8. Лемма о знаке члена определителя(с док-вом)

9. Опред. Mij,Aij, Лемма(с док-вом)

10.Теорема о разложении определителя по эллементам строки, столбца (с док-вом). Следствие (без док-ва). Формула Бине-Коши.

Теорема. Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислим определитель из предыдущего примера разложением по второй строке:

Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Формула Бине — Коши:

Произведение двух прямоугольных матриц и дает квадратную матрицу порядка , если имеет столбцов и строк, а матрица имеет столбцов и строк. Миноры матриц и одинакового порядка, равного наименьшему из чисел и , называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы ) и строках (матрицы ) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы равен нулю, если , и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка , если (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы и строк матрицы с возрастающими номерами ).

11. Определение Линейно Независимых и Линейно Зависимых столбцов. Св-ва лз(лнз) столбцов (с док-вом).

Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие и наоборот.

12. Критерий лз столбцов (с док-вом)

Для того, чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы (мог быть представлен в виде разложения по векторам системы).

13. Минор матрицы. Ранг м-цы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре ( с док-вом)

Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами

Например, есть матрица:

Предположим, надо найти дополнительный минор . Этот минор — определитель матрицы, получающейся путем вычеркивания строки 2 и столбца 3:

Получаем

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка.

14. Критерий = 0 определителя.

15. Теорема о ранге матрицы (с док-вом).

Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А)

16. Методы вычисл. Ранга м-цы. Утверждение о приведении матрицы к трапец. Форме (с док- вом).

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден ненулевой минор -го порядка . Рассмотрим все миноры -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.