Тема 1. Определители.
1.Перестановки.
Опр.
Упорядоченная совокупность чисел
наз. перестановкой.
1, 2, …n – натуральная перестановка
Преобразование перестановки, при которой2а элемента меняются местами, наз. транспозицией.
и
образ. инверсию, если
>
при i<j,
и создает порядок при
<
при i<j.
Если число инв. четное, то перестановка
называется четной.
Общее число инв.
2,3.Свойства.
Свойства Перестановок.
1) Общее число перестановок из n элемента есть n!
– n-способов
поставить элемент на 1е место.
n(n-1) – max из 2ух элементов => длина элемента n(n-1)(n-2)…1=n!
2) Каждая транспозиция меняет четность перестановок.
1. Транспозиция соседних элементов
а) не влияет на число инв. отношение других элементов.
б) если < получим инв. при перест., > получим порядок при перестановке.
2.
С помощью k+1 транспозиции
С помощью k транспозиции
=>
2k+1-
общее число транспозиций => четность
перестановок меняется.
3. Все n! перестановки из n чисел могут быть упорядочены так, что каждая последняя отличается от предыдущей на 1, это упорядочение можно начать с любой перестановки
n=2; n!=2 (1;2) (2;1) (2;1) (1;2)
Пусть верно при (n-1). Док. при n:
перест.
из n
эл.
из n-1(n-1)! перестановка из (n-1) элемента = > по предположению индукции.
– меняем
местами
Следствие 1.
n>2 => число четных перестановок = числу нечет.
Упорядочение: четные перестановки -> нечетных перестановок и т.д. n! (n>2) – чет.
Следствие 2.
От
перест. из n
чисел можно перейти к другой за конечное
число транспозиции.
4)
Если
– перест. с числом инв. =S,
то после преобразования ее в натуральную
перестановку ее индексные номера
образуют перестановку с тем же числом
инв.
и
(нет инв.)
и
(инв.)
4. Теорема (о знаке члена определителя.)
Знак
члена определителя
совпадает со знаком
,
где S –число инверсий в
перестановке
t-число
инверсий в перестановке
индексов
столбцов.
[ ]
Допустим,
что четность числа S+t
не меняется если в члене определителя
(5) поменять местами два любых элемента.
Пусть это будут для определенности
(6)
-число инверсий в перестановке
- число инверсий в перестановке
По
теореме
изменилась
на 1,
- изменилась на 1
Поэтому
числа
,
являются нечетными.
-
число четное,
-
число четное
-одинаковой четности числа
В произведении (6) расположим в порядке расположения следования строк
(7)
и S+t
[///]
5. Понятие определителя произвольного порядка.
– образ.
перест.
Опр.
Опред. квад. м. n-го
порядка наз. ∑ всевозм. произв. эл. м.,
взятых по 1му из каждой строки и каждого
столбца, причем если эти сомнож. упоряд.
по возраст. строк, то это произв. берется
со знаком
.
– член
опред.
– знак члена опред.
n>2=> число полож. членов – числу отриц.
6.Свойства определителей.
1) Опред. треуг. м. равен произвед. диаг. эл.
2)
Равноправ. строк и столбцов.
– перест.
индексных
номеров
(1…n)=>
sgn
члена опред. не меняется.
3) Если в м. есть нулевая строка(столбец), то detA=0
4) При умнож. строки(столбца) м. на число detA умнож. на это же число.
5) Если в опред. какая-либо строка(столбец) представ. в виде ∑ 2х других, то detA равен ∑ опред.
6) При перест. 2х строк(стол) м. опред. меняет sgn.
7) detA, имеющий 2е= строки = 0
8) Если 1а строка есть лин. комбин. других, то detA=0
9) Если к какой-либое строке +лин. комб. других строк, то detA не меняется.
Опр.
