которая есть центр тяжести всех экспериментальных данных. Формулы для расчета величин m и с и их среднеквадратичных погрешностей приводятся в табл. 3.
Линейная зависимость широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, то стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, предполагают, что для стекла показатель
преломления связан с длиной волны излучения соотношением
и зависимость ( ) строят в координатах и 1/ 2, чтобы получить прямую линию.
Часто используют еще один способ построения прямой линии – метод парных точек. Он особенно хорош в том случае, когда значения х эквидистантны. Рассмотрим упомянутый выше опыт «Кольца Ньютона». Имеем измерения диаметров 10-ти колец. Если в прямоугольной системе координат вдоль одной оси откладывать разность квадратов диаметров 10-го кольца и n-го (n меняется от 1 до 9), а по другой оси откладывать разность чисел (10 – n), то экспериментальные точки должны лечь на прямую линию.
D2 |
D2 |
m(10 n) . |
(53) |
10 |
n |
|
|
Для нахождения параметра m в этом случае можно поступить так. Возьмем две точки х1 = 1 и х4 = 4, ими определяется некоторая прямая линия уравнения (43) с параметром m1. Рассматривая точно так же другие пары точек (х2 и х5), (х3 и х6) и так далее, получим в итоге семь чисел mi.
В качестве наилучшего значения m выберем m и обычным способом найдем его среднеквадратичную ошибку.
Линейная зависимость обособлена по отношению к другим формам функциональной связи двух величин также психологической особенностью человека – выделять из разнообразия линий, встречающихся в повседневной жизни и в виде графиков, прямые линии. Проводимая «на глаз» прямая, которая проходит по экспериментальным точкам, оказывается удивительно близкой к оптимальной, построенной по правилам математической статистики.
Графики
Самое важное свойство графиков – это наглядность изучаемой функциональной зависимости. На рис. 3 приведена зависимость разрешающей силы R линзы от ее диаметра D.
Рис.3. Разрешающая способность линзы в зависимости от диаметра для λ = 550 нм
Из графика видно, что при малых значениях диаметра D зависимость R от D линейная. При значении D = 25 мм пропорциональность нарушается и дальше зависимость R = R (D) носит нелинейный характер. Если график построен «на глаз», то по нему можно быстро определить наклон прямой. Часто используются так называемые градуировочные графики. Примером служит градуировочный график монохроматора, на нём каждой линии излучения атомов ртути поставлен в соответствие угол поворота дисперсионной призмы. По графику можно определить длину волны неизвестного излучения, зная угол поворота призмы, при котором неизвестное излучение проходит через выходную щель прибора.
В физике на графиках принято по горизонтальной линии откладывать независимую переменную, то есть величину, значения которой задаем мы сами, а по вертикальной оси – ту величину, которую мы при этом определяем.
Чтобы график был предельно ясным, а результаты, представленные на нем – наглядными, необходимо соблюдать некоторые правила по вычерчиванию графиков. Важно правильно выбрать масштаб. Здесь нужно исходить из следующих соображений:
a) экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом: если, например, есть приборная возможность измерить показатель преломления вещества с точностью до 0,001 (три цифры после запятой точные), то отсчеты 1,333 и 1,334 на графике не должны сливаться в одну точку; б) масштаб должен быть простым, таким, если единице измеренной
величины (или 10, 100, 0,1 единицы и так далее) соответствует 1 см. Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1 см соответствовал 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать, иначе при нанесении точек на график придется производить дополнительные арифметические подсчеты; в) если значения величин, наносимые на график, содержат десятичные
множители, то эти множители удобнее отнести к единицам измерения, тогда деления на графике можно помечать цифрами 1, 2, …,n, а не 10000, 20000 и далее или 0,0001, 0,0002 и далее;
501
г) когда на графике для сравнения с экспериментальными данными проводят теоретическую кривую, то точки, по которым ее проводят, выбирают по своему усмотрению. Наносить точки лучше всего карандашом, чтобы при необходимости их можно было бы стереть. Экспериментальные данные следует отмечать жирными, хорошо выделяющимися точками или другими значениями; д) если теоретическая кривая на графике не предусмотрена, то через
экспериментальные точки можно провести наилучшую плавную кривую. Нельзя соединять экспериментальные точки ломаной кривой, так как это будет указывать на скачкообразный характер соотношения между двумя величинами, а это маловероятно; е) для графика нужно использовать предназначенную специально для этих целей бумагу – «миллиметровку»;
ж) для построения графика обычно берут лист бумаги в форме квадрата или близкого к нему прямоугольника.
Масштаб следует выбирать такой, чтобы весь лист был заполнен экспериментальными точками.
Список литературы
Деденко Л.Г. Математическая обработка результатов эксперимента / Л.Г. Деденко, В.В. Керженцев. – М.:Изд-во МГУ,1977.
Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин /А.Н.Зайдель. –
М.: Наука, 1974.
Сквайрс Дж. Практическая физика / Дж. Сквайрс. – М.: Мир,1971.
