17. Определение обратной м-цы, теорема о существовании обратной матрицы (с док-вом).

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Если определитель матрицы =0, то матрица называется выраженной, обратной не существует.

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно , чтобы матрица А была невыражденной (detA<>0)

18. Свойства обратных матриц

См. вопрос№17

 , где обозначает определитель.

 для любых двух обратимых матриц и .

 где обозначает транспонированную матрицу.

 для любого коэффициента .

19. Слау. Основные понятия

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной. В общее решение неоднородной системы будет входить общее решение однородной системы и частное решение неоднородной системы

Решение системы  - совокупность чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества

Решаются методом Гаусса и Крамера

20. Теорема Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

21. Элементарное преобразование функций слау. Метод Гаусса. Решение слау.

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу , ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Пример

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Чтобы ее решить, нужно сделать нули под главной диагональю системы

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.

СЛАУ имеет несколько решений:

Пусть — решения однородной системы , — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

- Для однородной системы

Теорема (о структуре общего решения). Пусть , тогда:

• если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение (Нулевое решение).

• если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы.

- Для неоднородной системы

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть тогда:

• если , где — число переменных системы, то решение существует и оно единственно;

• если , то общее решение системы имеет вид , где — общее решение системы, называемое общим однородным решением, — частное решение системы, называемое частным неоднородным решением.