ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЕВЕРСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»»

Утверждаю Зав.кафедрой ВМ Профессор

_______________ Н.И. Федосов «____»_____________2010 г.

И.Л. Фаустова

Высшая математика Контрольная работа «Линейная алгебра»

Практическое руководство

Северск 2010

1 Содержание теоретической части темы «Линейная алгебра»

1.1 Определители второго и третьего порядков. Свойства определите-

лей.

1.2Теорема Лапласа. Определители порядка n.

1.3Матрицы и действия над ними.

1.4Обратная матрица.

1.5Решение матричных уравнений.

1.6Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

1.7Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения и классификация. Теорема Кронекера – Капелли. Критерий определенности системы.

1.8Матричный метод решения системы линейных уравнений.

1.9Метод Крамера.

1.10Метод Гаусса.

1.11Системы линейных однородных уравнений.

4

2 Методические указания к выполнению контрольной работы «Линейная алгебра»

Задача 1 – Вычислить определитель четвертого порядка двумя способами:

а) разложить по какой-либо строке или столбцу; б) преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или

в каком-либо столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу

Решение – а) разложим определитель по элементам первого столбца:

A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 + a41 A41 ,

Таким образом, исходный определитель четвертого порядка сведется к четырем определителям третьего порядка, каждый из которых можно вычислить, разложив по элементам, например, первого столбца или применяя правило треугольников:

= 5 + 40 −15 = 30 ;

5

Окончательно получим:

A =1 30 + 2 60 +3 90 + (−4) (−120) = 900 ;

б) вычисления значительно упрощаются, если воспользоваться свойствами определителя и получить нули в какой-либо строке или столбце. Обо-

значим строки определителя буквой S , а столбцы - K . Тогда S1 +3S4 озна-

чает, что к первой строке нужно прибавить три четвертых строки. Действия над строками и столбцами будем писать у знака равенства при преобразовании определителя, учитывая свойства определителя:

Ответ: A = 900 .

6

A - невырожденная (т.е. A−1 существует).

7

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Решение матричного уравнения найдем по формуле (1):

Замечание

Решение матричного уравнения вида X = A B следует находить по формуле X = B A−1;

8

Заметим, что основная матрица системы А совпадает с матрицей А из пункта а) и обратная матрица А-1, следовательно, уже найдена в пункте а).

9

Задача 3 – Дана система линейных уравнений (2):

а) доказать, что эта система имеет единственное решение; б) решить систему методом Крамера; в) решить систему методом Гаусса.

Решение – а) для того, чтобы доказать, что система имеет единственное решение, необходимо проверить, что определитель основной матрицы

системы A отличен от нуля. Имеем

i -го столбца на столбец свободных членов:

в) метод Гаусса состоит в том, что путем последовательного исключения неизвестных система уравнений превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) эквивалентную систему уравнений.

Для приведения системы уравнений к ступенчатому виду используются следующие преобразования:

-перестановка любых двух уравнений;

-умножение обеих частей уравнений системы на одно и тоже число;

-прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на число.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее

10

приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу системы, выполняя преобразования над ее строками. Запишем расширенную матрицу для системы (2):

По приведенной матрице запишем эквивалентную систему:

Далее реализуем вторую часть метода Гаусса – обратный ход. Выразим из последнего уравнения x3 =1. Подставляя полученное значение x3 во вто-

рое уравнение, находим x 2 . Подставляя найденные значения x 2 , x3 в первое уравнение, находим x1 .

Ответ: x1 =1, x 2 = 2 , x 3 =1.

Задача 4 – Дана система линейных уравнений. Найти ее общее решение и какое-либо частное решение. Сделать проверку по всем уравнениям, подставив частное решение в каждое уравнение системы.

Решение – Выпишем расширенную матрицу системы (4) и приведем ее к ступенчатому виду:

11

1 1 1

Выделим базисный минор, например, 0 1 −7 = 2 ≠ 0 , тогда

0 0 2

x1 , x 2 , x3 - базисные неизвестные, x 4 - свободное неизвестное. Запишем экви-

валентную ступенчатую систему, перенеся свободное неизвестное в правую часть:

Обратным ходом, начиная с последнего уравнения, найдем x1 , x 2 , x3 , а именно:

x1 =8 −7x 4 ,

x 2 = −6 +7x 4 ,x3 = −1+2x 4 .

Эти равенства определяют общее решение системы (4): давая в них свободному неизвестному произвольные числовые значения, получим все

x1 = 8, x2 = −6, x3 = −1, x4 = 0 – частное решение системы.

12