ЛР Численные методы (Трухачев)
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
≤ ε , то можно считать, что |
||||
Если выполняется условие |
Ri |
|
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
ошибка приближенного равенства |
y( xi+1 ) ≈ y2i+2 |
|
не превосхо- |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
h |
|
> ε , то следует уменьшить расчетный шаг |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
дит ε . Если же |
|
Ri |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
h |
|
|
|
|
<< ε стоит попытаться двигаться дальше с |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
h. При условии |
Ri |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
более крупным шагом (например, удвоить h).
ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ
1.Изучить теорию, необходимую для выполнения лабораторной работы.
2.Написать программу численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.
Входные параметры программы:
начальное условие ОДУ;
отрезок значений x решения ОДУ;
начальный шаг;
точность ε.
Выходные данные программы:
приближенное значение решения уравнения в конце отрезка;
величина шага;
оценка погрешности.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Отладить программу численного решения ОДУ.
51
2. При оценке погрешности необходимо использовать двойной пересчет согласно принципу Рунге. В качестве оценки погрешности использовать
max
[ x0 ,b]
|
h |
|
− yi+1 |
(h) |
|
||
y2i +2 |
|
|
|
|
|||
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
2 p − 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. При использовании многошаговых методов Адамса на этапе старта выбирать одношаговый метод того же или более высокого порядка точности, что и многошаговый.
ОТЧЕТ О РАБОТЕ
В отчет о работе необходимо включить:
1.Название и цель лабораторной работы.
2.Постановку задачи.
3.Исходные данные: вид задачи Коши, начальное условие и отрезок решения, выбранные преподавателем, начальный шаг и требуемую точность.
4.Выходные результаты программы решения задачи Коши.
5.Таблицу численных значений решения задачи Коши с ша-
гом, при котором выполняется условие max Ri ≤ ε ( hε ) и удвоен-
[ x0 ,b]
ным шагом в пяти равномерно распределенных точках отрезка, включая его концы, а также модуль разности этих значений:
xi |
yh |
( xi ) |
y2h ( xi ) |
y |
( x ) − y |
( x ) |
|
|
ε |
ε |
|
hε i |
2hε i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
b
6. Выводы о результатах расчетов в таблице п. 5 и величины итоговой оценки погрешности.
52
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Сформулируйте постановку задачи решения ОДУ с начальными условиями. Какие классы методов решения этой задачи существуют?
2.Приведите формулу Эйлера численного решения задачи Коши. Дайте геометрическую интерпретацию. Как можно оценить локальную ошибку дискретизации метода? Какой порядок точности имеет метод Эйлера?
3.Метод Хойна. Формулы расчета, геометрическая интерпретация, порядок точности метода.
4.Метод средней точки. Формулы расчета, геометрическая интерпретация, порядок точности метода.
5.Приведите формулу семейства методов Рунге– Кутта второго порядка. Как из неё получить формулы метода Хойна и метода средней точки?
6.Формула Рунге– Кутта 4-го порядка. Апостериорный контроль точности.
7.Идея многошаговых методов Адамса. Как выглядят два интерполирующих полинома, заменяющих функцию f(x, y)?
8.Приведите формулы Адамса– Башфорта первого, второго и третьего порядков.
9.Приведите формулы методов прогноза и коррекции первого, второго и третьего порядков.
Пример варианта
ОДУ первого порядка: |
y′ = |
3x2 y |
. |
|
|||
|
2 |
|
|
Метод решения: |
метод Рунге– Кутта 4-го порядка. |
||
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.
2.Волков Е.А. Численные методы. М. : Наука, 1982.
53
|
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ |
Варианты заданий к работе 1 |
|
||||
Вариант 1.1 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
1.32 |
-0.69 |
0.35 |
0.50 |
-0.32 |
|
-0.69 |
9.62 |
-0.14 |
0.23 |
0.27 |
|
0.35 |
-0.14 |
6.66 |
-0.49 |
0.03 |
|
0.50 |
0.23 |
-0.49 |
-2.99 |
0.04 |
|
-0.32 |
0.27 |
0.03 |
0.04 |
2.53 |
|
Величина |
|
ε=1·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
квадратного корня, Якоби. |
|||
Вариант 1.2 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
8.98 |
0.83 |
0.58 |
-0.20 |
0.96 |
-0.13 |
0.83 |
-7.31 |
0.80 |
0.96 |
-0.57 |
0.01 |
0.58 |
0.80 |
-9.96 |
-0.39 |
-0.73 |
-0.01 |
-0.20 |
0.96 |
-0.39 |
1.34 |
-0.89 |
-0.81 |
0.96 |
-0.57 |
-0.73 |
-0.89 |
-4.71 |
0.94 |
-0.13 |
0.01 |
-0.01 |
-0.81 |
0.94 |
-1.50 |
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
1-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
54
Вариант 1.3 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-4.60 |
0.35 |
-0.90 |
-0.44 |
-0.53 |
|
0.87 |
1.96 |
0.66 |
-0.42 |
-0.20 |
|
-0.56 |
-0.22 |
-2.24 |
-0.14 |
-0.82 |
|
-0.62 |
0.87 |
-0.11 |
4.03 |
0.77 |
|
-0.44 |
0.65 |
-0.98 |
-0.98 |
-1.27 |
|
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
2-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.4 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-3.82 |
0.62 |
-0.10 |
-0.59 |
-0.31 |
-0.32 |
0.65 |
-2.22 |
0.29 |
0.83 |
-0.16 |
0.60 |
0.37 |
-0.04 |
-4.39 |
0.17 |
-0.76 |
-0.68 |
0.06 |
0.21 |
-0.11 |
3.87 |
0.04 |
-0.68 |
-0.64 |
0.30 |
-0.50 |
0.71 |
9.43 |
-0.67 |
0.79 |
0.53 |
-0.70 |
-0.03 |
-0.34 |
8.29 |
Величина |
|
ε=3·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
Гаусса, Якоби. |
|
|
|
Вариант 1.5
Размерность матрицы: n=5. Матрица А:
5.50 |
0.27 |
-0.58 |
-0.72 |
0.70 |
0.27 |
-5.34 |
-0.60 |
-0.18 |
-0.49 |
-0.58 |
-0.60 |
9.55 |
0.56 |
-0.21 |
-0.72 |
-0.18 |
0.56 |
-6.74 |
0.37 |
0.70 |
-0.49 |
-0.21 |
0.37 |
7.42 |
Величина |
|
ε=1·10-4. |
|
|
Методы: |
|
квадратного корня, Якоби. |
||
55
Вариант 1.6
Размерность матрицы: n=6. Матрица А:
7.48 |
-0.31 |
-0.96 |
-0.67 |
0.88 |
0.62 |
-0.31 |
-5.81 |
0.99 |
0.55 |
-0.43 |
-0.36 |
-0.96 |
0.99 |
-8.00 |
0.12 |
0.53 |
-0.30 |
-0.67 |
0.55 |
0.12 |
3.30 |
-0.70 |
-0.49 |
0.88 |
-0.43 |
0.53 |
-0.70 |
2.39 |
0.84 |
0.62 |
-0.36 |
-0.30 |
-0.49 |
0.84 |
4.07 |
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
1-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.7 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
4.12 |
0.05 |
0.75 |
0.89 |
-0.27 |
|
-0.70 |
2.99 |
0.72 |
0.77 |
0.36 |
|
0.41 |
-0.53 |
3.03 |
0.08 |
-0.61 |
|
-0.85 |
-0.72 |
0.75 |
6.26 |
-0.61 |
|
-0.89 |
-0.52 |
0.93 |
-0.51 |
1.01 |
|
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
2-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.8 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-9.63 |
-0.61 |
-0.09 |
-0.24 |
-0.72 |
0.63 |
-0.68 |
3.60 |
0.23 |
0.31 |
-0.10 |
-0.15 |
0.07 |
0.84 |
4.85 |
-0.94 |
-0.18 |
-0.23 |
-0.14 |
-0.91 |
0.99 |
2.23 |
0.82 |
0.43 |
-0.19 |
0.76 |
0.86 |
0.05 |
-1.98 |
0.21 |
0.66 |
-0.16 |
-0.96 |
0.25 |
-0.62 |
-8.36 |
Величина |
|
ε=3·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
Гаусса, Якоби. |
|
|
|
56
Вариант 1.9 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-7.39 |
-0.03 |
0.66 |
-0.36 |
-0.71 |
|
-0.03 |
-9.99 |
-0.80 |
0.92 |
-0.45 |
|
0.66 |
-0.80 |
-2.52 |
0.33 |
0.55 |
|
-0.36 |
0.92 |
0.33 |
-8.27 |
0.42 |
|
-0.71 |
-0.45 |
0.55 |
0.42 |
2.06 |
|
Величина |
|
ε=1·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
квадратного корня, Якоби. |
|||
Вариант 1.10 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-9.21 |
-0.20 |
-0.82 |
0.99 |
0.26 |
0.12 |
-0.20 |
5.35 |
0.97 |
-0.95 |
-0.61 |
0.78 |
-0.82 |
0.97 |
8.43 |
-0.48 |
-0.07 |
0.80 |
0.99 |
-0.95 |
-0.48 |
-3.46 |
-0.47 |
0.40 |
0.26 |
-0.61 |
-0.07 |
-0.47 |
-9.93 |
-0.53 |
0.12 |
0.78 |
0.80 |
0.40 |
-0.53 |
0.59 |
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
1-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.11 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
6.10 |
-0.59 |
-0.77 |
0.96 |
-0.42 |
|
0.40 |
-8.11 |
-0.13 |
0.91 |
0.44 |
|
-1.00 |
-0.92 |
-4.36 |
0.97 |
-0.79 |
|
-0.43 |
-0.21 |
0.71 |
6.38 |
0.87 |
|
-0.66 |
-0.53 |
-0.93 |
-0.91 |
-0.82 |
|
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
2-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
57
Вариант 1.12 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
9.74 |
0.20 |
0.90 |
0.54 |
-0.33 |
0.62 |
-0.17 |
-5.37 |
-0.86 |
-0.56 |
-0.35 |
-0.03 |
0.62 |
0.66 |
-1.12 |
0.60 |
0.12 |
-0.14 |
-0.90 |
-0.86 |
-0.58 |
-9.23 |
0.46 |
-0.72 |
0.23 |
-0.53 |
0.62 |
0.46 |
-3.91 |
0.15 |
-0.19 |
-0.03 |
0.01 |
0.91 |
0.64 |
-5.94 |
Величина |
|
ε=3·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
Гаусса, Якоби. |
|
|
|
Вариант 1.13
Размерность матрицы: n=5. Матрица А:
-1.65 |
-0.26 |
-0.19 |
-0.42 |
0.53 |
|
-0.26 |
1.14 |
-0.35 |
0.93 |
-0.12 |
|
-0.19 |
-0.35 |
-2.10 |
-0.19 |
-0.81 |
|
-0.42 |
0.93 |
-0.19 |
-5.80 |
-0.99 |
|
0.53 |
-0.12 |
-0.81 |
-0.99 |
-5.73 |
|
Величина |
|
ε=1·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
квадратного корня, Якоби. |
|||
Вариант 1.14 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
5.75 |
0.41 |
-0.14 |
0.41 |
-0.57 |
-0.89 |
0.41 |
9.95 |
-0.34 |
-0.72 |
-0.23 |
-0.32 |
-0.14 |
-0.34 |
5.71 |
-0.35 |
0.87 |
-0.52 |
0.41 |
-0.72 |
-0.35 |
5.78 |
0.97 |
0.07 |
-0.57 |
-0.23 |
0.87 |
0.97 |
5.02 |
0.35 |
-0.89 |
-0.32 |
-0.52 |
0.07 |
0.35 |
-5.60 |
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
1-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
58
Вариант 1.15
Размерность матрицы: n=5. Матрица А:
3.26 |
0.27 |
0.26 |
0.64 |
0.83 |
|
-0.76 |
5.39 |
0.66 |
-0.62 |
-0.54 |
|
0.71 |
0.09 |
5.25 |
-0.61 |
-0.31 |
|
-0.66 |
-0.18 |
0.53 |
-5.77 |
0.40 |
|
0.23 |
-0.58 |
0.40 |
0.53 |
-9.66 |
|
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
2-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.16 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
1.17 |
-0.90 |
-0.81 |
0.79 |
0.78 |
0.43 |
0.21 |
-7.72 |
0.39 |
0.93 |
-0.36 |
-0.49 |
-0.10 |
-0.38 |
-4.50 |
-0.61 |
-0.10 |
-0.77 |
-0.94 |
0.42 |
-0.08 |
-6.92 |
-0.10 |
-0.78 |
0.98 |
-0.75 |
0.29 |
-0.56 |
1.78 |
-0.77 |
-0.92 |
0.02 |
-0.93 |
0.11 |
0.43 |
-2.98 |
Величина |
|
ε=3·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
Гаусса, Якоби. |
|
|
|
Вариант 1.17 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
4.54 |
-0.67 |
-0.66 |
0.08 |
-0.36 |
|
-0.67 |
7.30 |
-0.81 |
0.90 |
-0.09 |
|
-0.66 |
-0.81 |
5.12 |
0.98 |
0.43 |
|
0.08 |
0.90 |
0.98 |
-9.09 |
0.87 |
|
-0.36 |
-0.09 |
0.43 |
0.87 |
1.01 |
|
Величина |
|
ε=1·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
квадратного корня, Якоби. |
|||
59
Вариант 1.18 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
2.46 |
0.87 |
-0.12 |
-0.80 |
0.40 |
0.73 |
0.87 |
-5.19 |
0.97 |
-0.12 |
-0.88 |
-0.22 |
-0.12 |
0.97 |
5.66 |
-0.38 |
-0.40 |
-0.11 |
-0.80 |
-0.12 |
-0.38 |
5.75 |
-0.90 |
-0.16 |
0.40 |
-0.88 |
-0.40 |
-0.90 |
8.17 |
0.96 |
0.73 |
-0.22 |
-0.11 |
-0.16 |
0.96 |
2.03 |
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
1-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.19 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=5. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-6.06 |
-0.18 |
-0.55 |
0.01 |
0 |
|
0.15 |
2.28 |
-0.55 |
0.21 |
0.68 |
|
0.93 |
-0.48 |
-4.34 |
0.32 |
0.84 |
|
0.35 |
0.68 |
0.66 |
1.73 |
0.21 |
|
-0.96 |
-0.42 |
0.11 |
0.84 |
7.11 |
|
Величина |
|
ε=2·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
2-й метод ортогонализации, Зейделя. |
|||
Вариант 1.20 |
|
|
|
|
|
Размерность матрицы: |
n=6. |
|
|
|
|
Матрица А: |
|
|
|
|
|
-5.90 |
0.16 |
0.50 |
0.72 |
-0.53 |
-0.20 |
-0.04 |
-9.58 |
-0.50 |
-0.78 |
0.51 |
0.80 |
-0.24 |
-0.99 |
-5.02 |
-0.21 |
-0.54 |
-0.66 |
-0.15 |
0.11 |
0.93 |
7.07 |
-0.08 |
-0.95 |
-0.01 |
-0.78 |
-0.30 |
0.48 |
-9.29 |
0.18 |
-0.82 |
0.40 |
-0.05 |
0.52 |
0.05 |
1.40 |
Величина |
|
ε=3·10-4. |
|
|
|
Методы: |
|
Гаусса, Якоби. |
|
|
|
60