5.Базис и размерность линейного пространства.
Опр. Базис - упорядоченная система ЛНЗ векторов, такая что через нее выражается любой вектор прост-ва.
Опр.
Размерностью ЛП назы-ся число
векторов базиса. Размерность нулевого
прост-ва = 0;
конечномерное прост-во.
Опр.
ЛП назы-ся беск. мерным
инейно
независ. векторов
Если
ЛП св. векторов
6. Конечномерные и бесконечномерные пространства.
Линейное пространство называется конечно-мерным , если для него существует конечная порождающая с.в., и бесконечномерным в противоположном случае
7.Координаты вектора в данном базисе.
Если система векторов e1, ..., en n-мерного линейного пространства Ln образует базис в Ln, то любой вектор x из Ln может быть представлен в виде
x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en.
Выражение x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en называется разложением вектора по базису e1, ..., en, а числа С1, С2, ..., Сn называются координатами вектора x в базисе e1, ..., en.
Координаты вектора принято обозначать тем же символом, что и сам вектор:
x = x1·e1+ x2·e2+ ...+ xn· en.
Взаимно однозначное соответствие x = x1·e1+ x2·e2+ ...+ xn· en ⇐⇒ x = (x1, x2, ..., xn)
— изоморфизм Ln и Rn
8. Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
- базисы в V
S=
-
матрица перехода от e
к f.
Теорема.
-
невырожден.
Док-во:
Пусть
есть строка(столб.),
который явл. линейн. комб.
Других
строк(столб.)
-ЛЗ.
Теорема.
Если
Док-во:
.
Теорема.
.
Тогда
.
Док-во:
единств. разложение
=
9.Подпространство.
Опр. L c V - подмно-во ЛП наз-ся ЛПЛП, если
10. Линейные оболочки, теорема об их размерности.
Опр.
Линейн. оболочка
-
мн-во
всех линейн. комбинаций; L
{x=
Теорема. Линейн. оболочка сама явл. ЛП.
Теорема. dimL max числу ЛНЗ
эл-тов .
Док-во:
-
ЛНЗ,
;
dimL
Вся
сист. ЛЗ;
-
лин. комб.
-лин.
комб.
x
- лин. комб.
базис
dimL
Тема 5. Линейные операторы.
1.Линейные операторы в конечномерном линейном пространстве.
2. Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.
Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.
Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.
Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:
A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(α·u) = α· A(u).
3. Примеры.
1)
.
2)Нулев.
оператор:
.
3)Y-тождественный оператор:
.4)
P-оператор
проектирования на
4.Матрица линейного оператора в данном базисе
V,W
над Р. dimV=n;
e=(
-базис
в V;
dimW=m;
f=(
-
базис в W,
A
разл.по
базису.
=
-матрица л.о. А в паре базисов f, e
;
A:V
;
-
мн-во всех
Л.о. из V в W.
5.Связь между линейными операторами и квадратными матрицами.
Связь
между матрицами линейного оператора в
разных базисах:
M(φ)
- матрица Л.О. φ в старом базисе.
M1(φ)
- матрица Л.О. φ в новом базисе.
Т -
матрица перехода от старшего базиса к
новому базису.
6. .Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому.
Теорема:(мат-цы оператор. в разл. базис.)
=
=
D=
Док-во:
=
=
,
=
Следствия:
1)D,S
- невырожд. матрицы
матрицы л.о. в разн. базисах эквивалент.
2)rang матр. л.о. не
изм. при
переходе к др. базису.
Теорема:
A,B
-
эквивалент.
А
и В
- матрицы одного л.о. в разных базисах.
Док-во:"
"Следствие
1)
"
"A
B
;defS
V-зафиксирован. базис в e; dimV=n;
W-зафиксирован. базис.
Пусть
А- матр. А:V
D=
.