.		y = 2 x .
		x2 - 5x + 4
494.	Построить				области изменения переменной x , удовлетворяющей
неравенствам: 1)			\| x \|< 4 ;			2) x2 £ 9 ;			3)	\| x - 4 \|< 1 ; 4)								-1 < x - 3 £ 2 ;
5) x2 > 9 ; 6) (x - 2)2 £ 4 .
495.	Записать неравенствами и построить интервалы изменения пере-
менных: 1) [-1, 3];			2) (0, 4); 3) [-2, 1].																	1
496.	Определить область изменения переменной x = 1 -																			1	, где t при-
496.	Определить область изменения переменной x = 1 -																				, где t при-
нимает любое значение ³ 1 .																				t
нимает любое значение ³ 1 .																		x \|£ 3 графики
В задачах 497-499 построить по									точкам на отрезке\|									x \|£ 3 графики
указанных функций.
497.	1) y = 2x ;				2)	y = 2x + 2 ;			3) y = 2x - 2 .
498.	1) y = x2 ;				2)	y = x2		+ 1;	3) y = x2						- 1 .
	1) y =		x3			y =	x3			y =			x3
499.				;	2)			+ 1 ;	3)							- 1 .
499.			3	;	2)		3	+ 1 ;	3)				3			- 1 .
			3				3						3
500. Построить графики функций: 1)										y =		6		; 2) y = 2x ; 3) y = log2 x .
500. Построить графики функций: 1)										y =				; 2) y = 2x ; 3) y = log2 x .
													x

Какую особенность в расположении этих кривых относительно осей координат можно заметить?

501. Построить на одном	чертеже графики функций: 1) y = sin x ;
2) y = cos x по точкам, в которых	y имеет наибольшее, наименьшее и нуле-

вое значения. Сложением ординат этих кривых построить на том же чертеже график функции y = sin x + cos x .

502. Найти корни x1 и x2 функции y = 4x - x2 и построить ее график на отрезке [x1 - 1, x2 + 1] .

503. Построить графики функций: 1) y =| x | ; 2) y = - | x - 2 | ;

3)y =| x | -x .

Взадачах 504-507 найти области определения вещественных значений функций и построить их графики.

504. 1)

y =

x + 2 ;

2) y =

9 - x2 ;

3) y = 4x - x2 .

505. 1)

y =

;

2) y = arcsin

x - 1

- x

4 + x

113

506.

y =

x (2 ± x )

;

y = ± x

4 - x

y = -

x 16 - x2

507.

y = -

2 sin x ;

508. l)

f (x) = x2 - x + 1; вычислить f (0), f (l), f (–l), f (2), f (a+1);

2) j(x)

2x - 3

3 ö

æ 1

; вычислить j(0), j(-1), jç

÷, jç

÷,

x2 + 1

j(x)

è x

F (x) = x

F (b) - F (a)

æ a + h ö

æ a - h ö

509.

; вычислить: 1)

; 2)

Fç

- Fç

÷ .

b - a

510.

f (x) = x2 , j(x) = x2 ; вычислить

f (b) - f (a)

j(b) - j(a)

511.F (x, y) = x3 - 3xy - y2 , вычислить F(4, 3) и F(3, 4).

512.Функция f (x) называется четной, если f (-x) = f (x) ; нечетной, если f (-x) = - f (x) . Указать, какие из следующих функций четные и какие нечетные:

f (x) =

sin x

;

j(x) =

a x

- 1

;

F (x) = a x +

;

a x

+ 1

a x

F(x) = a x -

;

Y(x) = x sin 2

x - x2 ;

f (x) = x + x2 .

a x

513. Середина любой хорды графика некоторой функции f (x) лежит выше графика этой функции. Записать это свойство функции неравенством. Проверить, что этим свойством обладает функция f (x) = x2 .

514.	Какая из элементарных функций обладает		свойствамиf (1) = 0 ,
f (a) = 1 , f (xy) = f (x) + f ( y) ?			свойствамиf (0) = 1 ,
515.	Какая из элементарных функций обладает
f (1) = a , f (x + y) = f (x) f ( y) ?
516.	Построить области изменения переменной x , удовлетворяющей
неравенствам:
1) \| x \|< 3 ; 2) x2 £ 4 ; 3) \| x - 2 \|< 2 ; 4) (x - 1)2 £ 4 .
517.	Определить область изменения переменной x = 2 +			1	, где t при-

нимает любое значение ³ 1 .				t

518. Построить графики функций:
	x3
1) y = 4 -		на отрезке \| x \|£ 2 ;
	2

114

2) y = 3,5 + 3x - x2 между точками пересечения с осью абсцисс.

519.

Построить графики функций:

y = x - 4 +

x - 2

на отрезке [-2, 5];

y = 1 - cos x на отрезке | x |£ 2p .

520.

Построить графики функций: 1)

y = -

; 2) y = 2-x .

521.

Найти области определения вещественных значений функций:

y = 4 - x2 ;

2) y =

;

x + 1

3 - x

y = 1 -

2 cos 2x ;

4) y =

и построить их графики,

1 +

x2 - 4

2x + 1

522.

1) Для функции

f (x) =

вычислить f (0), f (–2), f (–1/2),

x2 + 1

f (x - 1), f (1/2);

для функции j(x) = x3 вычислить

j(x + h) - j(x - h)

;

для функции f (x) = 4x - x2 вычислить

f (a + 1) - f (a - 1) .

§2. Пределы последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие.

Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, K по некоторому зако-

ну поставлено в соответствие число xn . Тогда говорят, что этим определена

числовая последовательность x1 , x2 , x3 ,… Кратко последовательность обозначается в виде {xn } = {x1 , x2 , x3 ,...} или xn , n Î N . Отдельные числа последовательности {xn } называются ее элементами. Говорят еще, что переменная xn пробегает значение последовательности {xn } .

Число A называется пределом последовательности {xn } , если для любого e > 0 найдется такое натуральное числоN , что для всех n > N выполняется неравенство xn - A < e .

Если последовательность {xn	} имеет предел A , то пишут lim xn = A
	n ®¥

или xn ® A . В этом случае, последовательность называется сходящейся.

115

Если, в случае числовой последовательности{xn }, существует такое
число M > 0 , что для " n Î N выполняется неравенство			xn	£ M , то такую
число M > 0 , что для " n Î N выполняется неравенство			xn	£ M , то такую
последовательность называют ограниченной.
Последовательность {xn }	называется бесконечно			малой,	если
lim xn = 0 .
n ®¥
Последовательность {xn }	называется бесконечно	большой, если			для
любого M > 0 существует такое натуральное число N (M ),				что для любого

n > N верно неравенство xn > M . Для бесконечно большой последователь-

ности пишут lim xn = ¥ и говорят, что ее пределом является бесконечность.

n ®¥

Перейдем к определению предела функции. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точкиx0 , кроме, быть может, самой

точки x0 .

Существует два эквивалентных определения

(по Гейне): Число A называется пределом функции y = f (x) в точ-

ке

x0 , если для любой последовательности допустимых значений аргумента

xn ,

n Î N (xn ¹ x0 ),

сходящейся к x0 , последовательность соответствую-

щих значений функции

f (xn ), n Î N , сходится к числу A ;

(по Коши): Число A называется пределом функции y = f (x) в точ-

ке

x0 , если для любого числа e > 0

существует такое числоd (e ) > 0 , что

при всех x ¹ x0 , удовлетворяющих

условию

x - x0

< d , выполнено нера-

венство

f (x) - A

< e .

Если число A является пределом функции f (x)

в точке x0 , то пишут

lim f (x) = A или f (x) ® A при x ® x0 .

x ® x0

В определении предела функции считается, что

x стремится к x0 лю-

бым способом. Но бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к точке x0 существенно влияет на значение предела. Поэтому вводят следующие понятия.

Число A называется пределом функции y = f (x) слева в точке x0 , если для любого числа e > 0 существует такое число d (e ) > 0 , что при всех

x Î (x0 - d; x0 )	выполнено неравенство	f (x) - A	< e . Предел слева обозна-
x Î (x0 - d; x0 )	выполнено неравенство	f (x) - A	< e . Предел слева обозна-
чают через lim	f (x).

x ® x0 - 0

116

Число A называется пределом функции y = f (x) справа в точке x0 , если для любого числа e > 0 существует такое число d (e ) > 0 , что при всех x Î (x0 ; x0 + d ) выполнено неравенство f (x) - A < e . Предел справа обо-

значают через lim f (x).

x ® x0 + 0

Пределы функции слева и справа называютсяодносторонними пре-

делами.

Функция y = f (x) имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, ко-

гда существуют оба односторонних предела и они равны.

Понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций вводятся аналогично понятиям для последовательностей.

В заключении следует отметить, что понятие предела в математике тесно связано с различными понятиями в экономике. Приведем пока лишь два примера из микроэкономики: 1) Предельный доход (marginal revenue – MR) – приращение дохода, которое возникает за счет бесконечно малого увеличения выпуска продукции; причем, если MR=P, где P – цена, то в условиях совершенной конкуренции это означает, что эластичность спроса по цене бесконечно велика. 2) Предельные издержки (marginal cost – MС) – приращение совокупных издержек, вызванное бесконечно малым увеличением производства.

Задания.

523. Полагая n = 1, 2, 3, K, написать последовательности значений переменных:

	1		1	æ		1	ön
a =		, a = -		, a = ç	-		÷ .
a =	2n	, a = -	2n	, a = ç	-	2	÷ .
	2n		2n	è		2	ø

Начиная с какого n модуль каждой из переменной сделается и будет

оставаться меньше 0,001, меньше данного положительного e ?
524.		Написать	последовательность	значений	переменно
x = 1 +	(-1)n	. Начиная с какого n модуль разности x - 1 станет и будет
x = 1 +	2n + 1	. Начиная с какого n модуль разности x - 1 станет и будет
	2n + 1

оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного e ?

525.Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1, потом 0,01

ит.д. записать «десятичными» последовательностями приближения пере-

менной к пределу: xn ® 3 + 0 , xn ® 3 - 0 .

117

526. Записать «десятичными» последовательностями приближения переменных к пределам: xn ® 5 + 0 ; xn ® 5 - 0 ; xn ® -2 + 0 ; xn ® -2 - 0 ; xn ® -1 + 0 ; xn ® -1 - 0 ; xn ® -1, 2 + 0 ; xn ® -1, 2 - 0 .

527. Доказать, что lim x2 = 4 . Пояснить таблицами значений x и x2 .

x ®2

528.	Доказать,	что	lim (2x - 1) = 5 . По данному числу e > 0 найти
			x ®3
наибольшее число d		> 0 такое, чтобы при любом x		из d -окрестности числа
3 значение	функции	y = 2x - 1 оказалось в e -окрестности			числа 5. Пояс-
нить графически.
529.	Доказать,	что	lim (3 - 2x - x2 ) = 4 . Из	какой	наибольшей d -
			x ®-1

окрестности числа -1 нужно взять значение x , чтобы значение функции

y= 3 - 2x - x2 отличалось от ее предела меньше чем на e = 0, 0001 ?

530.Доказать, что sin a , есть бесконечно малая при a ® 0 .

Указание. Построить чертеж и показать, что | sin a |<| a | .

531.

Доказать, что lim

sin x = sin a .

x ®a

Указание. Положив

x = a + a ,

составить разность sin x - sin a и

затем положить a ® 0 .

3x + 4

532.

Доказать, что

lim

= 3 . Пояснить таблицами значений x

3x + 4

x ®¥

, при x=1, 10, 100, 1000,...

4x - 3

533.

Доказать, что

lim

= 2 . При каких x

значения функции

x ®¥

2x + 1

будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001?

534.

Доказать, что

lim

1 - 2x2

= -0,5 . При каких x значения функ-

2 + 4x2

x ®¥

ции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?

535.

Доказать,

что

lim0,333...3 =

составив

разности

- 0,3 ;

n ®¥14243

n знаков

- 0,33 ;

- 0,333

;

- 0,333...3 .

14243

n знаков

536.

Написать последовательности:

xn =

;

2) xn

= -

;

3) xn =

(-1)n n

;

n + 1

118

8 cos n

2n + (-1)n

4) xn

;

xn = 2-n a cos pn .

n + 4

Существует ли

lim

в каждом примере и чему он равен?

n ®+¥

537.

Найти

lim

и lim

и пояснить таблицами.

n ®2 +0 x - 2

n ®2 -0 x - 2

538.

Найти

lim

21 / x

lim 21 / x

и пояснить таблицами.

n ®0 +0

n ®0 -0

539.

Выяснить точный смысл «условных» записей:

= 0 ;

= ±¥ ;

3) 3¥ = ¥ ;

4) 3-¥

= 0 ;

5) lg 0 = -¥ ;

6) tg90o = ±¥ .

540.

Показать, что lim

sin x не

существует, составив

последователь-

n ®¥

ности значений sin x :

1) при x = np ;

2) при x =

+ 2pn ;

при

x = -

+ 2pn ,

( n = 0,1, 2, 3, 4, ... ).

541.

Показать, что lim sin

не существует.

x ®0

542.

Показать, что lim

x sin

= 0

при

любом способе приближения

x к 0.

x ®0

радиусаR

543.

В круг

вписан

правильный

многоугольник с числом

сторон n и стороной а. Описав около круга квадрат, показать, что an < e , как только n > 8R / e , т.е. an ® 0 , когда n ® ¥ .

544. Пусть	rn - апофема правильного, вписанного в круг n-угольника.
Доказать, что lim	rn = R , где R - радиус круга.
n ®¥

545.Вершина В треугольника АВС перемещается по прямойВЕ||АС, неограниченно удаляясь вправо. Как будут при этом изменяться стороны треугольника, его площадь, внутренние углы и внешний угол BCD?

546.Написать «десятичные» последовательности приближений пере-

менных	к	пределам: xn ® 4 + 0 ;	xn ® 4 - 0 ;	xn ® -1, 5 + 0 ;
xn ® -1, 5 - 0 .
547. Доказать, что: 1) lim x3 = 27 ;			2) lim(x2 + 2x) = 3 .
		x ®3	x ®1

119

548. Доказать, что lim	5x +	2
548. Доказать, что lim
x ®¥ 2x

5x + 2 - 2, 5 есть бесконечно малая при

таблицей, полагая x= 1, 10, 100, 1000, ...

549. Доказать, что lim cos x = cos a

x ®a

= 2, 5 , показав, что

разность

x бесконечно большом. Пояснить

(cм. задачу 530).

550. Написать последовательности значений переменных:

1) x

1 ön

2) x

= 1 + ç-

÷ ;

(-1)

;

2n sin

3) xn = (-1)n (2n + 1) ;

4) xn =

n + 1

Какая из последовательностей имеет предел при n ® +¥ ?

551. Найти:

lim

;

lim

; 3)

lim

3tg 2 x ; 4)

lim 3tg 2 x ;

x ®1-0 2x -1

x ®1+0 2x -1

x ®

-0

x ®

5) lim

;

lim

;

lim

x ®

+0 1 + 2tg 2 x

x ®

-0 1 + 2tg 2 x

x ®+¥ 1 + a x

552.

Доказать,

что

lim0,666...6 =

составив

разности

- 0,6 ;

n ®¥14243

n знаков

- 0,66 ;…;

- 0,666..6 .

14243

n знаков

553. Пусть an - внутренний угол правильногоn-угольника. Доказать,

что lim an

= p .

n ®¥

справа взята точкаМ на рас-

554. На продолжении

отрезка

AB = a

стоянии BM = x . Найти lim

x ® ¥ BM

§ 3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида

Пусть все данные величины(слагаемые, сомножители, делимое и де-

литель) зависят от одного

аргумента x

и обладают конечными

пределами

(при

x ® x0

или

при x ® ¥ ).

Тогда,

основные

свойства пределов могут

быть представлены равенствами:

1) lim c = c , ( c - const );

120

lim [

f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x);

lim [c ×

f (x)× g(x)] = c × lim f (x)× lim g(x);

lim [

f (x)]n = [ lim f (x) ]n ;

lim

f (x)

lim f (x)

, ( lim g(x) ¹ 0 );

g(x )

lim g(x )

Если для всех значений x

в некоторой окрестности точки x0 , кро-

ме, быть может,

x = x0 , функции

f (x) и j(x)

равны и одна из них имеет

предел при x ® x0 , то и вторая имеет тот же предел.

Последнее

свойство

применяется при

раскрытии

неопределенностей

- a 2

вида

. Например,

= x + a

при любых x , кроме x = a . Сле-

x - a

довательно, согласно свойству lim

x2 - a2

= lim (x + a) = 2a .

x - a

x ®a

x®a

Задания.

Найти пределы:

555. 1) lim

x2 - 4x + 1

;

lim

1 + sin 2x

2x + 1

x ®2

x ®p / 4 1 - cos 4x

556. lim

- 4

(пояснить таблицей).

x - 2

x ®2

557. lim

x - 2

558. lim

x2 - 9

- 3x + 2

x ®2 x2

x ®3 x2 - 2x - 3

Указание. Решить пример 557 двумя способами: 1) полагая x = 2 + a ; 2) разлагая знаменатель на множители.

559. lim tg x . x ®p sin 2x

561. lim . x ®0 1 + 3x - 1

563.lim 3 x - 1 .

x®1 x - 1

560. lim	sin x - cos x	.

x ®p / 4	cos 2x

562.lim ax - x .

x ®a x - a

564. lim 3 1 + mx - 1 .

x ®0 x

Указание. В примере 563 положить x = t 6 , а в примере564

1 + mx = t 3 .

565. lim

1 + x

1 - x

566. lim

1 - tg x

1 + tg x

x ®0

x ®p

sin 2x

121

567. 1) lim		2x	2 - 1		;	2) lim	5x3 - 7x			.
				- 4x
x ®¥ 3x2						x ®¥ 1 - 2x3
Указание. Можно решить двумя способами: 1) разделив числитель и
знаменатель на x		в высшей степени; 2) положив x = 1 / a .
568. lim	3x - 1			.		569. lim		x3	- 1	.
		+ 1							+ 1
x ®¥ x2						x ®¥ x2

570.lim x - 6x .

x ®¥ 3x + 1

572. lim 2n2 + 1 .

n ®¥ 2n - 1

Найти пределы:

574.lim 3x + 6 .

x®-2 x3 + 8

576.	lim	x2	- x - 2		.
			x3	+ 1
	x ® -1

578.lim 5x2 - 3x + 2 .

x® ¥ 2x2 + 4x + 1

		æ	5x2				1		ö

580.	lim	ç					+ 2 x		÷ .
						2
	x ® ¥ç		1 - x						÷
		è							ø
	lim	2 -						.
582.					x - 3
				- 49
	x ®7		x2

571.	lim				3n				.
571.	lim								.
	n ®¥ 1 - 2n
573.	lim	1 + 2						+ 3 + ...					+ n	.
573.	lim													.
	n ®¥							9n4 + 1
575.			9 - x2
	lim									.
	lim									.
	x ®3			3x - 3
				3x - 3
												.
577.	lim					1 + cos x
577.	lim						sin x
	x ®p +0						sin x
579.	lim			3n			+ 1				.
579.	lim										.
	n ®¥				3n2 + 1
581.	lim		1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)													.
581.	lim															.
	n ® ¥				1 + 2 + 3 + ... + n
583.	lim				sin 2x - cos 2x - 1										.
583.	lim														.
	x ®p / 4						cos x - sin x

§ 4. Первый замечательный предел.

При раскрытии неопределенностей вида 0 , а также при нахождении

пределов содержащих тригонометрические функции, часто используют равенство

lim	sin x	= lim	x	= 1 ,

x ®0 x		x ®0 sin x

называемое первым замечательным пределом.

Задания.

Найти пределы:

122

584.

lim

sin 4x

(умножить и разделить на 4 или положить 4x = a ).

x ®0

sin

tg x

585.

lim

586.

lim

x ® 0

x ®0

sin 2

1 - cos 2x

587.

lim

588.

lim

x ®0

x ® 0

x sin x

589.

lim

sin 3x

590.

lim

sin(x + h) - sin(x - h)

x ®0

x + 2 -

h ®0

591. 1) lim

arctg x

;

2) lim

arcsin (1 - 2x)

x ®0

x ®1 / 2

4x2 - 1

Указание.

Положить в

примере1)

arctg x = a , а в примере2)

arcsin (1 - 2x) = a .

592.lim 1 - cos x .

x ®0 x2

Найти пределы:

594.	lim		x		.
594.	lim				.
	x ® 0 sin 3x
596.	lim		1 - cos 2x					.
596.	lim				x			.
	x ®-0				x
598.	lim	1 - cos mx				.
598.	lim					.
	x ®0		x2
	ésin(x - 2)
600.	limê						+ 2
600.	limê		x2	- 4			+ 2
	x ®2ê		x2	- 4
	ë

593.	lim	tg x - sin x			.

	x ®0		x3
595.	lim		sin 4x

	x ®0		x + 1 - 1

597.	lim	2x sin x		.

	x ®0 sec x - 1

599. lim 1 - cos 2x + tg2 x

			x ®0	x sin x
-	1	ù
	( x -2)2	ú	(положить x = 2 + a ).

601. 1) lim		arcsin (x + 2)	;	2) lim	cos (x + h) - cos (x - h)		.

x ®-2		x2 + 2x		h ® 0		h
602. lim		sin2 x		.

x ®0	1	+ x sin x - cos x

	§ 5. Неопределённости вида ¥ - ¥ и					0 × ¥ .

Рациональная функция – это частное от деления многочленов. Иррациональная – функция, содержащая иррациональное выражение

от независимой переменной.

123

При отыскании пределов от рациональных и иррациональных выражений необходимо овладеть умением раскрытия различных видов неопределенностей, в том числе вида ¥ - ¥ и 0 × ¥ . Естественно, дать общую схему раскрытия неопределенностей для всех случаев практически невозможно. Вместе с тем, для частных случаев можно использовать следующие приёмы:

1)если имеем неопределённость вида ¥ - ¥ и присутствует иррациональность, то предварительно, до перехода к пределу, необходимо избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе(например, умножив и разделив на сопряженное), а затем находить предел.

2)неопределённость вида 0 × ¥ путем замены переменной или ряда

элементарных преобразований приводится к одному из видов

или

, за-

дачи на раскрытие которых приведены в предыдущих параграфах.

Задания.

Найти пределы:

603.

+ 3x -

lim

604.

limç

÷ .

x ®+¥è

x ®1è x - 1 x2 - 1 ø

605.

+ x + 1

- x

lim

÷ .

606.

limç

÷ .

x ®+¥è

x ®2è x - 2 x3 -

8 ø

é1 + 3 + ... + (2n - 1)

607.

lim

608.

limê

- nú .

x ÷

n + 3

x ®0ç sin

4 sin

n ®¥ë

2 ø

609.

lim (1 - x)tg

(положить x = 1 - a ).

x ®1

æ 1

610.

lim

+ 1 -

- 4x ÷ .

611.

lim ç

÷ .

x ®-¥è

x ®-2è x +

2 x2 -

612.

lim

- x

613.

- a

ç x -

1 ÷ .

lim ç x -

÷ .

x ®+¥è

614.

æ sin x

- tg

æ1 + 2 + 3 + ... + n

lim

÷ .

615.

limç

÷ .

n + 2

x ®p / 2è cos 2

n ®¥è

616.

lim

ç x

÷ tg x

(положить x =

+ a ).

x ®p / 2 è

§ 6. Непрерывность функции.

124

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в некоторой окрестности точки x0 и

lim f (x) = f (x0 ).

x ® x0

Последнее равенство означает, что:

1) функция f (x) должна быть определена в точке x0 и в ее окрестно-

сти;

2) должны существовать конечные пределы lim f (x) и	lim f (x);
x ® x0 - 0	x ® x0 + 0

3)эти пределы (слева и справа) должны быть одинаковыми;

4)эти пределы должны быть равны f (x0 ).

Функция называется непрерывной на отрезке [x1 , x2 ], если она непре-

рывна в каждой точке внутри отрезка, а на его границах lim f (x) = f (x1 ) и

x ® x1 + 0

lim f (x) = f (x2 ).

x ® x2 -0

Элементарные функции: степенная xn , показательная ax , логарифмическая, тригонометрические и им обратные, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком x , при котором они имеют определенное значение.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Различают два основных вида точек разрыва:

	1) точки разрыва первого рода – когда существуют конечные пределы
lim	f (x) и	lim	f (x), т.е. когда выполнено второе условие непрерывно-
x ® x0 - 0	x ® x0 + 0
сти и не выполнены остальные (или хотя бы одно из них);
	2) точки разрыва второго рода– когда хотя бы один из пределов
lim	f (x) или	lim f (x) не существует или равен бесконечности.
x ® x0 - 0		x ® x0 + 0
	В свою очередь, точки разрыва первого рода делятся на:
	а) точки устранимого разрыва – когда lim			f (x) =		lim f (x);
			x ® x0 -0			x ® x0 + 0
	б) точки конечного разрыва – когда lim f (x) ¹ lim						f (x).
			x ® x0 -0		x ® x0 +0
			Задания.
	617. Указать		точку разрыва функцииy =		4	,	найти lim y ,
	617. Указать		точку разрыва функцииy =		x - 2	,	найти lim y ,
					x - 2		x ®2-0
lim	y , lim y	и построить кривую по точкам x = – 2, 0, 1, 3, 4 и 6.
x ®2 +0	x ®±¥

125

618.			Найти точки разрыва и построить графики функций:
1) y = -	6	;		2) y = tg x ;		3) y =	4	.
1) y = -		;		2) y = tg x ;		3) y =	4 - x2	.
	x						4 - x2
619.			Построить график функции
				ìx / 2 при		x ¹ 2
				y = í	при x = 2
				î0	при x = 2

и указать точку ее разрыва. Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены и какие не выполнены?

620. Построить графики функций: 1) y =	x + 1		, 2) y = x +	x + 1	.
	\| x + 1	\|
				\| x + 1 \|

Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены и какие не выполнены?

621. Построить график функции

ìsin x

ï при x ¹ 0, y = í x

ï2 при x = 0

и указать точку ее разрыва. Какие из условий непрерывности в ней выполнены и какие нет?

622. Указать точку разрыва функции y = 21 / x , найти lim y ,	lim y ,
x ®-0	x ®+0

lim y и построить график функции. Какие условия непрерывности в точке

x ®±¥

разрыва не выполнены?

623. Построить график функции

	ì0,5x2	при \|		x \|< 2
y =	ï	при	\|	x \|= 2
	f (x) = í2,5
	ï	при	\|	x \|> 2
	î3

иуказать точки ее разрыва.

624.Найти точки разрыва и построить графики функций

1) y =	1		;	2) y = arctg	a	;	3) y =	x3 - x2
									.
		1 / x			x - a
	1 + 2							2 \| x - 1 \|

625. Сколько однозначных функций задано уравнением x2 - y2 = 0 ?

Определить из них: 1) четную функцию; 2) нечетную функцию так, чтобы они имели конечные разрывы (I рода) при x = ±1, ± 2, ± 3,..., и построить их

графики.

	626. Указать точку разрыва функцииy =	x	, найти	lim y ,
	626. Указать точку разрыва функцииy =	x + 2	, найти	lim y ,
		x + 2		x ®-2 -0
lim	y , lim y и построить график по точкам x = -6, -4, -3, -1, 0, 2.
x ®-2 +0	x ®±¥

126

627. Построить график функции

	ì2	при x = 0 и x = ±2,
y =	ï	- x2 при 0 <\| x \|< 2,
y =	f (x) = í4	- x2 при 0 <\| x \|< 2,
	ï	при \| x \|> 2
	î4	при \| x \|> 2

и указать точки разрыва. Какие условия непрерывности выполнены в точках разрыва и какие нет?

628. Найти точки разрыва и построить графики функций:

| x |

y = 2 -

;

y = 2

x -2

;

3) y = 1 - 2

;

y =

+ x

;

y =

4 - x2

2 | x |

| 4x - x3

629. Сколько однозначных функций задано уравнением x2 + y 2 = 4 ? Определить из них: 1) две непрерывные на отрезке | x |£ 2 ; 2) ту из них, ко-

торая отрицательна на отрезке| x |£ 1 и положительна для всех остальных допустимых значений x . Построить график и указать разрывы последней функции.

Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:

630.y = x + 2 .

x- 4

632.	y = log3 (1 - x).
634.	y =	1			.
			x2 - 1
636.	y =		2x	.

			sin x
638.	y =	ìx + 1,				x £ 0,
		í				x > 0.
		î- x - 1,

	æ	p ö
631.	y = tgç x -		÷ .
		4
	è		ø

633.y = x2 - 6x + 5 .

x2 - 7x + 6

-1

635.y = 3 x .

637. y = 2tg x .

639.y = x3 - 1 .

x- 1

§ 7. Второй замечательный предел.

Предел

æ		1	ön			1
limç1	+		÷	= lim(1	+ a )		= e
n ®¥è		n ø		a ®0		a
n ®¥è		n ø		a ®0

называется вторым замечательным пределом.

Это число иррациональное и приближенно равно e » 2.71828 . Логарифмы с основанием e называются натуральными и обозначаются

127

loge x = ln x . Связь между десятичным и натуральным логарифмом определяется равенством: lg x = M ln x , где M » 0.43429 .

Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид:

		æ			p	ön
Q	= Q	ç1	+			÷	,	(1)
				100
	0	è				ø

где Q0 – первоначальная сумма вклада в банк, p – процент начисления за период времени (месяц, год), n – количество периодов времени хранения вклада в течение года, Q – сумма вклада по истечении n периодов хранения. Требу-

ется определить сумму депозита через x лет.

Решение: В общем случае, если p – процент начисления и год разбит

на n

частей, то формула (1) меняет вид,

и через

x лет сумма депозита

достигнет величины

r ön x

Q(n )= Q

ç1 +

n ø

где r

= p / 100 . Это выражение можно переписать так:

ùr x

Q(n )= Q

× ê

ör

ú .

ç1

n ø

Вводя новую переменную a =

и принимая во внимание, что a ® ¥

при n ® ¥ получим:

lim Q(n )=

lim Q ×

é æ

1 öa

ùr x

Q × e

r x

ê ç1 +

n ®¥

a ®¥

ê è

ø ú

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Следует также отметить, что формулы вида(1) используются в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в прогнозах макроэкономики (увеличение валового национального продукта).

Задания.

Найти пределы:

640.		æ		5	ön		5
	lim	ç1	-		÷	( положить -		= a ).
				n			n
	n ®¥è				ø

128

1 ön

ön +3

641.

limç1

;

lim

ç1

÷ .

n ®¥è

3n ø

n ®-¥è

1- x

642.

lim(1 + 2x)

;

2) lim(1 - 4x)

x ®0

643.

æ n

ön

;

æ 2x

- 1 ö

2 x

limç

÷ .

n ®¥è n + 1 ø

x ®¥è 2x

+ 1 ø

644.

lim n [ln(n + 3) - ln n] ;

2) lim (1 + 3 tg2 x)ctg2x .

n ®¥

x ®0

645.

lim (cos x)ctg2x

(положить sin 2 x = a ).

x ®0

646.

lim

ln(1 + a)

;

2) lim

e-x - 1

;

lim

a2 x - 1

a ®0

x ®0

Указание. В примере 2) положить e-x - 1 = a .

647.

Найти последовательные целые числа, между которыми содер-

жится число 6 × (1 - 1.01-100 ).

Найти пределы:

648.

2 ö3n

æ n - 3 ön / 2

limç1

;

limç

÷ .

n ®¥è

n ø

n ®¥è

649.

æ 3x

- 2 ö

2 x

;

lim

e-3 x

- 1

limç

x ®¥è 3x

+ 1 ø

x ®¥

650.

lim (sin x)ctg2x

(положить cos 2 2x = a ).

x ®p / 4

651.

lim

;

lim n [ln n - ln(n + 2)] .

t ®0 ln(1

+ xt)

n ® ¥

Тестовые задания к пятой главе.

Задание { 1 }. Если, в случае числовой последовательности {xn },

существует

такое число M > 0 , что для " n Î N выполняется неравенство

£ M , то

такую последовательность называют

- : ограниченной,

- : возрастающей,

- : убывающей,

- : монотонной.

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.2018159.74 Кб2Лекция трудовые отношения.doc
#
05.06.2015107.87 Кб14Лекция №34.pdf
#
05.06.20151.42 Mб4лекция19ноября2014.pdf
#
05.06.2015688.32 Кб5Лекция1_prezent.pdf
#
05.06.20151.15 Mб7Лекция2_презент.pdf
#
05.06.2015916.62 Кб42Лесев.pdf
#
26.09.2019129.31 Кб8Линал 1-21.docx
#
05.06.2015295.09 Кб17линал бдз.pdf
#
23.09.20192.72 Mб11Линал готовый.docx
#
05.06.2015426.81 Кб29Линейная алгебра.pdf
#
04.06.201517.76 Кб57Литература (АВТ).docx