Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.

1.Системы линейных алгебраических уравнений.

Системой ЛАУ с неизвестными называется совокупность соотношений вида:

неизвестные, a_ij- коэффициенты системы, b_j- свободные члены.

Упорядоченная совокупность чисел называется решением системы, если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных соответственно каждое уравнение обращается в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

- основная матрица.

- столбец свободных членов.

- столбец неизвестных.

столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы A , коэффициентами которой служат компоненты x₁…x_n решения.

2. Основные определения: общее решение, частное решение, сов­местные и несовместные системы, эквивалентность систем.

Опр. Две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают.

Теорема (Умножение обеих частей слева на невырожденную матрицу приводит к ее эквивалентной системе)

Системы с квадратной невырожденной матрицей.

Теорема. (СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение)

[ ]

[///]

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

3. Квадратные системы линейных алгебраических уравнений.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

4. Теорема Краме­ра. Критерий совместности систем линейных уравнений общего вида (теорема Кронекера-Капелли).

Системы с квадратной невырожденной матрицей.

Теорема. (СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение)

5.Метод Гаусса решения сис­тем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса исследования и решения систем.

1. Системы с трапециевидной матрицей.

A - верхняя трапециевидная матрица. Расширенная матрица имеет вид:

Пусть система совместна.

* В качестве базисного минора выберем , расположенный в верхнем углу.

* Укороченная система состоит из уравнений.

* Если , то система станет системой с треугольной матрицей:

которая имеет единственное решение. Систему решаем последовательно снизу вверх.

* Если , то будут свободными неизвестными, и система относительно главных неизвестных будет иметь вид:

Общее и частное решения исходной системы находятся с треугольной матрицей.

2. Элементарные преобразования системы уравнений.

Определение 9.1 Элементарными преобразованиями уравнений называются преобразования следующих типов: 1) перестановка местами двух уравнений системы;

2) умножение какого-либо уравнения системы на число отличное от нуля ;

3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на число .

Теорема 9.2 Элементарные преобразования СЛАУ приводят ее к эквивалентной системе.

Д-во:Элементарные преобразования системы означают элементарные преобразования строк расширенной матрицы , что равносильно умножению слева на матрицы элементарных 17

преобразований D_i,P_ij,L_ij, или умножение слева на невырожденные матрицы, что приводит к эквивалентной системе.Конец

3. Приведение матрицы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей.

Рассмотрим . С помощью элементарных преобразований строк и перестановки столбцов матрицы можно привести к верхней трапециевидной форме. Решение полученной системы отличается от исходной только нумерацией неизвестных.

Метод Гаусса исследования и решения СЛАУ состоит в приведении ее к системе с верхней трапециевидной матрицей с последующим исследованием и решением полученной системы. При этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы , то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных.

Процесс приведения системы к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса, а процесс решения системы с треугольной матрицей – обратным ходом.