161.

Показать,

что

векторы

r

r

r

r

r

r

r

r

a

= -i

+ 3 j + 2 k ,

b

= 2 i

- 3 j - 4 k ,

r

r

r

r

компланарны,

r

r

и

c

= -3 i

+ 12 j + 6 k

и разложить вектор c

по векторам a

r

b .

162. Показать, что

r

r r r

1)

r

r

r

r

;

(a

+ b ) × [(a + c) ´ b ] = -a b c

2)

r

r

r

r

r

r

r

r

r r r

(a

+ 2 b - c) × [(a

- b ) ´ (a - b - c)] = 3 a b c .

165.

Построить

r

r

r

r

r

r

r

и

векторы a

= i

+ j + 4 k ,

b

= i

- 2 j

r

r

r

r

c

= 3 i - 3 j + 4 k , показать, что они компланарны, и найти линейную зави-

симость между ними.

166.

Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диагона-

167.

Даны

единичные

r

,

r

и

r

Угол

векторыm

n

p .

rÙ r

r

Ù r

r

r

r

r

1

(m, n) = [ p ,(m ´ n)] = a . Доказать, что тогда

(m ´ n)

´ p

=

sin 2a .

r

r

r

r

2

r

r

r

r

168.

r

При любых векторах a

, b

и c

векторы a

- b , b - c и

c

- a

компланарны. Доказать

это аналитически

и

геометрически(рассмотрением

параллелепипеда, построенного на векторах

r

r

r

a

, b и

c ).

169. Вычислить объем параллелепипеда OABCO1 A1B1C1 , в котором да-

ны три вершины нижнего основанияO(0; 0; 0), A(2; –3; 0) и С(3; 2; 0) и вер-

шина верхнего основания B1(3; 0; 4), лежащая на боковом ребреBB1, проти-

воположном ребру OO1.

Тестовые задания ко второй главе.

r

r

= (a1 , a2 )

на плоскости,

Задание { 1 }. Если вектор a задан координатами

a

то длина вектора вычисляется по формуле:

r

r

= a2

+ a2

- :

,

- :

= a

+ a

,

a

a

2

r

1

2

r

1

- :

= (a1 + a2 )2 ,

- :

= a12 + a22 .

a

a

Задание { 2 }. Если

r

задан

r

= (a1 , a2 , a3 )

в про-

вектор a

координатами a

странстве, то длина вектора вычисляется по формуле:

r

r

= a2

2

+ a2

- :

+ a

,

- :

= a

+ a

+ a

,

a

a

2

3

r

1

2

3

r

1

- :

= (a1 + a2 + a3 )2 ,

- :

= a12 + a22 + a32 .

a

a

Задание { 3 }. Косинус

угла j

образованного

ненулевыми

векторами

r

=

(a1 , a2 ),

r

(b1 , b2 ) на плоскости, вычисляется по формуле:

a

b =

a12

+ a22

b12 + b22

(a12 + a22 )(b12 + b22 )

- : cos j

=

,

- :

cos j =

,

a1b1 + a2b2

a1b1 + a2b2

- : cos j =

a1b1 + a2b2

,

- :

cos j =

a1a2 + b1b2

.

a2

+ a2

b2 + b2

a2

+ a2

b2 + b2

1

2

1

2

1

2

1

2

Задание { 4 }. Косинус

угла j

образованного

ненулевыми

векторами

r

=

(a1 , a2 , a3 ),

r

в пространстве, вычисляется по формуле:

a

b = (b1 , b2 , b2 )

- :

cos j =

a1a2 a3 + b1b2b3

,

a

2

+ a2

+ a2

b2

+ b2

+ b2

1

2

3

1

2

3

- : cos j =

(a12

+ a22

+ a32 )(b12

+ b22 + b32 )

,

a1b1

+ a2b2 + a3b3

- : cos j =

a1b1 + a2b2 + a3b3

,

a2 + a2

+ a2

b2

+ b2

+ b2

1

2

3

1

2

3

a

2

+ a2

+ a2

b2

+ b2

+ b2

- :

cos j =

1

2

3

1

2

3

.

a1b1 + a2b2 + a3b3

r

, имеющий то же направление, что и век-

Задание { 5 }. Единичный вектор e

r

равен

тор a

r

r

r

r

r

a

- :

e

=

a

× a

,

- :

e

=

r

,

a

- : e = a × a ,

- : e

r

= ar .

r

r

r

r

r

= (3;7;5)

r

a

Задание { 6 }. Векторы a

и b = (m;4;1) перпендикулярны при зна-

чении m равном:

- : –11,

- : 11,

- : 4,

- : 5.

Задание { 7 }. Векторы

r

= (m2 ;3;2) и

r

перпендикулярны

при

a

b = (1;-3;-8)

значениях m равных:

- : –1, 1,

- : –2, 2,

- : –5, 5,

r

- : 1, 3.

r

Задание { 8 }. Векторы

= (- 39;9;18)

перпендикулярны

при

a

и b = (0;1; m)

значении m равном:

- : 3,

- : –0.5,

- : 4,

- : 5.

значении m равном:

- : –3,

- : 33,

- : 7,

r

- : 6.

r

Задание { 11 }.

Векторы

= (- 19;8;7)

a

и b = (0; 7; - 8m) перпендикулярны

при значении m равном:

- : 7,

- : 56,

- : –19,

r

- : 1.

r

(m2 ; 5; - 1) перпендикулярны при

Задание { 12 }.

Векторы a

= (2;1;23) и b =

значениях m равных:

- : 1, 2,

- : 1, 3,

- : –3, 3,

r

- : –1, 1.

Задание { 13 }.

= (2; m; - 3)

r

Векторы a

и b = (4;1; 2) перпендикулярны при

значении m равном:

- : 13,

- : 11,

- : 17,

r

- : 21.

Задание { 18 }. Векторы

r

a

= (15; 29; 3) и b = (2; 0; m) перпендикулярны при

чениях k и m равных:

- : 2, 1,

- : 3, 1,

- : –2, –1,

r

- : –2, 1.

Задание { 21 }.

r

коллинеарны при зна-

Векторы a

= (1; - 1; m) и b = (k; 2; 4)

чениях k и m равных:

- : –2, 2,

- : 2, 2,

- : –2, –2,

r

- : 1, –2.

Задание { 22 }.

Векторы

r

a

= (11; - 1; k ) и b = (m; 2; - 1) коллинеарны при

значениях k и m равных:

- : 1, 22,

- : 0.5, –22,

- : –0.5, –22,

r

- : 11, 1.

Задание { 23 }.

r

(k;1; - 1)

коллинеарны при зна-

Векторы a

= (4; 5; m) и b =

чениях k и m равных:

- : 1, –5,

- : –0.8, –5,

- : 0.8, –5,

r

- : 0.8, 5.

Задание { 24 }.

Векторы

r

(2; 2; - 1)

коллинеарны при зна-

a

= (k; m; 4) и b =

чениях k и m равных:

- : 8, 1,

- : –8, 8,

- : 8, 8,

- : –8, –8.

Задание { 25 }.

r

r

(2;1; 3) коллинеарны при значе-

Векторы a

= (1; m; k ) и b =

ниях k и m равных:

- : 1.5, 0.5,

- : –1.5, 1,

- : –1.5, 2,

r

- : 1, –1.

Задание { 26 }.

Векторы

r

коллинеарны при зна-

a

= (-5; m; 5) и b = (k; 2;1)

чениях k и m равных:

- : 1, 10,

- : 1, –10,

- : –1, 10,

r

- : –1, –10.

Задание { 27 }.

Векторы

r

(4;1; k ) коллинеарны при значе-

a

= (1; m; 2) и b =

ниях k и m равных:

- : 8, 0.5,

- : 3, 2,

- : –8, 0.25,

r

- : 8, 0.25.

r

Задание { 28 }.

Векторы

= (- 1; - 1; m) и

при

a

b = (k; 4; 5) коллинеарны

значениях k и m равных:

- : 4, 0.5,

- : 2, 3,

- : 4, –1.25,

r

- : 4, 1.

r

Задание { 29 }.

Векторы

коллинеарны при зна-

a

= (4; - 4; m) и b = (2; k;1)

чениях k и m равных:

- : –2, 2,

- : 2, 2,

- : –2, –2,

r

- : 1, 2.

r

(k;1; - 1)

Задание { 30 }.

коллинеарны при зна-

Векторы a

= (2; 2; m) и b =

чениях k и m равных:

- : 1, 2,

- : 1, –2,

- : –1, 2,

r

- : –1, –2.

Задание { 31 }.

r

коллинеарны при зна-

Векторы a

= (3; - 3; m) и b = (2; k; 2)

чениях k и m равных:

- : –2, 3,

- : 2, 3,

- : –2, –3,

- : –3, 2.

r

r

Задание { 32 }.

Площадь

S

треугольника, построенного на векторах a ,

b

определяется равенством:

1

r r

1

r

r

- :

S =

[a, b ]

,

- :

S =

(a, b ),

3

2

r r

r

1

1

r

- :

S =

(a, b ),

- :

S =

[a

, b ]

.

3

2

Задание { 33 }.

r