shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

после чего найдется и глубина Подобного типа вычисления можно выполнить и для других геологических

структур.

2. М е т о д п о д б о р а , как метод решения обратной задачи гравиметрической разведки, состоит в том, чтобы подобрать такую форму и глубину залегания аномального тела, которые давали бы гравиметрический эффект, наилуч-

с наблюденными, поскольку наблюденная кривая получается всегда с ошибками, обусловленными ошибками наблюдений. Так, например, если т — средняя квадратическая ошибка определения аномалии силы тяжести А§, то фактически мы имеем не кривую А^ = (х), а целую полосу шириной, по крайней мере, 2т, и любая кривая, проходящая внутри этой полосы, может

считаться удовлетворяющей данным наблюдений.

Обычно аномальное тело принимается за двухмерное с поперечным сечением произвольной формы.

Для того чтобы приступить к подбору, необходимо задаться формой сечения, а также глубиной залегания аномального тела. При этом используют данные об аномальном теле, полученные по имеющимся геологическим материалам на исследуемый район, и результаты предварительной интерпретации, выполненной методом «характерных точек». Если представляется возможность, то используют данные и других методов геофизической разведки. Построив гипотетический разрез аномального тела, решают прямую задачу гравиметрической разведки, т. е. определяют уравнения кривых Д^ = (х), Тхг = /2 (х)

и т. д. Затем строят соответствующие кривые и сравнивают их с наблюденными. В случае недопустимых отклонений уточняют форму поперечного сечения и расположение аномального тела и производят новые определения кривых. Подобная операция повторяется до тех пор, пока не добьются удовлетворительного согласия вычисленных и наблюденных величин.

Получим прежде всего формулы для вычисления аномалий силы тяжести и вторых производных возмущающего потенциала двухмерного тела с произвольной формой поперечного сечения. На основании (XIV.27) и (XIV.28) можем написать для горизонтальной вещественной прямой, лежащей в плоскости параллельной уг и проходящей на глубине Н, формулы для вычисления гравиметрического эффекта в точке, лежащей на оси х

Заменим линейную плотность Я через объемную Дб по формуле

Тогда для двухмерного тела с произвольной формой поперечного сечения формулы для А§ и ТХ2 в точке (х, О, О) получим путем интегрирования по

410.

переменным | и ^ выражений (Х1У.45) и (XIV.46), в которых осуществлена указанная замена плотностей

(Х1У.47)

(Х1У.48)

Вычисление этих интегралов производится методами численного интегрирования. Наиболее быстрый и простой метод состоит в использовании палеток. В зависимости от формы аномального тела применяют различные типы палеток, из которых мы рассмотрим лишь два.

Р(х,0,0)

Палетка, предложенная К. Юнгом, основана на переходе к полярной системе координат: г н ф. В соответствии с рис. 89 будем иметь:

=г йгйф

х— ^ = т соз ф

Для выполнения интегрирования все нижнее полупространство системой лучей и концентрических окружностей разбивают на ячейки (рис. 90). Тогда гравиметрический эффект, вызываемый данным аномальным телом, можно будет представить в виде суммы влияний отдельных ячеек, из которых состоит контур тела

= 2 Аёп>

где

Ч>А+1 г1+1 А^„ = 2/Аб ^ | В1П ф Йф ЙГ = 2/ Аб (С08 —- С08 фА+1) (Г,+1 — Г/),

411.

составляющая аномалии, вызванная притяжением ячейки, имеющей избыточную плотность Аб, и заключенная между лучами г,- и г(Ч1, направленными под углами ер/, и ф / т из точки в начале полярной системы координат. Если

т. е. каждая ячейка, на которые разбит контур аномального тела, вызывает одинаковый эффект А§п в начале координат

Д^г = 2/Дба.

Если N — число ячеек, из которых состоит контур данного аномального тела, то, очевидно,

Таким образом, если построить такую палетку и наложить ее на контур поперечного сечения тела, то для вычисления аномалии силы тяжести Ад достаточно определить число ячеек палетки, покрываемых сечением тела, и умножить это число на некоторый постоянный коэффициент, равный вертикальной составляющей притяжения одной ячейки. Для большего удобства пользования такой палеткой величины Дг и т желательно подобрать такими, чтобы произведение 2/а равнялось какому-нибудь фиксировапному числу, например 0,1 мгл.

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении производной Тхг (XIV.48).

Очевидно, что полная величина Тх г найдется как

п

где суммирование распространено на все ячейки, из которых состоит контур тела.

Палетку для вычисления Тхг строят таким образом, чтобы соблюдалис:, условия

' I

соз 2фА+1 — соз 2фй = ~ ,

412.

с тем чтобы влияние каждой ячейки было одинаково

1 этвешу.

Палетка Г. А. Гамбурдева состоит из системы параллельных горизонтальных линий, равноотстоящих друг от друга на величину АН и радиально расхо-

будет величиной постоянной. Аномалия силы тяжести будет находиться по формуле

где N — число ячеек, образующих контур аномального тела.

Подобные палетки могут быть построены и для вторых производных потенциала.

§ 91. Р А З Д Е Л Е Н И Е Г Р А В И Т А Ц И О Н Н Ы Х П О Л Е Й

Разделение гравитационных полей, т. е. выделение из общего гравитационного поля той его части, которая обусловлена искомым аномальным телом, может быть осуществлено различными методами.

М е т о д а н а л и т и ч е с к о г о п р о д о л ж е н и я п о л я а н о - м а л и й , наблюденного на поверхности Земли, на плоскость, проходящую на некоторой высоте над земной поверхностью, на которой лучше видны общие закономерности поля и исчезают местные аномалии.

Пусть известны значения А^ аномалий силы тяжести на поверхности Земли, принимаемой за плоскость. Тогда значения аномалии в точке Р, нахо-

дящейся на высоте г над земной поверхностью, моядао вычислить при помощи

интеграла Пуассона (11.46)

2Я оо

о о

Вычтя из обеих частей уравнения значение аномалии в точке Р 0 (Р0 проекция точки Р на плоскость г = 0), и принимая во внимание, что

ал оо

_!_ Г Г -Ё!= 1

2я 3 } г»

во

получим

Вычисление интеграла (ХГУ.51) производится методом численного интегрирования. Разность А& (Р)—Ад(Р0) будет содержать в основном влияние

местных аномальных тел и будет свободна от гравитационного эффекта глубинных масс. Напротив, аномалия Ад (Р) дает влияние преимущественно глубин-

ных масс. Если вычислить по формуле (Х1У.51) значения аномалий на плоскости, проходящей на высоте 2 от поверхности Земли, то можно построить карту этих аномалий. Она будет сглаженной по сравнению с картой аномалий, наблюденных на поверхности Земли, так как при описанном способе редуцирования аномалий практически исключаются влияния всех местных масс.

Таким образом, редуцирование аномалий на некоторую высоту г является одним из методов разделения полей.

При интерпретации выгоднее пользоваться п р о и з в о д н ы м и от п о т е н ц и а л а достаточно высокого порядка, поскольку чем выше порядок производной, тем сильнее зависимость от расстояния, и потому разделение полей осуществляется лучше.

К сожалению, многие из этих производных не находятся непосредственно из измерений и переход к ним от наблюденных величин требует достаточно сложных вычислений.

Покажем, как можно вычислить очень важную для целей интерпретации производную д2Т/дг2 по наблюденным значениям А§. Для этого воспользуемся

Из сравнения формул (XIV. 52) и (Х1У.51) можно сделать вывод, что переход от Ад ко второй производной потенциала д2Т /дг2 дает результаты весьма

близкие к тем, которые получаются при редуцировании аномалий на некоторую высоту 2, так как

Ад(0)-Ад(г)~г^,

что следует из разложения Ад в ряд по степеням г.

ненного поля из наблюденного и получении, таким образом, остаточных (локальных) аномалий.

414.

В случаях, когда локальная аномалия, вызванная исследуемым аномальным телом, проявляется на фоне более плавно меняющейся региональной аномалии, созданной глубоко залегающими крупными структурами (как показано на рис. 92), то разделение аномалий может быть произведено следующим достаточно простым способом. Введем обозначения:

Д^ (х) — наблюденная аномалия в точке х, [Д^ж) — региональная аномалия, А2§(х)— локальная аномалия,^

(см. рис. 92), найдем, что локальная аномалия будет вычисляться как разность ординат суммарной кривой и указанной прямой линии, т. е.

М о ж н о и с п о л ь з о в а т ь п р и б л и ж е н н ы й ч и с л е н н ы й

взятых с отрезка прямой, изображающей эту аномалию, равно значению аномалии для середины указанного отрезка, при условии, что точки, для которых берутся указанные аномалии, располагаются через равные интервалы. Проиллюстрируем это следующим примером. Для прямой, изображенной на рис. 93, имеем

415.

Рассмотрим теперь случай, когда аномалия сопровождается местными аномалиями. Если вычислять среднее значение аномалии для некоторого отрезка профиля, то среднее их значение уже не будет равняться значению региональной аномалии для середины взятого отрезка. Но если длина отрезка значительно больше, чем ширина участка, на котором проявляется каждая из местных аномалий, и число точек профиля, для которых выбираются значения Ад, достаточно велико, то можно надеяться, что местные аномалии, вызывающие отклонение региональной аномалии (на рис. 93 пунктирная линия) от прямой линии, будут встречаться одинаково часто как со знаком так и со знаком — и что будет иметь место компенсация местных аномалий. В результате можно полагать,

В этом более общем случае пользуются системой точек, расположенных по радиальным лучам симметрично по отношению к средней точке участка (рис. 94). При осреднении аномалии Ад значения последней снимаются с гравиметриче-

ской карты для каждой из точек. Такая диаграмма называется палеткой для осреднения аномалий. Точность равенства (XIV. 53) определяется площадью осреднения, которая зависит от глубины аномального тела. Очевидно, чем глубже оно расположено, тем более размытой будет локальная аномалия и тем шире должны быть границы осреднения. При осреднении по площади, занимаемой локальной аномалией, очевидно, что средняя аномалия 2Ад/п будет близка к наблюденной Ад и локальная аномалия не будет выделена. В теоретических

работах, посвященных проблеме разделения гравитационных полей, выводится зависимость между оптимальной площадью осреднения и глубиной залегания различных тел. Для тел, имеющих простую геометрическую форму, эта зависимость может быть дана в аналитической форме. Не останавливаясь на математической стороне вопроса, укажем лишь, как практически может быть установлена площадь осреднения. Для этой цели с помощью палеток различного размера, т. е. с различной длиной лучей (длина луча палетки обычно обозначается через I), подсчитывают значения аномалий для ряда точек.

Если при некотором значении I — 1т величина средней аномалии практи-

чески не будет изменяться, то для выявления локальной аномалии следует остановиться на палетке с длиной луча I = 1т.

Рассмотрим теперь вопрос о разделении гравитационных полей по градиенту аномалии силы тяжести, заданному в каждой точке значениями Тхг и Т ..

Выведем обозначения:

Тх2, Ту2 — градиенты наблюденной (суммарной) аномалии; (7\.2)|, (Ту^ — градиенты региональной аномалии;

416.

(ТХг)ь (Ту?)2 — градиенты местной (локальной) аномалий.

Таким образом, в произвольной точке с номером I исследуемого участка

В условиях съемки большой плотности вполне законно допустить линейный характер изменения региональной аномалии силы тяжести для всего снимаемого участка. Это равносильно признанию, что полный горизонтальный градиент указанной аномалии д А1д/дз в пределах всего участка является

постоянным и по величине, и по направлению. Следовательно,

га*=<4

где а и Ъ — постоянные величины.

Обозначим через п общее количество-точек наблюдений внутри исследуе-

Если п большое число, то можно предполагать, что градиенты локальной

аномалии будут подчиняться закону случайных ошибок; следовательно, с достаточным основанием можно принять

т. е. средние значения наблюденных градиентов равны средним значениям градиентов региональной аномалии.

Описанный прием разделения гравитационного поля носит название метода осредненных градиентов.

С П И С ОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы

4.И д е л ь с о н Н. И. Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли

игеофизике. М.—Л., Объединенное научно-техническое издательство, главная редакция

общетехнической литературы, 1936. 424 с.

Введение

1. М о л о д е н с к и й М. С. Современные задачи изучения фигуры Земли. — «Геодезия и картография», 1958, № 7, с. 3—5

2. П е л л и н е н Л. П. Современные проблемы теоретической геодезии — «Известия вузов, «Геодезия и аэрофотосъемка», 1970, вып. 2, с. 47—56.

418.