линал бдз
.pdf6.Собственные числа и собственные векторы линейных операторов
6.1. Линейные операторы тр¼хмерного пространства
1. |
0 7 |
4 |
4 1. |
8. |
0 8 |
1 7 1. |
|||||||
|
|
|
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
9 |
4 |
3 |
|
|
@ 6 2 3 A |
|
@ 1 3 6 A |
||||||||||
2. |
0 9 |
8 |
|
3 1. |
9. |
0 4 6 |
1 1. |
||||||
|
|
4 |
3 |
|
3 |
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
@ 9 |
3 |
|
8 A |
|
@ 4 3 |
4 A |
||||||
3. |
0 |
7 |
6 |
|
1 |
1. |
10. |
0 |
2 |
6 |
1 |
1. |
|
|
|
5 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
@ 3 4 3 A |
|
@ 3 2 |
6 A |
|||||||||
4. |
0 |
3 |
4 |
|
1 |
1. |
11. |
0 |
3 |
2 |
1 |
1. |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
4 |
6 |
4 |
|
|
|
@ 3 |
2 |
|
3 A |
|
@ 4 8 6 A |
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5. |
0 |
2 |
4 |
|
1 |
1. |
12. |
0 |
6 |
4 |
4 |
1. |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
@ 3 |
2 |
|
4 A |
|
@ 3 1 |
4 A |
||||||
6. |
0 |
4 |
7 |
6 |
1. |
13. |
0 |
9 2 5 |
1. |
||||
|
|
|
4 |
5 |
4 |
|
|
|
6 |
1 5 |
|
|
|
|
@ 3 |
0 1 A |
|
@ 8 2 8 A |
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7. |
0 |
5 |
2 5 |
1. |
14. |
0 |
3 |
7 |
1 |
1. |
|||
|
|
2 |
5 |
5 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
@ 5 |
5 8 A |
|
@ 3 2 |
6 A |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
15. |
0 |
2 |
|
8 |
|
1 |
1. |
23. |
0 |
1 |
1 |
4 |
1. |
||
|
|
5 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
6 |
7 |
|
9 |
|
|
|
@ 3 |
|
2 |
|
8 A |
|
@ 3 2 1 A |
||||||||
16. |
0 |
8 |
|
3 |
|
4 |
1. |
24. |
0 |
5 |
|
6 |
|
1 |
1. |
|
|
5 |
|
4 |
4 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
@ 0 2 |
|
7 A |
|
@ 5 |
|
3 |
|
4 A |
||||||
17. |
0 |
5 |
7 5 |
1. |
25. |
0 |
7 |
1 4 |
1. |
||||||
|
|
7 |
5 |
5 |
|
|
|
|
5 |
1 |
4 |
|
|
||
|
@ 5 5 3 A |
|
@ 6 2 6 A |
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18. |
0 |
5 |
4 6 |
1. |
26. |
0 |
4 |
|
6 |
|
1 |
1. |
|||
|
|
2 |
7 |
6 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
@ 4 8 9 A |
|
@ 4 |
|
3 |
|
4 A |
||||||||
19. |
0 |
3 |
|
9 |
|
1 |
1. |
27. |
0 |
3 |
4 |
1 |
1. |
||
|
|
4 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
6 |
|
4 |
|
|
@ 3 |
|
2 |
|
8 A |
|
@ 4 8 |
|
8 A |
||||||
20. |
0 |
4 |
|
5 |
|
1 |
1. |
28. |
0 |
1 |
0 |
3 |
1. |
||
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
6 |
|
8 |
|
6 |
|
|
@ 5 |
|
4 |
|
3 A |
|
@ 1 |
|
4 7 A |
||||||
21. |
0 |
8 |
2 |
5 |
1. |
29. |
0 |
7 |
2 |
6 |
1. |
||||
|
|
2 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
3 |
|
2 |
|
|
@ 6 2 3 A |
|
@ 2 2 7 A |
||||||||||||
22. |
0 |
1 |
1 |
3 |
1. |
30. |
0 |
5 |
|
8 |
|
2 |
1. |
||
|
|
7 |
|
8 |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
@ 1 |
|
4 8 A |
|
@ 6 |
|
2 |
|
9 A |
||||||
50
6.2. Линейные операторы четыр¼хмерного пространства
1. 0 4 |
|
3 |
1 |
|
1 1. |
7. 0 7 |
4 |
3 |
|
1 1. |
||||||||
|
B |
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
C |
|
B |
5 |
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2 |
3 |
|
1 |
C |
|
|
4 |
|
1 |
2 |
|
2 |
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3 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|||||
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B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
A |
|
@ |
6 |
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1 |
5 |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. 0 5 |
3 |
5 2 1. |
8. 0 8 |
5 |
3 |
|
1 1. |
|||||||||||
|
B |
7 |
1 |
5 |
|
2 |
C |
|
B |
6 |
|
3 |
3 |
|
1 |
C |
||
|
7 |
1 |
4 |
|
3 |
|
4 |
|
3 |
3 |
|
3 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
@ |
8 |
1 |
6 |
|
2 |
A |
|
@ |
8 |
|
3 |
5 |
|
1 |
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. 0 9 5 |
1 2 1. |
9. 0 1 |
|
2 |
2 2 1. |
|||||||||||||
|
B |
7 |
3 |
1 |
|
2 |
C |
|
B |
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
C |
||
|
9 |
3 |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
0 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
@ |
9 |
3 |
3 |
|
2 |
A |
|
@ |
2 |
|
3 |
3 |
|
1 |
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
0 |
6 |
2 |
5 |
3 |
1. |
10. |
0 |
1 |
|
3 |
1 |
2 |
1. |
||||
|
B |
2 |
|
0 |
0 |
|
2 |
C |
|
B |
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
C |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
1 |
3 |
|||||||
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B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
3 |
|
2 |
4 |
|
0 |
A |
|
@ |
|
1 |
|
1 |
3 |
|
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
0 |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
1. |
11. |
0 |
3 |
|
3 |
1 |
|
1 |
1. |
||
|
B |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
C |
|
B |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
C |
||
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
1 |
2 |
|
3 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
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@ |
1 |
|
2 |
4 |
|
1 |
A |
|
@ |
|
4 |
|
2 |
3 |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
1 |
1. |
12. |
0 |
5 |
|
3 |
2 |
|
1 |
1. |
||
|
B |
2 |
2 |
4 |
|
1 |
C |
|
B |
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
C |
||
|
4 |
2 |
5 |
|
2 |
|
4 |
|
1 |
2 |
|
2 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
3 |
|
2 |
5 |
|
1 |
A |
|
@ |
|
4 |
|
1 |
3 |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
51
13. |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
1 |
1. 19. |
0 |
|
6 |
0 |
2 |
0 |
1. |
|||
|
B |
2 |
1 |
3 |
|
1 |
C |
|
B |
|
4 |
0 |
0 |
|
2 |
C |
|
|
4 |
1 |
3 |
|
3 |
|
1 |
0 |
0 |
2 |
|||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
4 |
1 |
5 |
|
1 |
A |
|
@ |
|
6 |
5 |
6 |
|
6 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
14. |
0 |
6 |
1 |
5 |
3 |
1. 20. |
0 |
5 |
4 |
|
1 |
1. |
|||||
|
B |
|
3 |
0 |
0 |
|
2 |
C |
|
B |
|
1 |
3 |
4 |
|
1 |
C |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
3 |
3 |
4 |
|
3 |
|||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
3 |
2 |
5 |
|
0 |
A |
|
@ |
|
3 |
3 |
6 |
|
1 |
A |
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
15. |
0 |
8 |
|
1. |
21. |
0 |
|
8 |
5 |
|
1 |
1. |
|||||
|
B |
6 |
|
2 |
1 |
2 |
C |
|
B |
|
6 |
3 |
2 |
|
1 |
C |
|
|
7 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
5 |
6 |
|
3 |
|||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
7 |
|
1 |
3 |
2 |
A |
|
@ |
|
7 |
2 |
4 |
|
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16. |
0 |
5 |
|
2 |
1 |
2 |
1. |
22. |
0 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
1. |
||
|
B |
5 |
|
2 |
1 |
2 |
C |
|
B |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
C |
||
|
4 |
|
2 |
2 |
2 |
|
4 |
1 |
3 |
|
3 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
5 |
|
2 |
1 |
2 |
A |
|
@ |
|
3 |
1 |
4 |
|
1 |
A |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
17. |
0 |
1 |
3 |
|
1 |
1. 23. |
0 |
7 |
|
4 |
1 |
1. |
|||||
|
B |
2 |
1 |
3 |
|
1 |
C |
|
B |
5 |
|
2 |
1 |
3 |
C |
||
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
5 |
|
1 |
2 |
5 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
4 |
1 |
5 |
|
1 |
A |
|
@ |
6 |
|
1 |
1 |
3 |
A |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
18. |
0 |
2 |
|
3 |
1. |
24. |
0 |
4 |
|
1 |
1 |
1. |
|||||
|
B |
4 |
|
1 |
2 |
2 |
C |
|
B |
4 |
|
1 |
3 |
1 |
C |
||
|
5 |
|
1 |
2 |
3 |
|
3 |
|
1 |
3 |
2 |
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
C |
||
|
@ |
5 |
|
1 |
3 |
2 |
A |
|
@ |
6 |
|
1 |
5 |
1 |
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
52
25. |
0 |
4 |
|
3 |
1 |
1 |
1. 28. |
0 |
7 |
5 |
2 |
1 |
1. |
|
|
B |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
C |
B |
5 |
3 |
2 |
1 |
C |
|
|
4 |
|
1 |
1 |
3 |
4 |
3 |
2 |
2 |
|||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
4 |
|
1 |
3 |
1 |
A |
@ |
6 |
3 |
3 |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
26. |
0 |
3 |
|
1 |
1 |
1 |
1. 29. |
0 |
6 |
1 |
2 |
1. |
||
|
B |
3 |
|
1 |
1 |
1 |
C |
B |
6 |
1 |
2 |
2 |
C |
|
|
4 |
|
1 |
2 |
1 |
7 |
1 |
2 |
3 |
|||||
|
B |
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
4 |
|
2 |
1 |
1 |
A |
@ |
7 |
1 |
3 |
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27. |
0 |
7 |
4 |
3 |
1 |
1. 30. |
0 |
5 |
|
3 |
2 |
1 |
1. |
|
|
B |
5 |
2 |
3 |
1 |
C |
B |
3 |
|
1 |
2 |
1 |
C |
|
|
4 |
2 |
3 |
2 |
6 |
|
1 |
3 |
3 |
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|
B |
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
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|
C |
|
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@ |
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53
7.Приведение квадратичных форм к нормальному виду методом Лагранжа
7.1.Квадратичные формы в тр¼хмерном пространстве
1.f = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3.
2.f = x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3.
3.f = x21 + x22 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 2x2x3.
4.f = x21 + x22 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.
5.f = x21 + x22 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.
6.f = x21 + x22 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3.
7.f = x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3.
8.f = x21 x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3.
9.f = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1x2 2x1x3.
10.f = x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1x2 2x1x3.
11.f = x21 + x22 + x23 + 2x1x2 2x1x3 6x2x3.
12.f = x21 + x22 + 2x23 + 2x1x2 2x1x3 2x2x3.
13.f = x21 + x22 + 2x1x2 2x1x3 2x2x3.
14.f = x21 + x22 + x23 + 2x1x2 2x1x3 + 2x2x3.
54
15.f = x21 + 2x1x2 2x1x3.
16.f = x21 x23 + 2x1x2 2x1x3.
17.f = x21 + 2x22 + 3x23 2x1x2 + 2x1x3.
18.f = x21 + 2x22 + 2x23 2x1x2 + 2x1x3.
19.f = x21 + x22 + x23 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3.
20.f = x21 + x22 + 2x23 2x1x2 + 2x1x3 2x2x3.
21.f = x21 + x22 2x1x2 + 2x1x3 2x2x3.
22.f = x21 + x22 + x23 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.
23.f = x21 2x1x2 + 2x1x3.
24.f = x21 x23 2x1x2 + 2x1x3.
25.f = x21 + 2x22 + 3x23 2x1x2 2x1x3 + 4x2x3.
26.f = x21 + 2x22 + 2x23 2x1x2 2x1x3 + 4x2x3.
27.f = x21 + x22 + x23 2x1x2 2x1x3 2x2x3.
28.f = x21 2x1x2 2x1x3 + 4x2x3.
29.f = x21 x23 2x1x2 2x1x3 + 4x2x3.
30.f = x21 + x22 + x23 2x1x2 2x1x3 + 6x2x3.
55
7.2.Квадратичные формы в четыр¼хмерном пространстве
1.f = 4x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4.
2.f = 4x1x2 4x2x3 4x2x4 4x3x4.
3.f = 4x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 2x2x4.
4.f = 4x1x2 4x2x3 4x2x4 + 4x3x4.
5.f = 4x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 2x2x3 + 2x2x4.
6.f = x21 + x22 + x23 + x24 + 2x1x2 2x1x3 + 2x1x4 6x2x3+
+2x2x4 + 2x3x4.
7.f = 4x1x2 4x2x3 4x2x4.
8.f = 4x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4.
9.f = 4x1x2 4x2x3 + 4x2x4 4x3x4.
10.f=x21+x22+4x23+x24+2x1x2+4x1x3 2x1x4+4x2x3 6x2x4.
11.f = 4x1x2 + 2x1x3 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4.
12.f = 4x1x2 4x2x3 + 4x2x4 + 4x3x4.
13.f = 4x1x2 + 2x1x3 2x1x4 + 2x2x3 2x2x4 2x3x4.
14.f = 4x1x2 4x2x3 + 4x2x4.
15.f = x21 + x22 + x23 + 9x24 2x1x2 + 2x1x3 + 6x1x4 6x2x3
2x2x4 + 6x3x4.
16.f = 4x1x2 + 2x1x3 2x1x4 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4.
56
17.f = 4x1x2 + 4x2x3 4x2x4 4x3x4.
18.f = 4x1x2 + 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4.
19.f = 4x1x2 + 4x2x3 4x2x4 + 4x3x4.
20.f = x21 + 4x22 + 4x23 + x24 + 4x1x2 4x1x3 + 2x1x4 4x2x3+
+4x2x4 8x3x4.
21.f = 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4.
22.f = 4x1x2 + 4x2x3 4x2x4.
23.f = 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 2x2x4 + 2x3x4.
24.f = 4x1x2 + 4x2x3 + 4x2x4 4x3x4.
25.f = x21 + x22 + 4x23 + 9x24 + 2x1x2 4x1x3 + 6x1x4 8x2x3+
+6x2x4 8x3x4.
26.f = 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 2x2x3 + 2x2x4 2x3x4.
27.f = 4x1x2 + 4x2x3 + 4x2x4 + 4x3x4.
28.f = 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 2x2x3 2x2x4.
29.f = 4x1x2 + 4x2x3 + 4x2x4.
30.f = 4x1x2 2x1x3 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4 2x3x4.
57
8.Приведение квадратичных форм к каноническому виду ортогональным преобразованием
8.1.Квадратичные формы в тр¼хмерном пространстве
1.f = 5x21 + 8x22 + 8x23 4x1x2 4x1x3 + 8x2x3.
2.f = 5x21 + 7x22 + 9x23 8x1x2 + 8x2x3.
3.f = 4x21 + 7x22 + 7x23 4x1x2 4x1x3 + 8x2x3.
4.f = 7x21 + 8x22 + 9x23 4x1x2 + 4x2x3.
5.f = 3x21 + 6x22 + 6x23 4x1x2 4x1x3 + 8x2x3.
6.f = 6x21 + 7x22 + 8x23 4x1x2 + 4x2x3.
7.f = 6x21 + 6x22 + 9x23 8x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.
8.f = 3x21 + 5x22 + 7x23 8x1x2 + 8x2x3.
9.f = 2x21 + 5x22 + 5x23 4x1x2 4x1x3 + 8x2x3.
10.f = 5x21 + 2x22 + 9x23 + 8x1x2 + 8x2x3.
11.f = 5x21 + 5x22 + 8x23 8x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.
12.f = 5x21 + 6x22 + 7x23 4x1x2 + 4x2x3.
13.f = x21 + 4x22 + 4x23 4x1x2 4x1x3 + 8x2x3.
14.f = x21 + 3x22 + 5x23 8x1x2 + 8x2x3.
58