линал бдз

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

СБОРНИК ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

по линейной алгебре

Под редакцией доцента А.П. Горячева

Ì î ñ ê â à 2 0 0 5

ÓÄÊ 512.64(076) ÁÁÊ 22.143 Ñ 23

Сборник домашних заданий по линейной алгебре . / Под редакцией доцента А.П. Горячева. М.: МИФИ, 2005. 72 с.

Предназначен для выдачи домашнего задания ДЗ 2-10 по курсу линейной алгебры на втором семестре всех факультетов.

Данный сборник задач содержит 30 вариантов домашних заданий по темам курса линейной алгебры, изучаемых во втором семестре. В каждом параграфе собрано 30 или 60 задач по каждой теме. Рекомендуется при выдаче задания давать каждому студенту по одной или по две задачи из каждого параграфа (если в параграфе 60 задач, то номера должны отличаться друг от друга на 30). Все варианты приблизительно одинаковы по трудности.

Авторы: А.П. Горячев, И.Л. Гусева, В.Б. Шерстюков

Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ

c Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2005

1.Линейные пространства, размерность, базис

Âэтом параграфе рассматриваются подмножества следующих действительных линейных пространств:

арифметическое (координатное) n-мерное пространст-

âî Rn элементов x = fx1; x2; : : : ; xng с вещественными компонентами; операции сложения элементов и умножения элемента на число осуществляются покомпонентно;

пространство L m n вещественных матриц размера m n с обычными операциями сложения и умножения матриц на число;

пространство Pn многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной (степень многочлена не превосходит n) с обычными операциями сложения и умножения многочленов на число;

пространство C[a; b] вещественных и непрерывных на отрезке [a; b] функций с обычными операциями сложения и умножения функций на число.

Âзадачах этого параграфа требуется выяснить, являются ли линейными пространствами данные множества. В случае положительного ответа найти размерность этих пространств, а также (если размерность конечна) указать ка- кой-либо базис.

1. Множество всех элементов R7 âèäà fx1; x2; : : : ; x7g, у которых x1 = x2.

3

26.Множество всех многочленов степени n.

27.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что

P (1) = 0.

28.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что

P (1) = P (0) = 0.

29.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что

P (0) = P 0(0) = 0.

30.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что

P 0( 1) = 0.

31.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что

P 0(0) = 1.

32.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что

P (1) = P 0(1) = 1.

33.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что

P (0) = P (1) = P (2) = 0.

34.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что

P (0) = P (1) = P (2) = 2.

35.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что

P (0) + P 0(0) = 0.

36.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что

P (0) + P 0(0) = 1.

37.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что P 00(x) = 0 äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1).

6

38.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что P 0(x) = 1 äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1).

39.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что P 0(x) = 0 äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1).

40. Множество всех функций f(x) 2 C[a; b], таких, что f(a) = 1.

41. Множество всех функций f(x) 2 C[a; b], таких, что f(a) = f(b) = 1.

42.Множество всех функций f(x), дифференцируемых на ( 1; +1) и таких, что f0(x) = 0 äëÿ âñåõ x.

43.Множество всех функций f(x), дифференцируемых на ( 1; +1) и таких, что f0(x) = 1 äëÿ âñåõ x.

44.Множество всех функций f(x), дифференцируемых на ( 1; +1) и таких, что f00(x) = 0 äëÿ âñåõ x.

45. Множество всех функций f(x) 2 C[a; b], таких, что f(a) > 0.

47.Множество всех матриц A 2 L2 2, таких, что

48.Множество всех матриц A 2 L2 2, таких, что

a 2b

A = b 0 .

7

49.Множество всех матриц A2L2 2, таких, что rangA=1.

50.Множество всех матриц A 2 L2 2, таких, что

êèõ, ÷òî a11(a12 a21) = 0.

52.Множество всех матриц A 2 L2 3, таких, что

53. Множество всех матриц A 2 L2 3, таких, что

54.Множество всех матриц A 2 L2 3, таких, что

57. Множество всех матриц A 2 L3 2, таких, что

0 1

ab

A = @ b2 0 A.

cd

8