1. Матрицы ,сложение матриц, свойства.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.

Аij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце

Вид матрицы:

Квадратная - матрица с равным числом столбцов и строк

Прямоугольная - матрица в которой число строк не равно числу столбцов

Единичная - диагональная матрица, у которой каждый элемент на главной диагонали равен единице.

Нулевая - матрица, все элементы которой равны нулю

Обратная - матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E

Транспонированная - матрица, получающаяся из данной (прямоугольной или квадратной) матрицы А после замены строк соответствующими столбцами.

Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В

Свойства:

 Ассоциативность сложения:

 Коммутативность сложения:

 Ассоциативность умножения:

 Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: .

 Дистрибутивность умножения относительно сложения:

2.Матрицы. Умножение матриц. Коммутирующие матрицы.

Матрицы - См. вопрос№1

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведением матриц.

Элемент произведения матриц приведённых выше вычисляется следующим образом

Коммутирующие матрицы –

3.Ассоциативность умножение матриц. Теорема с доказательством.

Матрицы - См. вопрос№1

Действие а * b называется ассоциативным, если (а * b) * c = а * (b * с)

4.Определение транспонирующей матрицы. Св-ва трансонпонир. Матрицы с док-вом.

Матрицы - См. вопрос№1

Транспонированная матрица - Матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы. Транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как A^T[i, j] = A[j, i].

Например,

     и     

Свойства транспонированных матриц

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц

При транспонировании можно выносить скаляр.

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы

5. Перестановки из n элементов. Порядок, инверсия. Определение четности перестановки. Транспозиция (утв. 1 и следствия)

Перестановкой (на множестве  из   n   элементов ) называется

биекция множества {1, 2, 3, . . . ,  n } на себя.

Инверсией в   перестановке  порядка n называется всякая пара индексов такая, что и .  Чётность  числа инверсий в  перестановке  определяет  чётность   перестановки .

Транспозиция - перестановка, которая меняет местами только два элемента.

6. Утверждение об изменении четности перестановки(с док-вом). Следствие 1, следствие2( с док-вом).

7.Опред. Определителя. Св-ва определителя(с док-вом).

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ - число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы

обозначается

и вычисляется следующим образом:

det A = a₁₁a₂₂ — a₁₂a₂₁.

Определитель матрицы, в которой вычеркнуты произвольная строка (напр. i-я), и произвольный столбец (напр. j-й), называется минором.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

Свойства:

 При добавлении к любой строке (столбцу) других строк (столбцов) определитель не изменится.

 Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

 Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

 Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

 Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

 Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.