БДЗ по линейной алгебре
.pdfСБОРНИК ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
по линейной алгебре
Ì î ñ ê â à 2 0 0 5
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
СБОРНИК ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ
по линейной алгебре
Под редакцией доцента А.П. Горячева
Ì î ñ ê â à 2 0 0 5
ÓÄÊ 512.64(076) ÁÁÊ 22.143 Ñ 23
Сборник домашних заданий по линейной алгебре . / Под редакцией доцента А.П. Горячева. М.: МИФИ, 2005. 72 с.
Предназначен для выдачи домашнего задания ДЗ 2-10 по курсу линейной алгебры на втором семестре всех факультетов.
Данный сборник задач содержит 30 вариантов домашних заданий по темам курса линейной алгебры, изучаемых во втором семестре. В каждом параграфе собрано 30 или 60 задач по каждой теме. Рекомендуется при выдаче задания давать каждому студенту по одной или по две задачи из каждого параграфа (если в параграфе 60 задач, то номера должны отличаться друг от друга на 30). Все варианты приблизительно одинаковы по трудности.
Авторы: А.П. Горячев, И.Л. Гусева, В.Б. Шерстюков
Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ
c Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2005
1.Линейные пространства, размерность, базис
Âэтом параграфе рассматриваются подмножества следующих действительных линейных пространств:
арифметическое (координатное) n-мерное пространст-
âî Rn элементов x = fx1; x2; : : : ; xng с вещественными компонентами; операции сложения элементов и умножения элемента на число осуществляются покомпонентно;
пространство L m n вещественных матриц размера m n с обычными операциями сложения и умножения матриц на число;
пространство Pn многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной (степень многочлена не превосходит n) с обычными операциями сложения и умножения многочленов на число;
пространство C[a; b] вещественных и непрерывных на отрезке [a; b] функций с обычными операциями сложения и умножения функций на число.
Âзадачах этого параграфа требуется выяснить, являются ли линейными пространствами данные множества. В случае положительного ответа найти размерность этих пространств, а также (если размерность конечна) указать ка- кой-либо базис.
1. Множество всех элементов R7 âèäà fx1; x2; : : : ; x7g, у которых x1 = x2.
3
2. |
Множество всех элементов R7 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x7g, |
|
у которых x1 = x7. |
|
|
3. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 + x6 = 0. |
|
|
4. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 + x3 + x5 = 0. |
|
|
5. |
Множество всех элементов R8 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x8g, |
|
у которых x1 + x7 + x8 = 1. |
|
|
6. |
Множество всех элементов R8 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x8g, |
|
у которых x1 = x2 = = x8. |
|
|
7. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 = |
0. |
|
8. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x2 = x4 = x6. |
|
|
9. |
Множество всех элементов R8 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x8g, |
|
у которых x1 = x3 = x5 = x7 = 1. |
|
|
10. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4 + 16x5 + 32x6 = 0. |
||
11. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых 6x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 + 2x5 + x6 = |
0. |
|
12. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 = x6, x2 = x5. |
|
|
13. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2 |
; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 = x2 = x3, x4 = x5 = x6. |
|
|
|
4 |
|
|
14. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x6g, |
|
у которых x3 = 1, x6 = 0. |
|
15. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 + 6x6 = 0. |
|
16. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x6g, |
|
у которых x2 = x6, x1 = 0. |
|
17. |
Множество всех элементов R8 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x8g, |
|
у которых x1 6 0, x8 > 0. |
|
18. |
Множество всех элементов R7 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x7g, |
|
у которых x7 целое число. |
|
19. |
Множество всех элементов R7 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x7g, |
|
у которых x1 = x4 = x7 = 0. |
|
20. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 6 x6. |
|
21. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x6g, |
|
у которых x1 = x2, x3 = x4, x5 = x6. |
|
22. |
Множество 2всех элементов R8 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x8g, |
|
у которых x1 = x8. |
|
23. |
Множество всех элементов R7 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x7g, |
|
у которых x1 = x3 = x5 = x7. |
|
24. |
Множество всех элементов R8 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x8g, |
|
у которых x1 x8 = 0. |
|
25. |
Множество всех элементов R6 âèäà |
fx1; x2; : : : ; x6g, |
|
у которых x2 x4 + x6 = 0. |
|
|
5 |
|
26.Множество всех многочленов степени n.
27.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что
P (1) = 0.
28.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что
P (1) = P (0) = 0.
29.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что
P (0) = P 0(0) = 0.
30.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что
P 0( 1) = 0.
31.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что
P 0(0) = 1.
32.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что
P (1) = P 0(1) = 1.
33.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что
P (0) = P (1) = P (2) = 0.
34.Множество всех многочленов P (x) 2 P6, таких, что
P (0) = P (1) = P (2) = 2.
35.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что
P (0) + P 0(0) = 0.
36.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что
P (0) + P 0(0) = 1.
37.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что P 00(x) = 0 äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1).
6
38.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что P 0(x) = 1 äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1).
39.Множество всех многочленов P (x) 2 P5, таких, что P 0(x) = 0 äëÿ âñåõ x 2 ( 1; +1).
40. Множество всех функций f(x) 2 C[a; b], таких, что f(a) = 1.
41. Множество всех функций f(x) 2 C[a; b], таких, что f(a) = f(b) = 1.
42.Множество всех функций f(x), дифференцируемых на ( 1; +1) и таких, что f0(x) = 0 äëÿ âñåõ x.
43.Множество всех функций f(x), дифференцируемых на ( 1; +1) и таких, что f0(x) = 1 äëÿ âñåõ x.
44.Множество всех функций f(x), дифференцируемых на ( 1; +1) и таких, что f00(x) = 0 äëÿ âñåõ x.
45. Множество всех функций f(x) 2 C[a; b], таких, что f(a) > 0.
46. Множество |
2всех матриц A 2 L2 2, таких, что |
|||
A = |
b |
b2 |
. |
|
|
a |
a |
|
|
47.Множество всех матриц A 2 L2 2, таких, что
|
a |
b |
A = |
b |
c . |
48.Множество всех матриц A 2 L2 2, таких, что
a 2b
A = b 0 .
7
49.Множество всех матриц A2L2 2, таких, что rangA=1.
50.Множество всех матриц A 2 L2 2, таких, что
|
a |
b |
|
|
|
|
A = |
b |
c . |
a21 |
|
|
2 L2 2, òà- |
51. Множество всех матриц A = |
a22 |
|||||
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
êèõ, ÷òî a11(a12 a21) = 0.
52.Множество всех матриц A 2 L2 3, таких, что
|
a |
b |
c |
A = |
b |
c |
a . |
53. Множество всех матриц A 2 L2 3, таких, что
|
c |
d |
c2 |
d |
A = |
a |
b |
a2 |
b . |
54.Множество всех матриц A 2 L2 3, таких, что
|
A = |
a |
b |
a b + c . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
c |
0 |
2a + b |
A 2 L2 3, таких, что |
|
||||||
55. |
Множество2 |
|
3 |
|
|
|||||||
|
A = |
b |
всех матриц |
|
|
|
|
|
|
|||
|
a2 |
b3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
b |
a |
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
56. |
Множество всех матриц A = |
a22 |
a23 |
2 L2 3, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
таких, что rang |
a11 |
a12 |
= 0. |
|
a21 |
a22 |
|||
|
|
57. Множество всех матриц A 2 L3 2, таких, что
0 1
ab
A = @ b2 0 A.
cd
8