Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лесев.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

916.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Задание { 46 }.

Скалярное

произведение

векторовa

= 2i + 3 j - 4k и

равно

= -i

- 2 j

- : 12,

- : -6,

- : -8,

- : 4.

Задание { 47 }.

Угол между векторами

равен

= 3i + 3 j

и b = 4 j - 4k

- : 300 ,

- : 450 ,

- : 900 ,

- : 600 .

Задание { 48 }.

Угол между диагоналями параллелограмма построенного на

векторах a = 2i

+ j

и b = 2 j + k равен

- : 300 ,

- : 450 ,

- : 900 ,

- : 600 .

Задание { 49 }.

= 2 3 , то

Если угол между векторами a ,

b равен 300 , а

проекция вектора b на вектор

a равна:

- : 3,

- : 1,

- : –3,

- : –1.

Задание { 50 }.

равен 600 , а

= 10 , то

Если угол между векторами a

, b

проекция вектора a

на вектор b равна:

- : 1,

- : 5,

- : -1,

- : –5.

Задание { 51 }.

Проекция вектора a

на вектор b равна

, а

= 3 . То-

гда скалярное произведение векторов

b равно

- : 3

- : 4

- : – 3

- : – 4

Задание { 52 }.

Проекция

вектора b

на

вектор

равна

, причем

= 3

2 . Тогда скалярное произведение векторов

a ,

b равно

- : –6,

- : 6,

- : –8,

- : 8.

Задание { 53 }. Взаимно перпендикулярными векторами являются

- :

(3;2;1),

(- 3;-2;-1),

b = (2;-3;0),

- : a

b =

- :

(3;2;1),

(- 2;-3;-1).

b = (0;-2;-1),

- : a

b =

Задание { 54 }.

при

использовании

Выражение (2i -

j )× j + (j - 2k )× k ,

свойств скалярного произведения векторов, дает следующий результат:

- : 2,

- : 3,

- : –3,

- : –2.

r 2

Задание { 55 }.

Выражение

при

использовании

(2i - j )

× j + (i - 2k )

свойств скалярного произведения векторов, дает следующий результат:

- : 5,

- : 4,

- : 3,

- : 2.

Задание { 56 }.

Выражение

при

использовании

(j - 2k )× k

+ (i - 2k ) ,

свойств скалярного произведения векторов, дает следующий результат:

- : –5,

- : 6,

- : 1,

- : 3.

Задание { 57 }.

Площадь

треугольника,

построенного

на

векторах

= (1;0;1), b = (2;-3;0) равна

- :

- : 3

- :

Задание { 58 }.

Площадь

треугольника,

построенного

на

векторах

равна

= 2i - k , b

= k - 2 j

- : 5,

- : 6,

- :

Задание { 59 }.

Площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

= (- 1;2;0), b = (- 2;0;3) равна

- :

Задание { 60 }.

Площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

равна

= 2i - 3k , b

= i

- 2 j

- : 2

- :

Задание { 61 }.

Объем

V параллелепипеда,

построенного

на

векторах

= (1;4;3) равен

= (2;1;3), b = (5;3;2), c

- : 40,

- : 10,

- : 80,

- : 20.

Задание { 62 }.

Объем

параллелепипеда,

построенного

на

векторах

r r

равен

= 3i

+ 2 j + k , b = 2i + 5 j + 3k ,

= 3i

+ 4 j + 2k

- : 2,

- : 3,

- : 4,

- : 5.

(4;-3;5),

Задание { 63 }.

Объем V тетраэдра, построенного на векторах a

= (1;-7;-5) равен

b = (3;-2;8), c

- :

Задание { 64 }.

Объем

тетраэдра,

построенного

на

векторах

r r

= 3i

+ 2 j - 4k , b

= 4i + j - 2k ,

= 5i

+ 2 j - 3k равен

- :

Задание { 65 }.

= (3;4;-q)

(8;7;-2),

= (2;-1;8)

компланар-

Векторы a

b =

ны при q равном

- : –15,

- : 5,

- : 15,

- : –5.

Задание { 66 }.

Векторы

a = qi

+ 2 j + 3k ,

b = 7i

+ 8 j + 9k ,

= 4i

+ 5 j + 6k компланарны при q равном

- : 1,

- : 2,

- : 3,

- : 4.

= (- 3;-1)

Задание { 67 }.

Для

векторов

(- 2;0),

справед-

= (1;-1), b =

ливо представление

при значениях параметров l ,

соответ-

c = la

+ mb

ственно равных

- : l = 1 , m = -2 ,

- : l = -1 , m = 2 ,

- : l = 1 , m = 2 ,

- : l = -1 , m = 2 .

Задание { 68 }.

Для

векторов

спра-

= 5i

- 2 j , b

= -4 j ,

= -5i

- 10 j

ведливо представление

при значениях параметров l ,

соот-

c = la

+ mb

ветственно равных

- : l = 1 , m = 3 ,

- : l = -1 , m = -3 ,

- : l = 1 , m = -3 ,

- : l = -1 , m = 3 .

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

§1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние между двумя точками.

Для решения задач этого параграфа нам потребуются следующие фор-

мулы:

d =| x2 - x1 |= (x2 - x1 )2 ,

где d –	расстояние между точками A(x1 ) и B(x2 ) на оси;
	AB = x2 - x1 ,
AB – величина направленного отрезка на оси;

	d = (x	2	- x )2		+ ( y	2	- y )2	,
		2		1		2	1
d – расстояние между точками A(x1; y1 ) и B(x2 ; y2 )								на плоскости;
	пр x AB = X = x2 - x1 ,			пр y AB = Y = y2 - y1 ,
прx AB ,	пр y AB – проекции на оси координат вектора AB на плоскости с
началом A(x1; y1 ) и концом B(x2 ; y2 ) .

Задания.

170. Построить на числовой оси точки A(-5) , B(+4) и C(-2) и найти

величины АВ, ВС и АС отрезков на оси. Проверить, что АВ + ВС = АС.

171. Выполнить предыдущее упражнение для точекА(+1), В(–4) и

С(+5).

172.Построить треугольник с вершинами А(– 4; 2), В(0; –1) и С(3; 3) и определить его периметр и углы.

173.Доказать, что треугольник с вершинамиА(–4;2), B(0; –1) и С (– 2;5) прямоугольный.

174.Построить точки А(–4;0), В(–1;4) и точки A1 , B1 , симметричные

данным относительно оси Оу. Вычислить периметр трапеции ABB1 A1 .

175.Точка В симметрична А(4; –1) относительно биссектрисы первого координатного угла. Найти длину АВ.

176.Найти точку, удаленную на 5 единиц как от точки А(2; 1), так и от

оси Оу.

177.На оси ординат найти точку, удаленную от точкиА(4; –1) на 5 единиц. Пояснить построением, почему получается два решения.

178.На оси абсцисс найти точку, удаленную от точки А(а; b) на с единиц. Исследовать решение при с>|b|, с = |b| и с<|b|.

179.На оси Ох найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от точки A(8;4).

180.Найти центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами A(4, 3), В(–3; 2) и C(1; –6).

181. Даны точки A(2; 6) и B(0; 2); построить вектор AB , его компонен-

ты на осях и вычислить прx AB , пр y AB и длину AB .

182. В точке A(2; 5) приложена сила, проекции которой на оси коорди-

нат равны: Х = 3 и Y = 3. Определить конец вектора AB , изображающего силу, и величину силы.

183. В точке A(–3; –2) приложена сила, проекция которой Y = –1, а

проекция Х положительна. Определить конец вектора AB , изображающего силу, если ее величина равна 52 .

184.На числовой оси построить точкиA(1), В(–3) и С(–2) и найти величины АВ, ВС и СА отрезков на оси. Проверить, что AВ + ВС + СA = 0.

185.На плоскости построить точки A(–7; 0) и В(0; 1) и точки A1 и B1 ,

симметричные точкам A и В относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Вычислить периметр трапеции ABB1 A1 .

186.На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от точки A(–2;5).

187.На оси абсцисс найти точку, удаленную от точки A(–2; 3) на 35

единиц.

188.Определить центр и радиус круга, описанного около треугольника

свершинами A(–3; –1), B(5; –3) и С(6; –4).

189.Даны точки A(x1 ; y1 ) и B(x2 ; y2 ) . В начале координат приложены

силы, изображаемые векторами OA и OB . Построить их равнодействующую

OC и доказать, что проекция равнодействующей на координатную ось равна сумме проекций составляющих на ту же ось.

190. Даны точки A(1; 2), B(3; 5), С(5; 2) и D(2; –2). В точке A приложе-

ны силы AB , AC и AD . Найти проекции на оси координат равнодействующей силы и ее величину.

§2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника.

Пусть даны точки A(x1; y1 ) и B(x2 ; y2 ) . Координаты точки M (x; y), делящей отрезок АВ в отношении AM : MB = l , определяются по формулам:

x =	x1 + lx2	,	y =	y1 + ly2	.

	1 + l			1 + l

В частности, при делении пополам, т.е. в отношении l = 1 : 1 = 1 име-

ем:

x =

x1 + x2

y =

y1 + y2

Площадь

многоугольника

вершинамиA(x1; y1 ) , B(x2 ; y2 ) ,

С(x3 ; y3 ) ,..., F (xn ; yn ) равна

S = ±

1 é

... +

ú .

Задания.

191. Построить точки A(–2; 1) и В(3; 6) и найти точку M (x; y), делящую АВ в отношении АМ : МВ = –3 : 2.

192.Даны точки A(–2; 1) и B(3; 6). Разделить отрезок АВ в отношении

AM : MB = 3 : 2.

193.В точках A(x1 ) и B(x2 ) оси Ох помещены массы m1 и m2 . Найти

центр масс этой системы.

194. В точках A(x1 ) , B(x2 ) и C(x3 ) оси Ох помещены соответственно массы m1 , m2 и m3 . Показать, что центр масс этой системы будет в точке

x = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 . m1 + m2 + m3

195.На концы однородного стержня длиной 40 см и массой 500 г насажены шары массой 100 г и 400 г. Определить центр масс этой системы.

196.В точках А(–2; 4), В(3; –1) и С(2; 3) помещены соответственно массы 60г, 40г и 100г. Определить центр масс этой системы.

197.Определить середины сторон треугольника с вершинамиA(2; –1),

В(4; 3) и С(–2; 1).

198.В треугольнике с вершинами O(0; 0), А(8; 0) и B(0; 6) определить длину медианы ОС и биссектрисы OD.

199.Найти центр масс треугольника с вершинамиA(1; –1), В(6; 4) и

С(2; 6).

Указание. Центр масс треугольника находится в точке пересечения его меди-

ан.

200.Вычислить площадь треугольника с вершинамиA(2; 0), B(5; 3) и

С(2; 6).

201. Показать, что точки A(1; 1), В(–1; 7) и С(0; 4) лежат на одной пря-

мой.

202. Вычислить площадь четырехугольника с вершинамиA(3; 1), B(4; 6), С (6; 3) и D(5;–2).

203.В точках А(–3; –1) и В(4; 6) приложены параллельные силы, соответственно равные 30 Н и 40 Н. На отрезке АВ найти точку приложения равнодействующей.

204.В точках О(0; 0), А(2; –5) и В(4; 2) помещены соответственно массы 500 г, 200 г и 100 г. Определить центр масс этой системы.

205.В треугольнике с вершинамиА(–2; 0), В(6; 6) и С(1; –4) определить длину биссектрисы АЕ.

206.Найти центр масс треугольника с вершинами A(x1 ; y1 ) , B(x2 ; y2 )

иC(x3 ; y3 ) .

207.Найти центр масс четырехугольной однородной доски с верши-

нами A(–2; 1), B(3; 6), С(5; 2) и D(0; –6).

Указание. По формулам, полученным в задаче 206, найти центры масс треугольников АВС и ADC и разделить расстояние между ними в отношении, обратном отношению площадей треугольников.

208.Даны точки A(1; 2) и B(4; 4). На оси Ох определить точкуС так,

чтобы площадь D AВС была равна 5, и построить D AВС.

209. В треугольнике с вершинамиA(–2; 2), B(l; –4) и С(4; 5) каждая сторона продолжена в направлении обхода периметра против часовой стрелки на одну треть своей длины. Определить концы М, N и Р продолжений сторон и найти отношение k площади D MNP к площади D AВС.

§3. Уравнение линии как геометрического места точек.

Уравнением линии называется уравнение относительно переменных

x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и

только они.

Входящие в уравнение линии переменныеx и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные– параметрами. Например, в уравнении окружности x2 + y 2 = R2 переменные x и y – текущие коорди-

наты, а постоянная R – параметр.

Пример 1. Спрос домашних хозяйств на отечественные блага характеризуется функцией C = 0.5 y + 100 , а спрос предпринимателей на инве-

стиции задан формулой I = 400 - 50 x . Государство

закупает 200 ед. Вывести и построить уравнение линии IS.

Решение: Линия IS отражает совокупность y

и x , соответствующих равновесию на рынке благ и выводится из равенства y = C + I + G . Подставляя

него

заданные

находимфункции:

y = 0.5 y + 100 + 400 - 50 x + 200 . Таким образом, искомое уравнение имеет вид: y = 1400 - 100 x .

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1)взять произвольную (текущую) точку M (x; y) линии,

2)записать равенством общее свойство всех точек М линии,

3)входящие в это равенство отрезки(и углы) выразить через текущие

координаты точки M (x; y) и через данные в задаче.

Задания.

210. Показать, что уравнением окружности с радиусом R и с центром в

начале координат будет x2 + y 2	= R2 .
211. Написать уравнение	окружности с центромС(3; 4) и	радиусом
R = 5 . Лежат ли на этой окружности точки: А(–1; 1), B(2; 3),		O(0;	0) и
D(4;1) ?
212. Написать уравнение линии, по которой движется точка M (x; y) ,
равноудаленная от точекA(0; 2) и В(4; –2). Лежат ли на этой линии			точки
C(-1;1) , D(1, - 1) , E(0; –2) и F(2; 2)?

213.Написать уравнение траектории точки M (x; y) , которая при своем движении остается втрое дальше от точки А(0; 9), чем от точки В(0; 1).

214.Написать уравнение траектории точки M (x; y) , которая при сво-

ем движении остается вдвое ближе к точке А(–1; 1), чем к точке В(–4; 4).

215.Написать уравнения биссектрис координатных углов.

216.Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстоя-

ний от каждой из которых до точек F(2; 0) и F1 (–2; 0) равна 25 . Построить линию по ее уравнению.

217.Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки F(2; 2) и от оси Ох. Построить линию по ее уравнению.

218.Написать уравнение линии, по которой движется точка M (x; y) ,

оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от оси Оу.

219. Построить линии: 1)	y = 2x + 5 ;	2) y = 7 - 2x ; 3) y = 2x ;
4) y = 4 ; 5) y = 4 - x2 .
220. Определить точки	пересечения	линииy = x2 - 4x + 3 с осями

координат и построить ее.

221. Определить точки пересечения с осями координат линий:

1) 3x - 2 y = 12 ; 2) y = x2 + 4x ; 3) y2 = 2x + 4 . Построить эти линии.

222.Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси Оу и от точки F(4; 0), и построить линию по ее уравнению.

223.Написать уравнение линии, по которой движется точка M (x; y) ,

равноудаленная от начала координат и от точкиА(–4; 2). Лежат ли на этой линии точки В(–2; 1), С(2; 3), D(1; 7)?

224.	Написать уравнение траектории точки M (x; y) , которая при сво-
ем движении остается вдвое ближе к точке А(0; –1), чем к точке В(0; 4). По-
строить траекторию движения.
225.	Определить точки пересечения	с осями координат : линий
1) 2x + 5 y + 10 = 0 ; 2) y = 3 - 2x - x2 ; 3) y2		= 4 - x . Построить линии.

226.Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси Ох и от точки F(0; 2), и построить линию по ее уравнению.

227.Написать уравнение геометрического места точек, разность рас-

стояний от каждой из которых до точекF1(–2; –2) и F(2; 2) равна 4. Построить линию по ее уравнению.

§4. Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом,

2)общее, 3) в отрезках на осях.

Уравнением прямой с угловым коэффициентомназывается уравне-

ние вида:

y = kx + b .

Параметр k равен тангенсу угла a наклона прямой к оси Ox (k = tga)

и называется угловым коэффициентом, или иногда наклоном прямой. Параметр b – величина отрезка отсекаемого прямой на осиОу, или начальная ордината.

Пример 1. В стране А отказ от производства 6 т. бананов позволяет вырастить дополнительно 5 т. дынь. В стране R для выпуска дополнительных 5 т. дынь необходимо отказаться от производства4 т. бананов. Про-

изводственные возможности позволяют стране А выращивать не более 1250 тыс. т. дынь, а стране R – не более 800 тыс. т. бананов. Найти максимально возможный объем производства бананов в стране А и дынь в стране R.

Решение: Коэффициенты отношений изменения объемов производства бананов и дынь, для стран A и R соответственно равны:

k A = -	DB	= -		6	,	k R = -	DB		= -	4	.
	DD						DD
			5					5

Найденные значения k A и k R есть ни что иное, как угловые коэффициенты прямых описывающих производственные возможности двух стран.

Для страны А, прямая производственных возможностей проходит

через точку (1250; 0)и имеет угловой коэффициентk A = - 6 , а следова-

тельно имеем: 0 = - 6 × 1250 + b . Найдя параметр b , найдем величину от-

резка отсекаемого этой прямой на оси ординат, а значит – Bmax . Таким об-

разом, B =	6	× 1250 = 1500 , т.е. максимально возможный объем произ-

max	5

водства бананов в стране А равен 1500 тыс. тонн.

Для страны R, величина отрезка отсекаемого прямой производственных возможностей на оси ординат известна, и равна 800, а ее угловой ко-

эффициент k R = -	4	. Следовательно, эта	прямая	имеет : вид

5

B = - 4 × D + 800 . Значит, чтобы вычислить максимально возможный объ-

ем производства дынь в странеR, нужно найти точку пересечения этой

прямой

осью

абсцисс. Таким

образом,

положив B = 0 , получим

× Dmax

= 800 ,

т.е.

максимально

возможный

объем производства дынь в

стране R равен Dmax

= 1000 тонн.

Общим уравнением прямой называется уравнение вида:

Особые случаи:

Ax + By + C = 0 .

а) при C = 0

y = -

x – прямая проходит через начало координат;

б) при B = 0

x = -

= a – прямая параллельна оси Оу;

в) при A = 0

y = -

= b – прямая параллельна оси Ох;

г) при B = C = 0

Ax = 0 , x = 0 – ось Оу;

д) при A = C = 0

By = 0 , y = 0 – ось Ох.

Уравнением прямой в отрезках на осях называется уравнение вида

= 1 ,

где а и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Пример 2. В стране S, прямая производственных возможностей шерс-

ти ( X тонн) и льна ( Y тонн), имеет вид Y = 600 -	3	X . Требуется найти

4

максимально возможный объем производства шерсти X max и льна Ymax .

Решение: Величины X max и Ymax есть отрезки, отсекаемые прямой на

осях координат. Поэтому, для ответа на вопрос задачи достаточно уравнение прямой в отрезках на осях. Вначале, перенесем выражение содержащее

X влево: Y + 3 X = 600 , а затем разделим полученное равенство на правую

4	Y		X
часть (на 600), в результате чего, будем иметь:		+		= 1 . Таким об-

600		800
разом, максимально возможный объем производства				шерсти составит
X max = 800 тонн и льна – Ymax = 600 тонн.

Задания.

228.Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b = 3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 135°. Написать уравнения этих прямых.

229.Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b = -3 и со-

ставляющую с осью Ох угол: 1) 60°; 2) 120°. Написать уравнения этих прямых.

230.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат

исоставляющей с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 60°; 3) 90°; 4) 120°; 5) 135°.

231.Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку (–2; 3), и написать ее уравнение.

232.Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1) 2x - 3y = 6 ; 2) 2x + 3y = 0 ; 3) y = -3 ; 4) x + y = 1 .

4	3
233. Построить прямые:
1) 3x + 4 y = 12 ; 2) 3x - 4 y = 0 ; 3) 2x - 5 = 0 ; 4) 2 y + 5 = 0 .
234. Определить параметры k и b прямой,	проходящей	через точку
A(2; 3) и составляющей с Ох угол 45°. Написать уравнение этой прямой.
235. Уравнения прямых: 1) 2x - 3 = 6 ; 2) 3x - 2 y + 4 = 0		привести к

виду в отрезках на осях.

236. Даны точки O(0; 0) и А(–3; 0). На отрезке ОA построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точкеB(0;2). Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

237.Написать уравнение прямой, проходящей через точкуA(4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

238.Прямые y = -2 и y = 4 пересекают прямую 3x - 4 y - 5 = 0 со-

ответственно в точках А и В. Построить вектор AB , определить его длину и его проекции на оси координат.

239. Лежат ли точки A(3; 5), B(2; 7), C(–1; –3) и D(–2; –6) на прямой y = 2x - 1 или же они «выше» или «ниже» этой прямой?

		240. Каков геометрический смысл неравенств:
1)	y > 3x + 1 ; 2) y < 3x + 1 ; 3) 2x + y - 4 ³ 0 ; 4) 2x + y - 4 < 0 ?
		241. Построить области*), координаты точек которых удовлетворяют
неравенствам:
1)	y < 2 - x ; x > -2 ;				y > -2 ;
2)	y > 2 - x ; x < 4 ;				y < 0 ;
3)	x	+	y	£ 1 , y ³ x + 2 ,		x ³ -4 .
	4
		2
		242. Точка M (x; y)				движется так, что разность квадратов расстояний

от нее до точек А(–а; а) и В(а; –а) остается равной 4а2. Написать уравнение ее траектории.

243.Написать уравнение траектории точки M (x; y) , проекция которой на ось Ох движется со скоростьюm ед/с, а на ось Оу – со скоростью n ед/с. Начальное положение точки M 0 (x; y) .

244.Построить прямые, заданные параметрами:

1)b = – 2, j = 60° и 2) b = – 2, j = 120°, и написать их уравнения.

245.Определить параметры k и b прямой, проходящей через точку (-2;3) и составляющей с Ох угол 45°. Построить прямую и написать ее урав-

нение.

246.Равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 2 см имеет острый угол 45°. Написать уравнения сторон трапеции, приняв за осьОх большее основание и за ось Оу – ось симметрии трапеции.

247.Написать уравнения сторон ромба с диагоналями10 см и 6 см, приняв большую диагональ за ось Ох и меньшую – за ось Оу.

248.Написать уравнение прямой, проходящей через точку (–4; 6) и отсекающей от осей координат треугольник площадью 6.

*) Слово «область» здесь означает часть плоскостихОу, координаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым условиям(например, неравенствам). Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на границе области. В противном случае область называется открытой.

249. Написать уравнение линии, по которой движется точка M (x; y) ,

оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от прямой х = –3.

250. Прямые х = –1 и х = 3 пересекают прямую у = 2х + 1 в точках A и

В. Определить длину вектора AB и его проекции на оси координат.

§ 5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Точка пересечения двух прямых.

Углом между прямыми называется угол j , отсчитанный против ча-

совой

стрелки

от

прямой

y = k1 x + b1 до

прямой y = k2 x + b2 . Этот

угол

определяется формулой

k2 - k1

tgj =

(1)

1 + k k

Для

прямых,

заданных

уравнениями A1 x + B1 y + C1 = 0

A2 x + B2 y + C2

= 0

формула (1) примет вид

tgj =

A1B2 - A2 B1

A1 A2 + B1B2

Условиями

параллельности

двух

прямыхявляются:

k1 = k2

или

Условиями

перпендикулярности

двух

прямыхявляются:

= -

или A A + B B

= 0 .

Уравнение

y - y1 = k(x - x1 ) ,

называется уравнением

пучка прямых, проходящих через

данную

точку

A(x1 ; y1 ) .

Уравнением прямой, проходящей через две данные точки A(x1 ; y1 ) и

B(x2 ; y2 ) называется уравнение вида:

		y - y1	=	x - x1	.
		y2 - y1
				x2 - x1
Чтобы	найти точку		пересечения			непараллельных	прямых
y = k1 x + b1 ,	y = k2 x + b2 , достаточно			приравнять		их правые части, найти

абсциссу точки пересечения, а затем, подставив ее в любое из уравнений найти ординату.

Пример 1. Спрос и предложение фирмы на рынке описываются уравнениями: Qd = 200 + 5 P , Qs = 50 + P . Определите параметры равновесия

на этом рынке.

Решение: Параметрами равновесия будут те значенияP и Q , при

которых прямые описывающие спрос и предложение пересекутся. Для нахождения точки пересечения заданных прямых приравняем их правые части,

будем иметь: 200 + 5 P = 50 + P . Следовательно P = 25 .

Подставляя най-

денное значение в уравнение спроса или предложения, находим, что Q = 75 .

случае, когда

прямые

заданы

уравнениямиA x + B y + C = 0 и

A2 x + B2 y + C2

= 0 , координаты точки их пересечения находятся по форму-

лам:

- C1

x =

- C2

y =

- C

(2)

Пример 2. Спрос и предложение фирмы на рынке заданы равенст-

вами: Qd

+ 5 P - 200 = 0 , 2 Qs - 3 P + 55 = 0 . Определите параметры рав-

новесия на этом рынке.

Решение: Как и в примере 1, нам необходимо найти точку пересечения

прямых

спроса

предложения. Используя

равенства (2),

получим:

Q =

-325

= 25 , P =

-455

= 35 .

- 13

Задания.

251. Определить угол между прямыми:

1) y = 2x - 3 ,

y =

x + 1 ;

2) 5x - y + 7 = 0 ,

2x - 3y + 1 = 0 ;

3) 2x + y = 0 ,

y = 3x - 4 ;

4) 3x + 2 y = 0 , 6x + 4 y + 9 = 0 ;

5) 3x - 4 y = 6 8x + 6 y = 11 ;

6)	x	+	y	= 1 ,	x	+	y	= 1 .

	a b				b a

252. Среди прямых 3x - 2 y + 7 = 0 , 6x - 4 y - 9 = 0 , 6x + 4 y - 5 = 0 , 2x + 3y - 6 = 0 указать параллельные и перпендикулярные.

253. Написать	уравнение	пучка прямых, проходящих через	точку
A(2;3) . Выбрать из	этого пучка	прямые, составляющие с осьюОх	углы:

1)45°; 2) 60°; 3) 135°; 4) 0°, и построить их.

254.Построить точку А(–2; 5) и прямую 2x - y = 0 . Написать уравне-

ние пучка прямых, проходящих через A, и выбрать из пучка: 1) прямую, параллельную данной; 2) прямую, перпендикулярную к данной.

255. В точках пересечения прямой 2x - 5y - 10 = 0 с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения.

256.Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(–1; 3) и

В(4; –2).

257.В треугольнике с вершинами A(–2; 0), В(2; 6) и С(4; 2) проведены высота BD и медианаBE. Написать уравнения стороныАС, медианы BE и высоты BD.

258.Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы

уравнениями x + 2 y = 0 , x + 4 y - 6 = 0 ,

x - 4 y - 6 = 0 .

Указание. Чтобы найти внутренние углы треугольника, нужно угловые ко-

эффициенты сторон выписать в порядке убывания:

k1 > k2

> k3 , затем вычислять

тангенсы углов по формулам:

k1 - k2

k2 - k3

k3 - k1

. Убедиться в этом из

1 + k k

1 + k

1 + k k

чертежа, поместив одну из вершин в начале координат.

259.Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат под углом 45° к прямой y = 4 - 2x .

260.Написать уравнения прямых, проходящих через точку A(–1; 1) под углом 45° к прямой 2x + 3y = 6 .

261. Из точки A(5; 4) выходит луч света под угломj = arctg 2 к оси

Ох и от нее отражается. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.

262.Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 3y = 0 , x = 3 , x - 2 y + 3 = 0 .

263.Отрезок прямой 3x + 2 y = 6 , отсеченный осями координат, слу-

жит гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти вершину прямого угла, если известно, что она лежит «выше» данной прямой.

264. Дан треугольник с вершинами A(–2; 0), В(2; 4) и С(4; 0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты AD и найти длину медианы АЕ.

265.Написать уравнения сторон и найти углы треугольника с верши-

нами A(0; 7), В(6; –1) и С(2; 1).

266.Прямая 2x - y + 8 = 0 пересекает осиОх и Оу в точках A и В.

Точка М делит АВ в отношении AM : MB = 3:1. Написать уравнение перпендикуляра, восстановленного в точке М к прямой АВ.

267.	Построить	треугольник, стороны которого заданы уравнениями
x + y = 4 , 3x - y = 0 ,		x - 3y - 8 = 0 ; найти углы и площадь треугольника.
268.	Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот тре-
угольника, вершины которого A(–4; 2), В(2; –5) и С(5; 0).
269.	Из точки A(–5; 6) выходит луч света под угломj = arctg(-2) к

оси Ох и отражается от осиОх, а затем от оси Оу. Написать уравнения всех трех лучей.

§6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых

Нормальным уравнением прямой называется уравнение вида x cos b + y sin b - p = 0 ,

где р – длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а b – угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох. Чтобы привести


общее уравнение прямой Ax + By + C = 0	к нормальному виду, нужно все
его члены умножить на нормирующий множитель M = ±			1	, взятый

		A2	+ B2
со знаком, противоположным знаку свободного члена С.		A2	+ B2
со знаком, противоположным знаку свободного члена С.
Расстояние d от точки (x0 ; y0 )	до прямой найдем,		если	в левую

часть нормального уравнения прямой на место текущих координат подставим координаты (x0 ; y0 ) и полученное число возьмем по абсолютной величине:

d =| x cos b + y sin b - p | ,

или

d = | Ax0 + By0 + C | .

A2 + B2

Уравнения биссектрис углов между прямымиAx + By + C = 0 и

A1 x + B1 y + C1 = 0 имеют вид:

Ax + By + C = ± A1 x + B1 y + C1 .

A2 + B2	A2	+ B2
	1	1

Уравнение

a( Ax + By + C) + b ( A1 x + B1 y + C1 ) = 0

называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых.

Задания.

270.Привести к нормальному виду уравнения прямых:

1)3x - 4 y - 20 = 0 ; 2) x + y + 3 = 0 ; 3) y = kx + b .

271. Построить прямую, если длина нормали p = 2 , а угол b наклона
ее к оси Ох равен: 1) 45°; 2) 135°; 3) 225°; 4) 315°. Написать уравнения этих
прямых.	Найти расстояния от точекA(4; 3), В(2; 1) и С(1; 0) до прямой
272.
3x + 4 y - 10 = 0 . Построить точки и прямую.
273.	Найти	расстояние	от	начала	координат	до	пр
12x - 5 y + 39 = 0 .
274.	Показать, что прямые 2x - 3y = 6			и 4x - 6 y = 25 параллельны,
и найти расстояние между ними.

Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти расстояние от нее до другой прямой.

275. Найти k из условия, что прямая y = kx + 5 удалена от начала ко-

ординат на расстояние d = 5 .

276.Написать уравнение геометрического места точек, удаленных от прямой 4x - 3y = 0 на расстояние d = 4 .

277.Составить уравнение прямой, удаленной от точки А(4; –2) на расстояние d = 4 и параллельной прямой 8x - 15 y = 0 .

278.	Написать	уравнения	биссектрис	углов	между	прямыми
2x + 3y = 10 и 3x + 2 y = 10 .
279.	Написать	уравнения	биссектрис	углов	между	прямыми
3x + 4 y = 12 и y = 0 .
280.	Написать уравнение траектории точки M (x; y) , которая при сво-
ем движении остается		втрое дальше	от прямойy = 2x - 4 , чем от прямой

y= 4 - 2x .

281.Написать уравнение прямой, проходящей через точкуМ пересечения прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5 y - 15 = 0 и через точку N (1; - 2) (не

находя точки М).

282. Написать уравнение прямой, проходящей через точкуМ пересечения прямых 5x - y + 10 = 0 и 8x + 4 y + 9 = 0 и параллельной прямой

x + 3y = 0 (не находя точки М).

283.Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами A(–3; 0),

В(2; 5) и С(3; 2).

284.Написать уравнение прямой, проходящей через точкуA(2; 4) и

удаленной от начала координат на расстояние d = 2 .

285.Проверить, что точки A(–4; –3), В(–5; 0), С(5; 6) и D(1; 0) служат вершинами трапеции, и найти ее высоту.

286.Через начало координат проведена прямая на одинаковом -рас стоянии от точек A(2;2) и В(4; 0). Найти это расстояние.

287.Написать уравнения геометрического места точек, удаленных от

прямой x + 2 y - 5 = 0 на расстояние, равное 5 .

288.Написать уравнение траектории точки M (x, y) , которая при своем движении остается вдвое дальше от прямой y=x , чем от прямой y = -x .

289.Написать уравнение прямой, проходящей через точкуМ пересечения прямых 2x - 3y + 5 = 0 и 3x + y - 7 = 0 и перпендикулярной к пря-

мой y = 2x (не находя точки М).

§ 7. Окружность.

Уравнение окружности с центром в точке C(a; b) и радиусом, равным R:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2 .	(1)
Если в уравнении (1) раскрыть скобки, то оно примет вид
x2 + y2 + mx + ny + p = 0 .	(2)

Чтобы от уравнения (2) опять перейти к уравнению вида(1), нужно в левой части уравнения (2) выделить полные квадраты:

m ö2

n ö

ç x +

+ ç y +

- p .

(3)

Пример 1. Кривая трансформации, характеризующая максимально возможные годовые объемы выпуска(в тыс. т.) апельсинов и мандаринов в стране, представляет собой дугу окружности радиусом50 и с центром в начале координат. Определить: 1) максимально возможный объем производства апельсинов, если объем производства мандаринов составляет14 тыс. т.; 2) максимально возможный объем производства мандаринов, при выпуске апельсинов в 30 тыс. т.

Решение: Обозначим через x годовой объем производства апельсинов, а через y – годовой объем производства мандаринов (в тыс. т.). Тогда кри-

вая производственных возможностей оказывается заданной уравнением окружности

x2 + y2 = 502 , (4)

где x ³ 0 и y ³ 0 , так как объемы производства не могут быть отрица-

тельными.

Следовательно, для ответа на первый вопрос задачи необходимо подставить заданный объем производства мандаринов y = 14 тыс.т. в урав-

нение (4): x = 2500 - 196 = 48 . Это означает, что, при производстве 14 тыс.т. мандаринов максимально возможный объем производства апельсинов составит 48 тыс.т.

Действуя аналогично, и подставляя в уравнение(4) значение x = 30 ,

находим: y = 2500 - 900 = 40 . Таким образом, максимально возможный

объем производства мандаринов, при выпуске 30 тыс. т. апельсинов составит 40 тыс. т.

Задания.

290. Написать уравнение окружности с центромС(–4; 3), радиусом R = 5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А(–1; –1), В(3; 2),

O(0; 0)?

291.Дана точка (–4; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА.

292.Построить окружности:

1) x2 + y2 - 4x + 6 y - 3 = 0 ; 2) x2 + y2 - 8x = 0 ;	3) x2 + y 2 + 4 y = 0 .
293. Построить окружность x2 + y 2 + 5x = 0 ,	прямую x + y = 0 и
найти точки их пересечения.

294.Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(1; 2).

295.Найти угол между радиусами окружности x2 + y 2 + 4x - 6 y = 0 ,

проведенными в точки пересечения ее с осью Оу.

296. Написать уравнение окружности, проходящей через точки A(–1;3),

B(0;2) и С(1; –1).

Указание. Написать

уравнение

искомой

окружности

x2 + y 2 + mx + ny + p = 0 , подставить в него координаты каждой точки и -за тем найти m, n и р.

297.Написать уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружности x2 + y 2 + 4x - 4 y = 0 с прямой y = -x ; и через точку

А(4; 4).

298.Определить область расположения кривой y = -- x2 - 4x . По-

строить кривую.
299.	Написать	уравнения	касательных	к	окруж
x2 + y 2 - 8x - 4 y + 16 = 0 , проведенных из начала координат.

300.Дана точка А(а; 0). Точка М движется так, что в D ОМА угол ОМА остается прямым. Определить траекторию движения точки М.

301.Даны точки А(–6; 0) и В(2; 0). Найти геометрическое место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами.

302.Определить траекторию точки M (x; y) , движущейся так, что сумма

квадратов расстояний от нее до точекА(–а; 0), В(0; а) и С(а; 0) остается равной За2.

303. Определить траекторию точки M (x; y) , движущейся так, что сум-

ма квадратов расстояний от нее до биссектрис координатных углов остается равной а2.

304. Дана окружность x2 + y 2 = a2 . Из ее точки А(а; 0) проведены всевозможные хорды. Определить геометрическое место середин этих хорд.

305.Даны точки А(–3; 0) и В(3; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок AB.

306.Найти центры, радиусы и построить окружности:

1) x2 + y 2 - 6x + 4 y - 23 = 0 ;

2) x2 + y 2 + 5x - 7 y + 2,5 = 0 ;

3)x2 + y 2 + 7 y = 0 .

307.Окружность касается оси Ох в начале координат и проходит через точку А(0; –4). Написать уравнение окружности и найти точки пересечения ее с биссектрисами координатных углов.

308.Написать уравнение окружности, проходящей через начало коор-

динат		и	через точки пересечения прямойx + y + a = 0 с				окружностью
x2	+ y 2	= a2 .
	309.		Написать уравнения касательных, проведенных из начала коор-
динат к окружности, проходящей через точки A(1; –2), В(0; –1) и С(–3; 0).
	310.		Найти	угол	между	радиусами		ок
x2	+ y2	- 4x + 6 y - 5 = 0 , проведенными в точки пересечения ее с осью Ох.
	311.		Показать, что	точка A(3;	0) лежит	внутри	окружности
x2	+ y2	- 4x + 2 y + 1 = 0 , и написать уравнение хорды, делящейся в точке А
пополам.

Указание. Искомая хорда перпендикулярна к СА, где С – центр окружности.

312. Точка M (x; y) движется так, что сумма квадратов расстояний от

нее до начала координат и до точки A(–a; 0) остается равной а2. Определить траекторию движения точки М.

313. Дана окружность x2 + y 2 = 4 . Из точки ее A(–2; 0) проведена

хорда АВ и продолжена на расстояниеВМ = АВ. Определить геометрическое место точек М.

314. Отрезок AМ = а перемещается по плоскости хОу, оставаясь парал-

лельным

Ох,

так,

что

левый конец

его А

скользит

по

окружности

x2 + y 2 = a2 . Определить траекторию движения точки М.

§8. Эллипс.

Эллипсом

называется

геометри-

ческое место точек, сумма расстояний

от каждой из которых до двух данных

точек F и F1 (фокусов) есть постоян-

ная величина 2a , большая F1 F .

Каноническое

(простейшее)

уравнение эллипса имеет вид:

= 1.

(1)

Эллипс, заданный уравнением (1), симметричен относительно осей ко-

ординат (рис. 10). Параметры a и b называются полуосями, а 2a

и 2b –

осями эллипса. Пусть a > b , тогда фокусы F и

F1 находятся на оси Ох на

расстоянии c =

- b2

от центра.

Отношение

= e < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Рас-

y) эллипса до его фокусов т.е. фокальные радиус–

стояния

от точки M (x;

векторы, определяются формулами

r1 = a + ex .

r = a - ex ,

Если же a < b , то фокусы находятся на оси Оу, и справедливы равен-

e =

, r = b ± ey .

ства: c =

b2 - a2 ,

Задания.

315. Построить эллипс x2 + 4 y2 = 16 , найти его фокусы и эксцентри-

ситет.

316. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3; 2) большая полуось a = 6 , а эксцентриситет e = 0,5.

317. Найти малую полуось b и эксцентриситет e эллипса, имеющего большую полуось а= 5 и параметр с, равный: 1) 4,8; 2) 4; 3) 3; 4) 1,4; 5) 0. Построить каждый из эллипсов.

318.Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147,5 миллиона километров, а наибольшее 152,5 миллиона километров. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.

319.Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит

через точки M (2; 3) и B(0; 2). Написать его уравнение и найти расстояния

от точки М до фокусов.

320. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы ко-

торого находятся на осиОх, проходит через точку M (-4; 21) и имеет экс-

центриситет e = 3 . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус–

векторы точки М.

321. Найти длину хорды эллипса x2 + 2 y2 = 18 , делящей угол между осями пополам.

322.Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой и малой полуосей.

323.В эллипс x2 + 4 y2 = 4 вписан правильный треугольник, одна из

вершин которого совпадает c концом большой полуоси. Определить координаты двух других вершин треугольника.

Указание. Написать уравнение одной из сторон, имеющей наклон k = tg 30°, и найти точки ее пересечения с эллипсом.

324.На эллипсе 9x2 + 25 y2 = 225 найти точку, расстояние от которой до правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса.

325.Ординаты всех точек окружности x2 + y 2 = 36 сокращены втрое.

Написать уравнение полученной новой кривой.

326.Определить траекторию точкиМ, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F(–1; 0), чем к прямой x = -4 .

327.Отрезок АВ постоянной длины а + b движется так, что его конец A скользит по оси Ох, а конец В – по оси Оу. Определить траекторию движения точки М отрезка, делящей его на части ВМ = а и МА = b (эллиптический циркуль Леонардо да Винчи).

328. Даны окружности x2 + y 2 = b2 и x2 + y 2 = a2 (b>a). Произволь-

ный луч ОBА пересекает их соответственно в точках В и А, из которых проведены прямые, параллельные осям координат, до пересечения их в точке М. Определить геометрическое место точек М.

329.Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны5 и 1.

330.Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит

через точки M (23; 6 ) и A(6; 0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.

331.	Найти длину хорды эллипса	x2	+	y 2	= 1 , направленной по диа-
		a2		b2

гонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.
332.	Найти общие точки эллипса x2		+ 4 y2		= 4 и окружности, прохо-
дящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его«верхней» вершине.
333.	На прямой x = -5 найти точку, одинаково удаленную от«лево-
го» фокуса и от «верхней» вершины эллипса x2 + 5 y2 = 20 .
334.	На эллипсе x2 + 5 y2 = 20 найти точку, радиус–векторы которой
перпендикулярны.

Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в начале координат.

335. Абсциссы точек окружности x2 + y 2 = 4 увеличены вдвое. Оп-

ределить полученную кривую.

336. Определить траекторию точкиМ, которая при своем движении

остается втрое ближе к точке А(1; 0), чем к прямой x = 9 .
§9. Гипербола.
Гиперболой			называется		геометри-
ческое место точек, разность расстояний
от каждой из которых до двух данных
точек F и F1 (фокусов) есть постоянная
величина 2a (0 < 2a < F1 F ).
Каноническое (простейшее) урав-
нение гиперболы имеет вид:
	x2	-	y2	= 1 .	(1)
	a2		b2

Гипербола, заданная уравнением (1), симметрична относительно осей координат (рис. 11). Она пересекает ось Ох в точках А (а; 0) и А(–а; 0) – вер-

шинах гиперболы и не пересекает осьОу. Параметры a	и	b	называются
соответственно вещественной и мнимой полуосями, а	2a		и	2b – ве-
щественной и мнимой осями гиперболы. Параметр с =
	a2	+ b2		есть рас-

стояние от фокуса до центра. Отношение c = e > 1 называется эксцентри- a

ситетом гиперболы. Прямые y = ± b x называются асимптотами гипер- a

болы. Расстояния от точки M (x; y) гиперболы до ее фокусов т.е. фокальные

радиус–векторы, определяются формулами

r =| ex - a | ,

r1 =| ex + a | .

Гипербола,

у которой a = b ,

называется равносторонней,

ее

урав-

нение

- y

= a

, а уравнения асимптот

y = ±x . Гиперболы

= 1

иy2 - x2 = 1 называются сопряженными. b2 a2

Задания.

337.Построить гиперболу x2 - 4 y 2 = 16 и ee асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

338.На гиперболе x2 - 4 y 2 = 16 взята точка М с ординатой, равной 1.

Найти расстояние от нее до фокусов.

339. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между фокусами 2c = 10 , а между вершинами 2a = 8 ; 2) вещест-

венная полуось a = 25 , а эксцентриситет e = 1, 2 .

340. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку M (6;-25 ) и имеет мнимую полуось b = 2. Написать ее уравне-

ние и найти расстояния от точки М до фокусов.

341. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а

фокусы – в вершинах эллипса

= 1 .

342. Написать

уравнение

гиперболы, имеющей

эксцентриситет

e =

, проходящей через точку (2a; a

3) и симметричной относительно

осей координат.

343. Построить гиперболу y2

= a 2

+ x2 , найти координаты ее фокусов

и угол между асимптотами.

344.

Написать уравнения касательных к гиперболеx2

- 4 y 2

= 16 ,

проведенных из точки A(0; –2).

345.

Найти расстояние от фокуса гиперболы

= 1 до ее асим-

b 2

птот и угол между асимптотами.

346.

Найти сторону квадрата, вписанного в гиперболу

= 1 , и

b 2

исследовать, в какие гиперболы можно вписать квадрат.

347.Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол: 1) 60°; 2) a .

348.Определить область расположения кривойy = -9 + x2 . Построить кривую.

349.Определить траекторию точки M (x; y) , которая при своем дви-

жении остается вдвое ближе к прямой х = 1, чем к точке F(4; 0).

350.Даны точки A(–1; 0) и B(2; 0). Точка М движется так, что в D АМВ угол В остается вдвое больше угла A. Определить траекторию движения.

351.Дана точка A (а; 0). По оси Оу движется точка В. На прямой BE,

параллельной Ох, откладываются отрезки ВМ и ВМ1, равные АВ. Определить геометрическое место точек М и М1.

352. Даны прямые x = ±b и x = ±a (b < a). Произвольный луч ОА (рис. 12) пересекает прямую x = b (или x = -b ) в точке В и прямую x = a ( x = -a ) в точке A. Радиусом ОА описана дуга, пересекающая Ох в точке С.

Из точек В и С проведены прямые, параллельные соответственно Ох и Оу, до пересечения в точке М. Определить геометрическое место точек М.

353.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

354.Найти точки пересечения асимптот ги-

перболы x2 - 3y 2 = 12 с окружностью, имеющей

центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

355. Гипербола проходит через точку M (6;35 / 2) симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуосьa = 4 . Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

356. На гиперболе 9x2 - 16 y2 = 144 найти точку, расстояние от которой до левого фокуса вдвое меньше, чем до правого.

357.	На гиперболе x2 - y2		= 4 найти	точку, фокальные радиусы–
векторы которой перпендикулярны (см. указание к задаче 334).
358.	Точка М	делит	расстояние	между	фокусами	гиперболы
9x2 - 16 y2	= 144 в отношении F M : MF = 2 : 3 , где F – левый фокус ги-
		1		1

перболы. Через точку М проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти точки пересечения этой прямой с асимптотами гиперболы.

359.Определить траекторию точки М, которая движется так, что остается вдвое дальше от точки F(–8; 0), чем от прямой x = -2 .

360.Даны точки А(–а; 0) и В(2а; 0). Точка М движется так, что угол МАВ остается втрое меньше внешнего углаАМС треугольника АМВ. Определить траекторию движения точки М.

§10. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки – фокуса и данной прямой – директрисы.

Каноническое (простейшее) уравнение параболы имеет два вида:

1)	y2	= 2 px – парабола симметрична относительно оси Ох (рис. 13);
2)	x2	= 2 py – парабола симметрична относительно оси Оy (рис. 14).

В обоих случаях вершина параболы, т.е. точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола

					y2	= 2 px
	æ p			ö			p
имеет фокус	Fç		;0	÷	и директрису	x = -		; фокальный радиус–вектор точ-
имеет фокус	Fç	2	;0	÷	и директрису	x = -	2	; фокальный радиус–вектор точ-
	è	2		ø			2

ки M (x; y) на ней r = x + p . 2

Парабола

					x2	= 2 py
	æ		p ö				p
имеет фокус	Fç	0;		÷	и директрису	y = -		; фокальный радиус–вектор точ-
имеет фокус	Fç	0;	2	÷	и директрису	y = -	2	; фокальный радиус–вектор точ-
	è		2	ø			2

ки M (x; y) на ней r = y + p . 2

Задания.

361. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точкиF(0; 2) и от прямой y = 4 . Найти точки пересечения

этой кривой с осями координат и построить ее.

362.Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямойx = -4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

363.Построить параболы, заданные уравнениями:

1) y 2 = 4x ; 2) y2 = -4x ; 3) x2 = 4 y ; 4) x2 = -4 y , а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

364.Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0;0) и (1;–3) и симметричной относительно осиОх; 2) проходящей через точки (0;0) и (2; –4) и симметричной относительно оси Оу.

365.Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y 2 = px и касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения пара-

болы и окружности.

366. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола

проходит через	точки пересечения прямойx + y = 0	и окружности
x2 + y 2 + 4 y = 0	и симметрична относительно осиОу. Построить окруж-

ность, прямую и параболу.

367.На параболе y 2 = 6x найти точку, фокальный радиус–вектор которой равен 4,5.

368.Определить область расположения кривой y = -- x . Построить

кривую.

369.Из вершины параболы y 2 = px проведены всевозможные хорды.

Написать уравнение геометрического места середин этих хорд.

370. Определить геометрическое место центров окружностей, касающихся окружности x2 + y 2 = 2ax и оси Оу.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.2018159.74 Кб2Лекция трудовые отношения.doc
#
05.06.2015107.87 Кб14Лекция №34.pdf
#
05.06.20151.42 Mб4лекция19ноября2014.pdf
#
05.06.2015688.32 Кб5Лекция1_prezent.pdf
#
05.06.20151.15 Mб7Лекция2_презент.pdf
#
05.06.2015916.62 Кб42Лесев.pdf
#
26.09.2019129.31 Кб8Линал 1-21.docx
#
05.06.2015295.09 Кб17линал бдз.pdf
#
23.09.20192.72 Mб11Линал готовый.docx
#
05.06.2015426.81 Кб29Линейная алгебра.pdf
#
04.06.201517.76 Кб57Литература (АВТ).docx