ЛР Численные методы (Трухачев)

ветствующими векторами системы {aiT }. Процесс ортогонализации проходит по формуле (1.8). Тогда матрица H2 частичной ортогона-

В общем случае при переходе от системы с ортогональными (k-1) векторами к системе с ортогональными k векторами надо воспользоваться матрицей

Переход от исходной системы вектор-строк матрицы A к ортогональной можно осуществить, умножая A слева на матрицы H1,

т е × × = ~

…, Hn, . . Hn Hn−1 ... H1 A A .

Если задана система Ax=b с невырожденной матрицей A, то, домножив её слева последовательно на матрицы H1, …, Hn, получим эквивалентную систему

11

j =1

все компоненты которого равны нулю, кроме j-го, который равен

или иным способом может быть преобразована к эквивалентной системе вида

рица и вектор соответственно. На основе системы (1.11) можно определить итерационный процесс приближений x(k) к неподвижной точке x* (решению системы (1.11)):

Итерационный процесс (1.12) начинается с некоторого вектора

x(0) = (x1(0) ,..., xn(0) )T и называется методом простых итераций

(МПИ).

12

Приведем несколько утверждений о сходимости и оценке погрешности решения, доказательства которых можно найти в литературе.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием сходимости МПИ при любом начальном векторе x(0) к решению x* системы (1.11) является требование, чтобы все собственные числа матрицы B были по модулю меньше единицы.

Теорема 2. Пусть B £ q < 1 , где B – норма матрицы B. Тогда

при любом начальном векторе x(0) МПИ (1.12) сходится к единственному решению x* системы (1.11), и при всех k Î N справедливы оценки погрешности:

где x – норма некоторого вектора x, согласованная с нормой матрицы B.

Определение 1. Нормой вектора x = (x1 ,..., xn )T называется неотрицательная функция координат вектора, обозначаемая x , и удовлетворяющая требованиям:

1) x > 0 для "x ¹ 0 и 0 = 0 ;

2)cx = c × x для c, x ;

3) x + y £ x + y .

Примеры норм векторов:

13

Определение 2. Нормой квадратной матрицы A = (aij )n назы-

i, j =1

вается неотрицательная функция её элементов, обозначаемая A и удовлетворяющая требованиям:

1) A > 0 для "A ¹ 0 и 0 = 0 ;

2)cA = c × A для c, A ;

3) A + B £ A + B ;

4) A + B £ A × B .

Примеры норм матриц:

n

1) A1 = maxi ∑ aij ;

j =1

n

2) A 2 = maxj ∑ aij ;

i =1

3) A 3 = L , где L – наибольшее собственное

число матрицы ATA.

Норма вектора и норма матрицы согласованы между собой, если

A × x £ A × x для "A, x .

Одним из подходов к построению итерационного процесса (1.12) является следующий. Представим матрицу A исходной СЛАУ в виде A=L+D+R, где D – диагональная, а L и R – левая и правая строго треугольные матрицы соответственно. Тогда система может быть переписана в виде

Lx+Dx+Rx=b,

если на диагонали исходной матрицы нет нулей, то эквивалентной задачей вида (1.11) будет

x = -D−1 (L + R)x + D−1b ,

т.е. в равенстве (1.11) следуют положить B = -D−1 (L + R) и

c = D−1b .

Основанный на таком приведении исходной системы к виду (1.11) метод простых итераций называется методом Якоби. В век- торно-матричных обозначениях он определяется формулой

14

Метод Зейделя

Под методом Зейделя понимается такое видоизменение МПИ, при котором для подсчета i-й компоненты (k+1)-го приближения к искомому вектору x* используются уже найденные на этом (k+1)-м шаге новые значения первых (i-1) компонент.

В векторно-матричной форме это можно записать как

L × x( k +1) + D × x(k +1) + R × x(k ) = b .

Отсюда

x(k +1) = -(L + D)−1 Rx(k ) + (L + D)−1 b ,

т.е. в данном случае B = -(L + D)−1 R и c = (L + D)−1 b .

ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ

1.Изучить описание лабораторной работы.

2.Написать программу решения СЛАУ одним или несколькими методами, указанными в варианте.

Входные параметры программы:

размерность системы n;

матрица коэффициентов A размерности nxn;

вектор свободных членов b.

Дополнительный входной параметр итерационных методов:

величина ε для останова итерационного процесса. Выходные параметры программы:

вектор решения системы;

вектор невязки решения, определяемый по формуле

r = b − Ax ;

норма вектора невязки.

Дополнительные выходные параметры итерационных методов:

начальный вектор x(0);

число шагов итерационного процесса;

величину x(k ) - x( k −1) для последнего шага процесса.

15

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Отладить программы, реализующие указанные методы.

2.С помощью программ найти решение СЛАУ.

3.В случае если предложенный в варианте метод не позволяет найти решение, предложить и реализовать его модификацию для нахождения решения СЛАУ.

ОТЧЕТ О РАБОТЕ

Отчет о работе должен включать в себя:

1.Название и цель лабораторной работы.

2.Постановку задачи.

3.Исходные данные (размерность матрицы, СЛАУ, величину

ε).

4.Вид матрицы B и вектора c для итерационных методов.

5.Расчет нормы матрицы B и выводы о сходимости итерационного процесса.

6.Априорную оценку числа шагов итерационного процесса.

7.Выходные данные программ решения СЛАУ.

8.График зависимости нормы вектора разности приближения

крешению на текущем и предыдущих шагах итерационного процесса от номера шага (для итерационных методов).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.На какие два класса можно разделить численные методы решения СЛАУ?

2.Опишите прямой и обратный ход метода Гаусса в матричной форме. Какие модификации метода существуют?

3.Сравните метод Гаусса и квадратного корня. Какие преимущества и недостатки есть у каждого из них?

4.Опишите процедуру ортогонализации Грама– Шмидта. В каких методах и как она используется?

5.Сравните прямые и итерационные методы решения СЛАУ. Какие преимущества и недостатки есть у каждого из подходов?

6.Дайте определение нормы вектора и матрицы, приведите примеры норм. Что такое согласованные нормы вектора и матрицы?

16

7.Запишите итерационный процесс метода простой итерации. Какие условия сходимости данного метода?

8.Приведите априорную и апостериорную оценку погрешности решения МПИ. Как можно оценить число шагов решения для достижения требуемой точности ε?

9.Запишите методы Якоби и Зейделя в матричной форме. Какой из них будет сходиться быстрее в случае диагонального преобладания в матрице A?

10.Что называется невязкой решения СЛАУ?

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

2.Тимохин С.Г. Алгоритмизация вычислений. М.: МИФИ,

1983.

17

Работа 2

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦ

Ц е л ь : изучение методов нахождения всех собственных значений матрицы, а также построения характеристического многочлена и собственных векторов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц является востребованной, но в то же время наиболее сложной задачей вычислительной линейной алгебры.

В данной работе рассматривается итерационный процесс вращений Якоби, который позволяет найти все собственные значения симметричной вещественной матрицы. А также методы Данилевского определения характеристического многочлена и получения собственных векторов.

Метод вращения Якоби решения полной проблемы собственных значений

Подобными называются матрица A и B=C-1AC, где C – произвольная невырожденная матрица.

Пусть {λ, x} – собственная пара матрицы B=C-1AC, тогда {λ, Cx}

– собственная пара матрицы A.

Основой метода является использование преобразований с помощью так называемой матрицы плоских вращений:

ij

::

18

Она получается из единичной матрицы заменой двух единиц и двух нулей на пересечениях i-х и j-х строк и столбцов числами с и

±s, как показано в (2.1), такими, что

c2+s2=1. (2.2)

Условие нормировки (2.2) позволяет интерпретировать числа с и s как косинус и синус некоторого угла α, и так как умножение любой матрицы на матрицу Tij изменяет у неё только две строки и два столбца по формулам поворота на угол α в плоскости, определяемой выбранной парой индексов i и j, то это полностью оправдывает название матрицы Tij.

Матрица Tij ортогональна (TijTTij=TijTijT=I) при любых i и j, а зна-

подобна A, т.е. имеет тот же набор собственных чисел, что и матрица A.

Классический итерационный метод вращений, предложенный Якоби, предполагает построение последовательности матриц

такой, что на k-м шаге обнуляется максимальный по модулю элемент матрицы Bk-1 предыдущего шага (а значит и симметричный ему элемент). Эта стратегия определяет способ фиксирования пары индексов i и j, задающих позиции (i,i), (j,j), (i,j), (j,i) «существенных» элементов в матрице вращения Tij, и угол поворота α, конкретизирующий значения этих элементов с=cos α, и ±s=±sin α. На каждом шаге таких преобразований пересчитываются только две строки (или два столбца) матрицы предыдущего шага. Хотя, к сожалению, нельзя рассчитывать, что таким путем за конечное число шагов можно точно найти диагональную матрицу Λ (Λ=diag(λi)), ибо полученные на некотором этапе преобразований нулевые элементы на следующем этапе станут, вообще говоря, ненулевыми, но нужное предельное поведение

19

этих матриц, определяемые фиксированием позиции (i,j) некоторого элемента aij матрицы A:

Очевидно, что равенство (2.3) записанное для матриц A, B, Tij,

Учитывая тригонометрическую интерпретацию чисел с=cos α, и s=sin α, можно считать

~

Приходим к выводу, что матрица B будет иметь нулевые внедиагональные элементы bij=bji, если использовать предобразование по формуле плоского вращения (2.3) на угол α такой что

20