МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА

ЧАСТЬ 1

НАЛЬЧИК 2004

УДК 519.6 ББК 22.11

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИИ ПМА КБНЦ РАН

А.В. Псху

Составители: Лесев В.Н., Кучмазокова Л.С.

Сборник задач по высшей математике для студентов экономического факультета. Часть 1. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2004.

За основу издания был выбран популярный сборник задач В.П. Минорского [10], дополненный новыми заданиями и задачами по экономике. Имеется обширная подборка задач для самостоятельных упражнений и контрольных заданий.

Предназначено для студентов всех форм обучения экономических и смежных технических специальностей.

Рекомендовано РИСом университета

УДК 519.6 ББК 22.11

ÓКабардино-Балкарского государственного университет, 2004

2

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Эту матрицу обозначают A = (aij ), где 1 £ i £ m , 1 £ j £ n и говорят,

что ее размер m ´ n . Числа aij , из которых составлена матрица, где i -номер строки, j -номер столбца, называют элементами матрицы. Элементы мат-

Две матрицы одного размера A = (aij ) и B = (bij ) можно складывать.

При этом, результатом сложения будет новая матрица C = (cij ) того же размера, что и исходные матрицы, элементы которой определяются равенствами

cij = aij + bij .

Произведение матриц A ´ B определено при условии, что левая матрица A имеет столько столбцов, сколько строк у правой матрицы B . Поэтому, пусть матрица A имеет p строк и q столбцов, а матрица B – q строк и

q

равенствами cij = å aik bkj .

k =1

Пример 1. На предприятии выпускается 4 вида изделий при использовании 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы

A :

где строки – вид изделия, а столбцы – вид сырья.

3

Необходимо найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение: Составим матрицу-строку, определяющую план выпуска продукции: q = (60 50 35 40). Тогда решение задачи находится как произведение матрицы q на матрицу А:

Матрица, полученная из данной заменой всех ее строк столбцами с со-

хранением номера, называется транспонированной и обозначается AT .

Пример 2. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск4-х видов продукции характеризуется матрицей A , приведенной в примере 1. Требуется найти общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки(соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1 ,3 , 2 ден. ед.).

Решение: Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки:

Тогда ответ на вопрос задачи дается в виде произведения матрицы A на транспонированную матрицу C T :

4

Умножить матрицу A на число l :

5

§2. Определители и их свойства. Ранг матрицы

Определителем квадратной матрицы A называется число, равное сумме всех произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по некоторому правилу. Определитель обозначается

A или det(A).

Определители матриц первого, второго и третьего порядков(размера 1 ´ 1, 2 ´ 2, 3´ 3) определяются равенствами

Определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца, называется минором элемента aij и обозначается M ij .

Алгебраическим дополнением элемента aij называется выражение

Aij = (- 1)i + j M ij .

Минором k -го порядка матрицы A , содержащей m строк и n столбцов называется определитель матрицы, полученной из матрицы A путем вычеркивания произвольно выбранных m - k строк и n - k столбцов.

Минор матрицы A максимального порядка и отличный от нуля называется базисным. Порядок базисного минора называется рангом матрицы и обозначается r , r(A) или rang(A).

6

Приведем теперь некоторые свойства определителей:

1.Определители квадратных матриц A и AT равны.

2.Перестановка двух строк (столбцов) определителя меняет его знак. 3.Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно

выносить за знак определителя.

4.Если определитель содержит пропорциональные строки(столбцы), то он равен нулю.

5.Определитель не измениться, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки(столбца), умноженные на произвольное число.

6.Определитель разлагается по элементам строки(столбца), т.е. равен сумме произведений элементов некоторой строки(столбца) на соответст-

Вычислить определители, разложив по элементам первого столбца:

Вычислить определители, разложив по элементам ряда, содержащего наибольшее число нулей:

7

Упростить и вычислить определители:

§3. Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Квадратная матрица того же порядка n называется обратной для матрицы A , если она при умножении на A слева и справа дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается через A-1 . Таким образом, для матриц A и A-1 выполняются равенства A ´ A-1 = A-1 ´ A = E .

Матрица

8

в строчках которой расположены алгебраические дополнения элементов соответствующих столбцов матрицы A , называется взаимной для A .

Для построения обратной матрицы необходимо:

1.Проверить, является ли заданная матрица невырожденной, т.е. возможно ли построение обратной матрицы(для этого определитель исходной матрицы A должен быть отличным от нуля).

Задания

Найти обратные матрицы для следующих матриц:

9