лабы по оптике
.pdf
Рис. 2.Схема возникновения пространственной частоты
иллюстрирует рис. 3.
Рис. 3. Картина преобразования углового спектра при дифракции плоской волны на отверстии
Из (16) и (17) следует, что угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне повторяет форму углового спектра светового пучка. Этот вывод раскрывает физический смысл фраунгоферовой дифракции как
пространственного разложения ограниченного светового пучка на плоские волны. Картину преобразования углового спектра при дифракции плоской волны на отверстии
Согласно спектральным представлениям поперечная компонента волнового вектора возникает вследствие ограничения поперечных размеров пучка отверстием. Вырезав из плоской монохроматической волны участок фронта шириной d, мы, в силу соотношения неопределенностей, вносим разброс поперечных волновых чисел k /d.
Дифракция Фраунгофера на щели
Рассмотрим дифракцию плоской волны на одномерной структуре - щели шириной d (рис. 4).
Полагая
|
1, |
|
|
x |
|
|
|
d / 2, |
|
|
|
||||||
E(x) E0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
d / 2, |
|||
|
|
|
||||||
|
0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по формуле (17) получим
d / 2
E(kx ) E0 exp ikx x dx E0 dsin c(kxd / 2),
d / 2
где использовано обозначение
sin c(x) sinx x .
Функцию sinc x называют «синкус икс».
(18)
(19)
(20)
320
Рис.4. К расчёту картины дифракции света на щели
Графики функций E(x) и E(kx) показаны на рис. 5.
Рис. 5. Начальное распределение амплитуды поля E(x) и пространственная спектральная амплитуда Е(kx) при дифракции плоской волны на щели D
По (16) находим амплитуду поля
E( p) E0 d |
|
(1 i) |
e |
ikb |
sin c(k |
x |
d / 2) . |
(21) |
|||||||||||||
|
2 b |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интенсивность света в точке Р будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I p |
Imax sin c2 (kx d / 2). |
|
|
|
|
(22) |
|||||||||||||
Здесь использованы обозначения |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
max |
I |
0 |
d 2 / b, |
|
I |
0 |
|
|
|
E |
0 |
|
2 |
, |
(23) |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где Io – интенсивность падающей волны.
Используя (15), можно представить угловое распределение
интенсивности излучения в дальней зоне: |
|
|
|
||||
I Imax sin c |
2 |
|
1 |
|
|
(24) |
|
|
|
2 |
kd sin |
||||
или |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d sin |
|
||
I ( Imax sin c |
2 |
|
(25) |
||||
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
График распределения (24) показан на рис. 6.
321
Рис.6. График углового распределения интенсивности излучения в дальней зоне
Как видно из уравнений (24) и (25), минимальная интенсивность света будет наблюдаться при углах дифракции удовлетворяющих условию
sin n , |
(26) |
|
где п =1,2,3,… . |
d |
|
|
|
|
Центральный дифракционный максимум (максимум нулевого порядка) |
||
образуется при выполнении условия |
|
|
d sin 0, |
то есть при 0. |
(27) |
|
|
|
Остальные максимумы дифракционного излучения |
можно найти, |
|
исследуя стандартным способом уравнение (25) на экстремум. При этом условие максимума (25) сведётся к следующему:
tgx=x, |
(28) |
где x d sin .
Решая графически уравнение (28), получим выражения для значений углов дифракции, соответствующие максимумам дифракционной картины:
X1=1,43 ; X2=2,46 ; X3=3,47 X4=4,48 и так далее. |
(29) |
Подставляя эти значения в (25), найдём соотношения между нулевым и последующими максимумами интенсивности дифракционного излучения:
I0 |
: I1: I2: I3:I 4: … =1: 0,047: 0,017: 0,08 : 0,005 …. |
|
|
(30) |
||||||||||
|
Примерно такое же соотношение получается и при решении задач |
|||||||||||||
дифракции на щели графическим способом с помощью спирали Френеля: |
|
|||||||||||||
|
|
2 2 |
|
2 2 |
|
2 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||
I0 |
:I1: I2: I3: Im : = 1 : |
|
|
: |
|
|
: |
|
|
... |
|
|
, |
(31) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
5 |
7 |
|
(2m 1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
где m – целое число и равно 1,2,3 и так далее.
322
Экспериментальная установка
Блок-схема экспериментальной установки для изучения дифракции Фраунгофера представлена на рис. 7.
Рис. 7. Блок-схема экспериментальной установки
Источником света в данной лабораторной работе служит гелийнеоновый лазер 1. Излучение лазера обладает малой расходимостью, поэтому можно считать, что волновая поверхность будет плоскостью. Дифракция излучения происходит на спектральной щели 2. Микрометрический винт позволяет регулировать ширину щели в пределах 0 мм с точностью до 0,001 мм. Дифракционная картина наблюдается на бумажном экране 3. В плоскости экрана располагается фотоприёмник 4, соединённый с наноамперметром 5, который регистрирует сигнал пропорциональный интенсивности светового потока, падающего на фотоприёмник. Фотоприёмник может перемещаться перпендикулярно направлению распространения излучения с помощью винтовой передачи.
Все элементы оптической системы располагаются в рейтерах на оптическом рельсе.
Порядок выполнения работы
1.Вращая винт, по которому двигается фотоприёмник, установить фотоприёмник в крайнее левое положение (со стороны источника света).
2.Включить источник питания лазера. Развернуть излучатель лазера таким образом, чтобы свет попадал на фотоприёмник.
3.Установить спектральную щель на оптическую ось прибора. Установить ширину щели 0,100 мм и получить дифракционную картину на экране, расположенном перед окном фотоприёмника. Вращением щели вокруг оптической оси добиться расположения дифракционной картины вдоль окна фотоприёмника.
4.Включить регистрирующий прибор – наноамперметр, предварительно поставив ручку «пределы измерения» в крайнее правое (самое грубое) положение. Увеличивая чувствительность прибора и незначительно перемещая фотоприемник в пределах нулевого максимума, установить его в положение, соответствующее максимальному значению интенсивности дифракционного излучения в нулевом порядке и записать показание тока.
323
5. Сместить фотоприёмник на первый дифракционный максимум и определить в этом положении максимальное значение фототока. Настроить фотоприёмник на следующий дифракционный максимум и так далее.
Задание
1.Рассчитать дифракционную длину луча zД.
2.Установить расстояние от дифракционной щели до экрана z>> zД.
3.Получить дифракционную картину для трёх значений ширины щели, заданных преподавателем. Отметить на экране из миллиметровой бумаги положение нулевого максимума и 5-10 дифракционных минимумов для каждого значения ширины щели.
4.Рассчитать длину волны излучения лазера для каждого значения ширины щели.
5.Рассчитать среднее значение длины волны излучения для равноточных измерений из разных серий замеров.
6.Снять зависимость ширины центрального максимума дифракционной картины D от ширины щели d и построить график этой зависимости в координатах D, d 1 . Результаты сравнить с формулой для дифракционной расходимости (27) [1].
7.Измерить для двух значений ширины щели распределение интенсивности света по порядкам дифракции, сравнить с теорией.
8.Оценить погрешность измерений.
9.Представить результаты в стандартном виде.
Контрольные вопросы
1.В чём заключается явление дифракции света?
2.Как Френель согласовал явление дифракции света с прямолинейным распространением света?
3.Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.
4.В чём отличие дифракций Френеля и Фраунгофера?
5.Каков смысл параметра «дифракционная длина излучения»?
6.Как будет меняться интенсивность света на оси отверстия на некотором расстоянии z при изменении диаметра отверстия?
7.Как меняется интенсивность света вдоль оси отверстия?
8.Как зависит распределение интенсивности монохроматического света от ширины щели и угла дифракции?
9.Запишите условие максимума и минимума для дифракции Фраунгофера на щели.
10.На чём основано применение векторных диаграмм для расчёта дифракции от щели?
11.Какова интенсивность света в центре дифракционной картины?
324
12.Запишите выражение для размера пятна фокусировки излучения
линзой.
13.Каков смысл понятия «пространственная частота»?
14.Из чего следует, что интеграл Френеля (1) описывает интерференцию сферических волн, а интеграл Фраунгофера (12) − интерференцию плоских волн?
15.Объясните, где в дифракционных интегралах (1) и (12) содержится явление интерференции вторичных волн.
Список литературы
1.Сухов Л.Т. Дифракция света: Метод. указания / Л.Т.Сухов; Краснояр. гос. ун-т. - Красноярск, 2001.
2.Ахманов С.А. Физическая оптика / С.А.Ахманов, С.Ю.Никитин;
Моск. гос. ун-т.-. М.: 1998.
3.Борн М. Основы оптики / М.Борн, Э.Вольф. - М.: Наука, 1970.
4.Мешков И.Н. Электромагнитное поле. Ч.2 / И.Н.Мешков, Б.В.Чириков. - Ч. 2. Новосибирск: Наука, 1987.
5.Сивухин Л.В. Оптика / Л.В.Сивухин. - М.: Наука, 1980.
325
Лабораторная работа 2.2 Изучение фазовой дифракционной решетки
Цель работы:
изучение явления дифракции света на примере дифракционной
решетки;
определение постоянной решетки, угловой дисперсии, разрешающей способности отражательной дифракционной решетки.
Оборудование:
гониометр Г-5, высокочастотная ртутная лампа с источником питания, фазовая отражательная решётка.
Введение
Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых при распространении волн в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонением от законов геометрической оптики. При дифракции, так же как и при интерференции, наблюдается перераспределение интенсивности колебательного процесса в пространстве в результате суперпозиции когерентных волн. Расчет интенсивности дифракционной картины осуществляется на основе принципа Гюйгенса-Френеля, в соответствии с которым бесконечно малые элементы волновой поверхности представляются источниками вторичных сферических когерентных волн с амплитудами, пропорциональными площади элементов; амплитуда колебаний в любой точке пространства за волновой поверхностью определяется суперпозицией таких вторичных волн.
Дифракционная решетка представляет собой оптическую поверхность из металла или стекла, на которую тем или иным способом нанесены равноотстоящие друг от друга параллельные штрихи, разбивающие фронт падающей световой волны на когерентные пучки и изменяющие их амплитуду или фазу.
Рис. 1. Два типа поверхностей отражательных решеток
Существуют отражательные и прозрачные дифракционные решетки. На первых штрихи нанесены на зеркальную (металлическую) поверхность,
326
на вторых - на прозрачную поверхность. У отражательных решеток интерференционная картина образуется в отраженном свете, у прозрачных - в проходящем. На рис. 1 показаны два типа поверхностей отражательных решеток.
У решетки типа 1 зеркальные отражающие штрихи все лежат в одной плоскости и поэтому не вносят изменений в фазу отраженного излучения. У решетки типа 2 штрихи имеют треугольный профиль, в связи с этим от одного края штриха до другого возникает дополнительная разность хода (изменяется фаза) для отраженных лучей. Решетки типа 2 называют поэтому фазовыми дифракционными решетками. Подбирая профиль штриха x , можно сконцентрировать энергию в спектре того или иного порядка, ослабляя остальные, в том числе и спектр нулевого порядка. Отражательные дифракционные решетки называют также концентрирующими или блестящими.
1. Краткая теория дифракционной решетки
Рассмотрим отражательную фазовую решетку. Пусть решетка имеет профиль, показанный на рис. 2, где b - ширина отражающего штриха, - угол между отражающей поверхностью и плоскостью решетки, t - период решетки.
Рис. 2. Отражательная фазовая решетка
Предположим, что величины b, и t для всех штрихов одинаковы, а
коэффициент отражения материала решетки не зависит от длины волны и угла падения света на решетку. Пусть N - нормаль к плоскости заготовки,
N ' - нормаль к зеркальному элементу решетки, и ' - углы падения и
дифракции, образуемые падающими 1 и 2 и отраженными 1' и 2' лучами с нормалью N , i и i' - углы этих лучей с нормалью N ' . Тогда разность хода, возникающая при дифракции под углом ' для двух лучей, падающих на
края одной и той же площадки (например, для лучей 1 и 2 на рис. 2), будет равна
327
|
' = b(sin i sin i' ), |
|
(1) |
при этом i = ; |
i' = ' . Принято считать угол |
|
положительным, |
если нормаль N' получается вращением нормали N по часовой стрелке. Разность хода, возникающая для двух лучей при дифракции на соответствующих точках соседних штрихов, определяется выражением
= t(sin sin ' ). |
(2) |
Из теории дифракционной решетки известно, что распределение энергии по углам в спектре отражательной решетки определяется выражением
I = A (u) ( ), |
(3) |
||
где |
u |
|
|
(u) = sin2 |
; |
(4) |
|
u2 |
|
|
|
( ) = sin N |
; |
(5) |
|
sin2 |
|
|
|
N - общее число штрихов, A - множитель пропорциональности. Аргументы функций (4) и (5) определяются, соответственно, следующим образом:
u = |
' |
= b |
(sin( ) sin( ' |
)), |
(6) |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
= |
t(sin sin ' ). |
|
(7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множитель (4) дает распределение освещенности в дифракционной картине, получаемой от одной зеркальной площадки. Множитель (5) характеризует результат интерференции пучков, дифрагированных на всех зеркальных площадках.
Рис.3. График функции ( )
Для значений = k1 ( k1 - целое число) функция I (3) имеет максимумы (так как знаменатель в уравнении (5) стремится к нулю),
328
величина которых пропорциональна N. Эти максимумы называются главными. Здесь функция ( ) принимает значение N 2 , однако множитель
A, который пропорционален энергии, падающей на одну щель, обратно пропорционален числу штрихов N.
График функции ( ) показан на рис. 3.
Между главными максимумами имеется N 1 эквидистантных минимумов, соответствующих N = k2 , для всех целых значений k2 , кроме
тех, когда k2 /N равно целому числу k1 . Минимумы функции ( ) вызваны
обращением в нуль числителя в (5).
Определим угловое расстояние между двумя соседними минимумами. Для этого положим 1 = k2 /N и 2 = (k2 1) /N .
Подставляя эти значения в (7), получаем 1 = t(sin sin 1' ) = k2 /N и
|
|
= |
t(sin sin ' ) = (k |
|
1) /N , откуда |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2' sin 1' |
= |
|
. |
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tN |
|
||
|
|
|
Поскольку |
1, выражение (8) |
принимает вид |
cos d = /tN . |
|||||||
|
|
|
tN |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда расстояние между двумя соседними минимумами будет |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
tN cos ' |
||||||
С изменением длины волны света характер функции ( ) сохраняется,
лишь расстояния между соседними максимумами изменяются пропорционально длине волны.
Относительная интенсивность главных максимумов различных порядков и ее зависимость от длины волны всецело определяются функцией(u) . Эта функция медленно и плавно меняется с длиной волны .
Обозначим (рис. 2) |
|
|
|
|
' |
|
|
2 |
= , |
|
|
|
|
|
|
' = . |
|
|
|
Выражение (6) приводится к виду |
|
|
|
' = 2b sin( )cos |
|
||
2 . |
(10) |
||
С другой стороны, поскольку для главных максимумов между углами и ' действительно соотношение (7), имеем
= 2t sin cos |
. |
(11) |
|
2 |
|
329