Задание { 61 }.

Каноническое уравнение гиперболы, у которой полуоси со-

ответственно равны 5 и 3, имеет вид:

- :

x2

y2

x2

y2

+

= 1 ,

- :

+

= 1 ,

25

9

5

3

- :

x2

y2

x2

y2

-

= 1 ,

- :

-

= 1 .

5

3

25

9

- :

x2

y2

x2

y2

-

= 0 ,

- :

-

= 1 ,

16

9

25

16

- :

x2

y2

x2

y2

-

= 1 ,

- :

+

= 0 .

16

9

16

25

ная ось равна 48 и эксцентриситет e

=

13

, имеет вид:

12

- :

x2

-

y2

= 1 ,

- :

x2

-

y

2

= 0

,

576

100

242

102

- :

x2

y2

= 1 ,

- :

x2

y2

= 1 .

-

-

625

64

24

13

Задание { 64 }.

Координаты фокусов гиперболы

x2

-

y2

= 1 имеют вид:

25

144

- : (0; ±14),

- : (±13; 0),

- : (0; ±12),

- : (±11; 0).

Задание { 65 }.

Уравнения асимптот гиперболы

x2

y2

= 1 имеют вид:

-

9

16

- : y = ±

3

x ,

- : y = ±

9

x ,

4

16

- : y = ±

4

x ,

- : y = ±

5

x .

3

7

- :

y2

= 3x ,

- :

y2

= 6x ,

- :

y2

= 9x ,

- :

y2

= 12x .

- : y2 = 4x ,

- : y2 = 2x ,

- : y2 = 3x ,

- : y2 = x .

Задание { 68 }.

Уравнение параболы, у которой координаты фокуса(3;0) и

уравнение директрисы x = -1 , имеет вид:

- : y2 = 8x - 16 ,

- : y2 = 8x - 8 ,

- : y2 = 4x - 8 ,

- : y2 = 4x - 4 .

Задание { 69 }.

Уравнение параболы, фокус которой (5;0), а ее директриса

совпадает с осью ординат, имеет вид:

- : y2 = 5x - 10 ,

- : y2 = x - 25 ,

- : y2 = 10x - 25 ,

- : y2 = 15x - 10 .

Задание { 70 }.

Уравнение параболы, симметричной относительно оси абс-

цисс и проходящей через начало координат и точку M (1;-4), имеет вид:

- : y2 = x ,

- : y2 = 4x ,

- : y2 = 9x ,

- : y2 = 16x .

Задание { 71 }.

Всякая прямая, перпендикулярная прямой 2 x - y = 4 , име-

ет угловой коэффициент равный

- : –0.5,

- : 2,

- : 0.5,

- : –2.

Задание { 72 }.

Всякая прямая, перпендикулярная прямой y = 2 x + 3 , име-

ет угловой коэффициент равный

- : 0.5,

- : –0.5,

- : 3,

- : –2.

1

Задание { 73 }.

Всякая

прямая,

перпендикулярная

прямой y = -

x + 4 ,

имеет угловой коэффициент равный

2

- : –2,

- : 2,

- : 1,

- : –1.

1

Задание { 74 }.

Всякая прямая, перпендикулярная прямой y =

x + 9 , име-

ет угловой коэффициент равный

3

- : –3,

- : 3,

- : 1/3,

- : –1/3.

1

Задание { 75 }.

Всякая

прямая,

перпендикулярная

прямой y =

x + 2 ,

имеет угловой коэффициент равный

4

- : 0.25,

- : –0.25,

- : –4,

- : 4.

Задание { 76 }.

Всякая

прямая,

перпендикулярная

прямой y = -

1

x + 4 ,

имеет угловой коэффициент равный

4

- : 0.25,

- : –0.25,

- : –4,

- : 4.

1

Задание { 77 }.

Всякая прямая, перпендикулярная прямой y =

x + 6 , име-

ет угловой коэффициент равный

5

- : 5,

- : 0.1,

- : –5,

- : –0.1.

1

Задание { 78 }.

Всякая

прямая,

перпендикулярная

прямой y = -

x + 7 ,

имеет угловой коэффициент равный

5

- : 5,

- : –5,

- : 0.2,

- : 0.7.

1

Задание { 79 }.

Всякая прямая, перпендикулярная прямой y =

x + 5 , име-

ет угловой коэффициент равный

6

- : 1/6,

- : –1/6,

- : 6,

- : –6.

1

Задание { 80 }.

Всякая

прямая,

перпендикулярная

прямой y = -

x + 9 ,

имеет угловой коэффициент равный

6

- : –1/6,

- : 1/9,

- : 6,

- : –9.

Задание { 81 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой x - y = 4 , имеет уг-

ловой коэффициент равный

- : 4,

- : 0.25,

- : –1,

- : 1.

Задание { 82 }.

Всякая прямая, параллельная прямой x - 3 = y , имеет угло-

вой коэффициент равный

- : 1,

- : 0.25,

- : –3,

- : 4.

1

Задание { 83 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой y =

x + 1 , имеет

угловой коэффициент равный

5

- : 5,

- : 0.2,

- : 1,

- : –5.

Задание { 84 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой y =

1

x - 4 ,

имеет

угловой коэффициент равный

3

- : 1/3,

- : 3,

- : –1/3,

- : –3.

1

Задание { 85 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой y = -

x - 3 ,

имеет

угловой коэффициент равный

2

- : 0.5,

- : –0.5,

- : 2,

- : –2.

1

Задание { 86 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой y =

x + 3 ,

имеет

угловой коэффициент равный

2

- : –0.5,

- : –2,

- : 0.5,

- : 2.

1

Задание { 87 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой y =

x + 7 ,

имеет

угловой коэффициент равный

4

- : –0.25,

- : –4,

- : 4,

- : 0.25.

1

Задание { 88 }.

Всякая прямая,

параллельная прямой y = -

x - 13 , имеет

угловой коэффициент равный

4

- : –0.25,

- : 0.25,

- : 2,

- : –2.

1

Задание { 89 }.

Всякая прямая,

параллельная прямой y = -

x + 11 ,

имеет

угловой коэффициент равный

3

- : 3,

- : –1/3,

- : 1/3,

- : –3.

Задание { 90 }.

Всякая

прямая,

параллельная

прямой y = 10 - 0,2 x ,

имеет

угловой коэффициент равный

- : 0.1,

- : 4,

- : –0.2,

- : –5.

Задание { 91 }.

Треугольник с вершинами A(4;0), O(0;0), B(0;3)

- : равнобедренный,

- : равносторонний,

- : прямоугольный,

- : произвольный.

Задание { 92 }.

Треугольник с вершинами A(- 3;-2), B(0;-1), C(- 2;5)

- : равнобедренный,

- : равносторонний,

- : произвольный,

- : прямоугольный.

Задание { 93 }.

Точками, удаленными на 5 единиц как от точки A(2;1), так и

от оси ординат будут точки

- : (5; 5), (5; 3),

- : (2; 0), (1; –1),

- : (0; 1), (2; 3),

- : (–1; 1), (2; –3).

Задание { 94 }.

На оси ординат точками, удаленными от точки A(4;-1) на 5

единиц, будут точки

- : (5; 1), (0; 5),

- : (0; 2), (0; –4),

- : (0; 3), (0; –4),

- : (0; –2), (0; 4).

Задание { 95 }.

На оси абсцисс точкой, одинаково удаленной от начала ко-

ординат и от точки A(8;4), будет точка

- : (3; 0),

- : (–5; 0),

- : (4; 0),

- : (5; 0).

Задание { 96 }.

На оси ординат точкой, одинаково удаленной от начала ко-

ординат и от точки A(- 2;5), будет точка

- : (0; 2.5),

- : (0; 2.9),

- : (0; –5),

- : (0; 7).

Задание { 97 }.

На оси абсцисс точками, удаленными от точки A(- 2; 3) на

3

5

единиц, будут точки

- : (4; 0), (–8; 0),

- : (–4; 0), (2; 0),

- : (3; 0), (–3; 0),

- : (5; 0), (–1; 0).

Задание { 98 }.

Уравнение x2

- y2

= 1 определяет на плоскости

- : окружность,

- : эллипс,

- : гиперболу,

- : параболу.

Задание { 99 }.

Уравнение

x2

+

y2

= 1 определяет на плоскости

4

9

- : окружность,

- : эллипс,

- : гиперболу,

- : параболу.

Задание { 100 }. Уравнение y = 2 x2

+ 1 определяет на плоскости

- : окружность,

- : эллипс,

- : гиперболу,

- : параболу.

Задание { 101 }. Уравнение x = 4 y2

- 1 определяет на плоскости

- : параболу,

- : эллипс,

- : гиперболу,

- : окружность.

Задание { 102

}. Уравнение (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 определяет на плоскости

- : окружность,

- : эллипс,

- : гиперболу,

- : параболу.

Задание { 103

}. Уравнение

y = 3 x2 + 16 определяет на плоскости

- : окружность,

- : эллипс,

- : гиперболу,

- : параболу.

Задание { 104 }. Уравнением

линии, по которой движется точкаM (x; y),

равноудаленная от точек A(0; 2) и B(4; - 2) будет

- : x - y - 2 = 0 ,

- : x2 + y2 = 1 ,

- : x + y = 1 ,

- : x2 - y2 - 2 = 0 .

Задание { 105 }. Уравнением

траектории

точки M (x; y), которая

при

своем

движении остается вдвое ближе к точке A(- 1; 1), чем к точке B(- 4; 4)

явля-

ется

- : x2 - y2 = 8 ,

- : x2 + y 2 = 8 ,

- : y = 2 x + 5 ,

- : x2 + y = 1.

Задание { 106 }. Уравнением

множества

точек, равноудаленных

от

точки

F (2; 2) и от оси абсцисс будет

- : x + y + 3 = 0 ,

- : y =

1

x2 - x + 2 ,

4

- : x2 + y2 = 2 ,

- : x2 - y2 + 1 = 0 .

- :

x + y = 4 ,

- : x2 + y 2 = 5 ,

- :

2 x2 + y2 = 1 ,

- : y = ±2 .

- :

y2 = 8 x - 16 ,

- :

y = ± 4 ,

- :

x = ± 8 ,

- :

x2 + y2 = 4 .

- : y2 = 4 x + 2 ,

- : x2

+ y2

= 2 ,

- : 2 x - y + 5 = 0 ,

- : x2

- y2

- 1 = 0 .

Задание { 110 }. Уравнением

траектории точки M (x; y), которая при своем

движении остается вдвое ближе к точке A(0; - 1), чем к точке B(0; 4) являет-

ся

- : x2 - y2 = 4 ,

- : x2 + y2 = 4 ,

- : x + y = 4 ,

- : x - y = 4 .

- :

x2

y2

- : x

2

- y

2

-

= 1 ,

= 1 ,

4

12

- : x - y = 1 ,

- : x2

+ y2

= 16 .

Задание { 112 }. Уравнением

траектории точки M (x; y), которая

движется

так,

что

остается вдвое дальше от точкиF (- 8; 0),

чем от прямой

x = -2

будет

- : x2 - y2 = 16 ,

- : x2

+ y2

= 2 ,

- :

x2

y2

- : x + y = 8 .

-

= 1 ,

16

48

Пусть

в

пространствеOxyz

плоскость

Q

задана

точкой

M 0 (x0 , y0 ; z0 )

r

и

вектором N (A; B; C),

перпендикулярным

этой

плоскости

(рис. 15). Возьмем на этой плоскости

точку M (x, y; z)

и

построим

вектор

M 0 M . В

силу

перпендикулярности

r

векторов N и M 0 M их скалярное про-

изведение равно нулю, т.е.

A(x - x0 ) + B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 .

(1)

Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через

r

данную точку M 0 (x0 , y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору N (A; B; C). Вектор

r

N (A; B; C) называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение

Ax + By + Cz + D = 0 .

(2)

1)

D = 0,

Ax + By + Cz = 0 – плоскость проходит через начало коор-

динат.

C = 0,

Ax + By + D = 0 – плоскость параллельна оси Oz .

2)

3)

C = D = 0,

Ax + By = 0 – плоскость проходит через ось Oz .

4)

B = C = 0,

Ax + D = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz .

5)

Уравнения координатных плоскостей: x = 0 , y = 0 , z = 0 .

x - x0

y - y0

z - z0

x1

- x0

y1

- y0

z1

- z0

= 0 .

(3)

x2

- x0

y2

- y0

z2

- z0

x

+

y

+

z

= 1 .

(4)

a

b

c

x cos a + y cos b + z cos g - p = 0 .

(5)

M 2 (2;-2;2),

M 3 (- 3;3;3).

388.

Написать

уравнение

плоскости, проходящей

через

точки

M1 (11;2;-5),

M 2 (1;-4;5),

M 3 (- 4;8;9).

389.

Написать

уравнение

плоскости, проходящей

через

точки

M 1 (1;-1;2) ,

M 2 (2;1;2) и M 3 (1;1;4).

392.

Написать

уравнение

плоскости, проходящей

через

точку

M1 (-4;0;4)

и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки a = 4 и b = 3 .

393.

Построить

плоскости: 1)

2x + y - z + 6 = 0 ; 2)

x - y - z = 0 ;

3) y - 2z + 8 = 0 ; 4) 2x - 5 = 0 ; 5) x + z = 1 ; 6) y + z = 0 .

394.

Построить плоскость 2x - 2 y + z + 6 = 0 и найти углы ее норма-

ли с осями координат.

398.

Написать

уравнение

плоскости, проходящей

через

точку

M 1 (1;-3;5)

и отсекающей на осях Оу и Оz вдвое большие отрезки, чем на оси

Ох.

Пусть

заданы

две

плоскостиA x + B y + C z + D = 0 и

1

1

1

1

r

r

A A + B B + C C

cos j = ±

N

× N

= ±

,

r1

r

2

1 2

1 2

1 2

N

1

N

2

A2

+ B2

+ C 2

A2

+ B2

+ C 2

1

1

1

2

2

2

Расстояние

от

точкиM 0 (x0 ; y0 ; z0 )

до

плоскости

и перпендикулярной к плоскостям x - 2 y + z = 0 и x + 2 y - 2z + 4 = 0 .

402.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0;0;а) и

перпендикулярной к плоскостям x - y - z = 0 и 2 y = x .

403.

Написать

уравнение

плоскости, проходящей

через

точки

404.

Через ось Оz

провести плоскость, составляющую с

плоскостью

2x + y -

z = 0 угол 60°.

5

405.

Найти

расстояние

от

точки(5;1;-1)

до

плоскости

x - 2 y - 2z + 4 = 0 .

406.

Найти расстояние от точки(4;3;0) до плоскости, проходящей че-

рез точки M1 (1;3;0), M 2 (4;1;2) из M 3 (3;0;1).

407.

Найти

расстояние

между

параллельными

плоскостями

4x + 3y - 5z - 8 = 0 и 4x + 3y - 5z + 12 = 0 .

Указание. Взять на первой плоскости любую точку, например (2; 0; 0), и най-

ти ее расстояние от другой плоскости.

408.

1) Написать

уравнения

плоскостей, параллельных

плоскости

x - 2 y + 2z - 5 = 0 и удаленных от нее на расстояние, равное 2.

2) Написать уравнения плоскостей, делящих пополам

двугранный

угол, образованный плоскостями 2x + 2 y = z и z = 0 , и построить данные и

искомые плоскости.

409.

1) Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пере-

сечения плоскостей 2x - y + 3z - 6 = 0 , x + 2 y - z + 3 = 0

и

через

точку

сти.

плоскостей2x - y + 3z - 9 = 0 ,

410.

Найти

точку

пересечения

x + 2 y + 2z - 3 = 0 и 3x + y - 4z + 6 = 0 .

411.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2;-1;1) и

перпендикулярной

к плоскостям3x + 2 y - z + 4 = 0 и x + y + z - 3 = 0 .

417.

Написать

уравнения

плоскостей, параллельных

плоскости

2x + 2 y + z - 8 = 0 и удаленных от нее на расстояние d = 4 .

418. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересе-

чения плоскостей 4x - y + 3z - 6 = 0

и x + 5y - z + 10 = 0

перпендикуляр-

ной к плоскости 2x - y + 5z - 5 = 0 .

§3. Уравнения прямой.

Пусть

прямая L

задана

точкой

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

и параллельным ей векто-

r

ром P(l; m; n) (рис. 16). Если M (x; y; z) –

произвольная точка прямой, то

r

AM || P и

по

условию

параллельности

векторов

имеем:

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

.

(1)

l

m

n

кано-

Уравнения (1)

называются

ническими

уравнениями прямой, а

r

называется направ-

вектор P(l; m; n)

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

.

(2)

x1 - x0

y1 - y0

z1 - z0

ва:

x = l t + x0 ,

y = m t + y0 , z = n t + z0 ,

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух не-

параллельных плоскостей:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

(3)

В этом случае уравнения (3) называют общими уравнениями прямой.

Иногда бывает удобно исключить из общих уравнений(3) один раз x ,

другой раз y , т.е. выразить x и y

через z :

x = l z + x0 ,

y = m z + y0 .

(4)

x - x0

=

y - y0

=

z - 0

.

l

m

1

Направляющие косинусы прямой (1) находятся по формулам:

cos a =

l

, cos b =

m

, cos g =

n

;

l 2 + m2 + n2

l 2 + m2 + n2

l 2 + m2 + n2

l =

B1

C1

, m = -

A1

C1

,

n =

A1

B1

.

B2

C2

A2

C2

A2

B2

Угол

между

прямыми, заданными

каноническими

уравнениями

x - x1

=

y - y1

=

z - z1

и

x - x2

=

y - y2

=

z - z2

определяется по фор-

l2

l1

m1

n1

m2

n2

муле:

l1l2 + m1m2

+ n1n2