лабы по оптике

прямой, то сопряженная с ней точка лежит на прямой, сопряженной с первой прямой.

Из этих условий следует, что любая плоскость в пространстве предметов имеет сопряженную плоскость в пространстве изображений. Теория идеальной оптической системы формулирует простые правила геометрического построения изображений объектов (правила нахождения сопряженных точек, линий, плоскостей) путем введения понятий кардинальных точек, главных и фокальных плоскостей, обладающих определенными свойствами.

Пусть OO′ является идеальной оптической системой, AA′– ее оптической осью (рис. 1). Проведем луч MQ в пространстве предметов параллельно оптической оси AA′. Точка пересечения лучей MQ и AO будет находиться на бесконечно большом расстоянии слева от системы OO′, на продолжении оптической оси. Луч O′A′ сопряжен с лучом AO, так как оптическая ось является нормалью ко всем преломляющим поверхностям системы, и лучи, идущие вдоль оптической оси, проходят систему без преломления.

Рис.1. Положение кардинальных точек

Следовательно, бесконечно удаленной точке слева от системы будет сопряжена точка F' , лежащая на луче O' A' в пространстве изображений.

Точка F ' называется вторым, или задним, фокусом системы. Лучу MQ будет сопряжен луч Q' M ' , проходящий через задний фокус F' .

Продолжим лучи MQ и Q' F ' до пересечения в точке N' .

Плоскость, проходящая через точку N' перпендикулярно оптической оси, называется второй, или задней, главной плоскостью системы. Точка

H ' - точка пересечения этой плоскости с оптической осью системы называется второй, или задней, главной точкой.

Аналогичными рассуждениями при рассмотрении хода лучей в обратном направлении устанавливается существование первого, или

переднего, фокуса системы F, первой, или передней, главной плоскости и первой, или передней, главной точки H.

Главные плоскости системы обладают тем свойством, что всякий

460

отрезок в одной плоскости изображается равным и одинаково расположенным отрезком в другой плоскости, т.е. линейное увеличение для этих плоскостей равно единице.

Плоскости, проходящие через точки фокусов F и F' перпендикулярно

рис. 1 это расстояние отрицательно , так как отсчет ведется против хода лучей. Расстояние H ' F ' , отсчитываемое от задней главной точки H′,

называется задним фокусным расстоянием.

В идеальной оптической системе определяют еще две сопряженные точки K и K ' , лежащие на оптической оси и обладающие таким свойством, что сопряженные лучи, проходящие через точки K и K ' , параллельны друг другу, потому что углы k и k' равны (рис. 2).

Рис. 2. Узловые точки идеальной системы K и K'

Угловое увеличение для этих точек равно единице. Точки K и K'

называются, соответственно, передней и задней узловыми точками.

Плоскости, проходящие через узловые точки перпендикулярно оптической оси, называются узловыми плоскостями. В оптических системах, слева и справа от которых среды одинаковы, узловые точки совпадают с соответствующими главными точками. Если среды слева и справа от оптической системы различны, то узловые точки лежат на оси на расстоянии f' и f от соответствующих фокусов.

Главные точки H и H ' , точки фокуса F и F' и узловые точки K и K '

имеют общее название кардинальных точек оптической системы.

Положение этих шести точек полностью (кардинально) определяет свойства любой оптической системы.

2.Матрицы преобразований

2.1.Матрица перемещений

Рассмотрим количественные соотношения между сопряженными

461

лучами. В декартовой системе координат (ось OZ совпадает с оптической осью системы и направлена слева направо; ось OY расположена в плоскости страницы; ось OX направлена от нас) будем рассматривать только лучи, лежащие в одной плоскости с главной оптической осью (рис. 3).

Рис. 3. Распространение света между плоскостями

В выбранной системе координат положение луча в любой плоскости Z = const и перпендикулярной оси OZ (назовём её опорной плоскостью ОП) будет полностью определено, если известна координата y (точка

пересечения луча и плоскости) и угол наклона луча к оси OZ . Рассмотрим, как преобразуются координаты луча y и Θ при распространении света от плоскости ОП1 до плоскости ОП2, расстояние между которыми t.

Если на плоскости ОП1 луч имел координаты y1 и Θ1, то на плоскости ОП2 его координаты будут

Впараксиальном приближении уравнения системы станут линейными

ипримут следующий вид:

Для удобства расчетов заменим величину угла луча Θ величиной V=nΘ

–направляющим косинусом; n – показатель преломления среды, в которой распространяется луч.

Если n отлично от единицы, то толщину оптического промежутка t необходимо заменить приведенной толщиной T = (t/n) . С учетом сделанных

замен система (2) примет вид

Запишем систему уравнений (3) в матричной форме:

462

Таким образом, перемещение лучом на оптическом промежутке с показателем преломления n и толщиной t между плоскостями ОП1 и ОП2

описывается матрицей перемещения

2.2. Матрица преломления

Рассмотрим, как преобразуются координаты при прохождении луча сферической границы раздела сред с показателями преломления n1 и n2 (рис. 4).

Рис. 4. Преломление луча на сферической поверхности

Пусть сферическая поверхность имеет радиус кривизны r , а центр кривизны расположен справа от точки пересечения поверхностью оптической оси. Проведем через эту точку плоскость ОП1 перпендикулярно оптической оси (рис. 4).

В параксиальном приближении можно считать, что положение, но не форма поверхности преломления совпадает с плоскостью ОП. В реальных расчетах углы Θ для параллельных лучей не превышают 0,1 радиана (около 6о). При этом погрешность вычислений не превышает 1%.

На рис.4 угол падения луча обозначен i1 а угол преломления – i2 Эти углы связаны законом преломления, который в линейном приближении (sin i = i ) имеет вид

По рис.4 видно, что эти углы связаны также следующим соотношением:

Решая совместно (6) и (7), получим на границе раздела сред

463

n n

n2 2 = 2 r 1 y1 n1 1 . (8)

Для второй координаты луча на границе раздела сред справедливо равенство

других случаях: при замене мест граничащих сред, изменении знаков кривизны поверхности, при наличии отрицательных величин углов Θ.

Аналогично можно получить матрицы преобразования лучей и для других оптических элементов: плоских и сферических зеркал, плоской границы раздела сред и так далее. Важно при расчетах соблюдать правила знаков:

1)отрезки, отсчитываемые вдоль оптической оси, считаются положительными, если их направление совпадает с направлением распространения света, и отрицательными, если их направление противоположно направлению распространения света; радиусы кривизны поверхности отсчитываются от вершины поверхностей;

2)углы падения и преломления отсчитываются от нормали к преломляющей поверхности и считаются положительными, если они образуются вращением нормали по ходу часовой стрелки, и отрицательными, если нормаль надо вращать против хода часовой стрелки; точно так же знаки определяются и для углов наклона к оптической оси.

2.3. Матрица преобразования лучей для сложной оптической системы

Сложной оптической системой будем считать систему, состоящую из нескольких оптических элементов. Это может быть и одна линза, и устройство, состоящее из многих линз. Рассмотрим на примере толстой линзы порядок записи и вычислений результирующей матрицы

464

преобразования луча. Проведем через вершинные точки линзы две опорные плоскости, ограничивающие рассматриваемую систему: ОП1 – входная плоскость, ОП2 – выходная плоскость (рис.5). Наша линза будет действовать на падающий слева луч следующим образом: на входной поверхности падающий луч преломится. Это преобразование будет описываться матрицей преломления R1. Далее - от плоскости ОП1 до плоскости ОП2 луч будет распространяться по прямой. Здесь будет работать матрица перемещения Г и, наконец, на плоскости ОП2 опять произойдет преломление по матрице R2 .

Рис. 5. Преобразование лучей сложной оптической системой

При записи полного преобразования на толстой линзе необходимо двигаться от выходной опорной плоскости к входной, то есть

Таким образом, матрица преобразования для сложной системы представляет собой произведение элементарных матриц преобразования, записанных в обратном порядке (от выходной плоскости к входной).

При умножении элементарных матриц целесообразно время от времени проверять, равен ли единице определитель результирующей матрицы, полученной к данному моменту. Если он окажется не равным единице, это будет означать, что при вычислении была допущена ошибка, ибо все R и Г матрицы сами по себе унимодулярные.

3. Матричное описание свойств оптической системы

Пусть матрица преобразования сложной оптической системы имеет вид

Уравнение преобразования координат для этой системы в развернутом виде записывается следующим образом:

465

Уравнение означает, что все лучи (V1 – любое), выходящие в пространстве предметов из точки с координатой y1 , соберутся в пространстве

изображений в одной точке с координатой y2 (рис. 6).

Таким образом, точка-объект и

Из (16) следует, что все параллельные

Рис.6. Сопряженное преобразование лучи, входящие в систему под одним углом V1 , после системы соберутся в одну точку с координатой y2 .

Следовательно, точка y2 должна находиться на задней фокальной плоскости

(рис. 7).

Рис. 7. Преобразование параллельных лучей

Рассмотрим случай C = 0 , когда оптическая система будет менять угол наклона лучей по закону

и все параллельные лучи, входящие в систему, параллельно из нее и выйдут

466

Задача

Оба конца стеклянного цилиндрического стержня длиной 2,8 см имеют форму выпуклой сферической поверхности радиусом 2,4 см. Предмет в виде стрелки длиной 2 см помещен на оси стержня в воздухе на расстоянии 8 см от левого конца стержня (рис. 10). Требуется найти положение и размер окончательного изображения.

Рис.10. Чертеж к задаче

Решение

Если окончательное изображение расположено справа на расстоянии х см от правого конца стержня, то цепочка матриц запишется в общем виде: M M1 M 2 M 3 M 4 M 5 , где M1 - промежуток от изображения до стержня;

M2- правый конец стержня; M3 - длина стержня; M4- левый конец стержня; M5- промежуток от стержня до предмета. В числах задачи матрица M имеет следующее выражение:

468

Следовательно,

Чтобы выполнялось соотношение связи между предметом и его изображением, элемент B матрицы преобразований необходимо приравнять нулю, то есть должно выполняться равенство 2,56 X = 6,25. Следовательно,

Список литературы

Бутиков Е.И. Оптика / Е.И.Бутиков.- М.:Высш. шк., 1986.

Джеррард А. Введение в матричную оптику / А.Джеррард, Дж.M.Бå рч.-

М.:Мир, 1978.

Мешков И.Н. Электрическое поле / И.Н.Мешков, Б.В.Чириков. - Новосибирск,: Наука, 1987.Ч.2.

Апенко М.И. Прикладная физика / М.И.Апенко, А.С.Дубовик.-

М.:Наука,1971.

Ландсберг Г.С. Оптика / Г.С.Ландсберг.- М.:Наука,1976.

Сивухин Д.В. Общий курс физики / Д.В.Сивухин. М.:Наука, 1985.-Т.4.

469