ЛР Численные методы (Трухачев)

Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

А.А. Трухачев

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

по курсу «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Учебное пособие

Москва 2010

3

Работа 1

ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ц е л ь : изучение прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются одними из наиболее часто используемых: математические модели тех или иных явлений или процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым посредством дискретизации и (или) линеаризации.

Метод Гаусса

Данный метод хорошо известен и широко распространен. Изложим алгоритм Гаусса в матричных обозначениях, что проводит к так называемому LU-разложению обратной матрицы.

Пусть задана система

Обозначим матрицу коэффициентов системы после преобразований k-го шага A(k), k=1,2,…,n , полагая A(1)=A, причем матрица A(k) имеет нули ниже главной диагонали в первых k– 1 столбцах. Обозначим ek – k-й столбец единичной матрицы n-го порядка.

На k-м шаге процесса k-я строка матрицы A(k) делится на элемент akk( k ) , умножается на различные коэффициенты и вычитается

из всех последующих за ней строк так, чтобы ненулевые элементы k-го столбца, лежащие ниже k-й строки, становились нулями. Полученную в результате матрицу можно обозначить A(k+1). В матричных обозначениях этот процесс прямого гауссова исключения может быть записан следующим образом:

где элементарная нижняя треугольная матрица Lk задается в виде

4

Lk = In + (η (k ) - ek )× ekT ,

а элементы вектора-столбца η ( k ) , определяются следующим образом:

Таким образом, диагональные элементы матрицы Lk равны единице во всех столбцах, кроме k-го, в котором элементы, лежащие

на диагонали и под ней, равны ηi( k ) (i=k, k+1, …, n ). Все остальные

элементы матрицы Lk равны нулю. Теперь из (1.2) получаем

A( n+1) = Ln ×... × L2 L1 A(1) .

Если положить L = Ln × ... × L2 L1 и учесть, что A(1)=A и A(n+1)=U (U – верхняя треугольная матрица), то получим

U = LA .

Умножая уравнение (1.1) на L1, L2, …, Ln приходим к выраже-

Обратный ход метода Гаусса состоит в приведении верхней треугольной матрицы U к единичной In . Достигается это за счет последовательного умножения матрицы U слева на матрицу Uk (k=n, n-1, …, 2):

5

Таким образом, все диагональные элементы матрицы Uk равны единице, а в k-м столбце все наддиагональные элементы принима-

ют значения ξi( k ) (i=1,2,…,k- 1). Все остальные элементы Uk явля-

ются нулями.

Теперь можно записать общий результат применения процессов прямого исключения и обратной подстановки к матрице A. Из уравнения (1.4) получим:

U −1 = U2 ×... ×Un−1Un .

А из (1.3) следует:

x = U −1Lb = U 2 × ... ×U n−1U n Ln Ln−1 ×... × L1b .

Чтобы уменьшить ошибки округления, а также сделать метод пригодным в случае, если на некотором шаге главный элемент akk( k )

оказывается равным нулю, предлагается две модификации метода Гаусса:

1. Метод Гаусса с частичным упорядочиванием.

На k-м шаге выбирают наибольший по абсолютной величине элемент k-го столбца матрицы A(k), расположенный в k-й строке или

матрицы A(k) перед выполнением вычислений k-го шага.

2. Метод Гаусса с полным упорядочиванием.

На k-м шаге выбирают наибольший по абсолютной величине элемент, расположенный в последних (n–k+1 ) строках и столбцах

строки и t-й и k-й столбцы матрицы A(k) перед выполнением вычислений k-го шага. Эти перестановки строк и столбцов запоминаются для дальнейшего использования.

Метод квадратного корня

Объем вычислений можно значительно сократить, если учесть

матрица, т.е. aij=aji. Будем строить её представление в виде

A = U TU , где

6

Таким образом, матрица U может быть определена совокупностью формул:

Для важного в приложениях класса симметричных положительно определенных матриц разложение по формулам (1.5) выполнимо.

7

При наличии UTU-разложения решение симметричной системы Ax=b сводится к последовательному решению двух треугольных систем:

Первый метод ортогонализации

Пусть Ax=b – система линейных уравнений с положительно определенной симметричной матрицей. Скалярное произведение

ров. Определим ещё одно произведение векторов с и d:

8

Свойства матрицы A позволяют утверждать, что произведение, определенное равенством (1.6), обладает всеми свойствами скалярного произведения. Если [c, d ]A = 0 , будем говорить, что векторы

Зная ck, из выражения (1.7) можно получить искомое решение. Построение A-ортогональной системы векторов f1, …, f n обычно проводят на системе e1, …, e n векторов-столбцов единичной матрицы.

Процедура ортогонализации Грама– Шмидта произвольной линей-

но независимой системы векторов

Пусть e1, …, e n – произвольная линейно независимая система векторов евклидова пространства Rn; (ei, ej) – означает скалярное произведение векторов. Требуется построить ортогональную по

9

заданному скалярному произведению систему векторов f1, …, f n, т.е. если i ¹ j .

Первый вектор ортогональной системы можно выбрать произвольно, поэтому положим f1=e1.

Вектор f2 будем искать в следующем виде: f2 = e2 + α21e1 . Коэффициент α21 выбирается из условия (f2, f1)=0 или (e2 + α21 f1 , f1 ) = (e2 , f1 ) + α21 ( f1 , f1 ) = 0 . Таким образом,

Из независимости системы e1, …, e n следует, что описанный выше процесс ортогонализации выполним, т.е. при любом 1 ≤ k ≤ n вектор f k ¹ 0 .

Второй метод ортогонализации

Пусть A – произвольная невырожденная матрица СЛАУ. Это означает, что система вектор-строк этой матрицы линейно независима. Эту систему векторов можно ортогонализировать по обычному скалярному произведению, т.е. построить новую систему век-

Допустим, что из системы строк {aiT } матрицы A необходимо полу-

первые два вектора ортогональны, а остальные совпадают с соот-

10