shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

По той же причине не представляется возможным определить расстоян: по нормали между уровенными поверхностями в той части пространства, кот рая заполнена притягивающими массами (т. е. во внутреннем гравитационна поле), например расстояние между уровенными поверхностями от точкп до точки С (рис. 54). Конечно, можно написать, что

в

лишь формальное значение.

Напротив, расстояние между уровенными поверхностями ОТ), т. е. в тс части пространства, которая не заполнена притягивающими массами, мож>" быть определено с любой степенью точности по формуле

(т. е. во внешнем гравитационном поле) может быть вычислено. Числител1 формулы (IX.4) представляет собой разность потенциалов в точках В ж О

в

( %с1к =-- Ц/0 — Шв.

о

Определение разности потенциалов силы тяжести имеет важное значенг для вычисления разностей уровней морей и расстояний между уровенныу поверхностями.

В. Ф. Еремеевым получена удобная формула для вычисления разноспотенциалов

вв

ОО

250'

Ниже будет доказано, что с высокой степенью точности можно положить

13 х>

Произведя эту замену, получим

где 7® — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке ОБ силовой линии; 70 — значение нормальной силы тяжести на эллипсоиде в точке п хода;

(§ — 7) — аномалия силы тяжести в той же точке.

я Поверхность

. Земли.

У1

Геоид

Эллипсоид

Рис. 55

Вычислив разность потенциалов Ио — И/в можно определить разность средних уровней морей. Эта задача состоит в определении расстояния ко между

Практически при вычислении ортометрических высот в равнинных районах обычно ограничивались лишь учетом непараллельности уровенных поверхностей нормального потенциала. Так было принято и в СССР до введения системы нормальных высот. Исправленную таким образом высоту называют приближенной На.

Чтобы получить приближенную высоту, проведем через точку О (футшток) (рис. 55) уровенную поверхность нормального потенциала V = 170 и

251'

обозначим ВР — отрезок силовой линии нормального ноля. Поскол;- точки О ж Р лежат на одной и той же уровенной поверхности, разности н« мальных потенциалов между точками О ж В, В и Р будут равны

А17 = | = | уд,к.

Заменяя переменное значение у ее средним значением у® на отрезке Р: получим

так как сумма элементарных превышений на отрезке РВ, очевидно, рав! . отрезку РВ, который и является приближенной высотой (как видно, приблг женная высота отличается от ортометрической на величину отрезка СР).

Далее можно написать

Преобразуем полученную формулу так, чтобы в нее в качестве составное части входила измеренная высота, получающаяся непосредственно в результате нивелирования, и гравиметрическая поправка, учитывающая непараллельность уровенных поверхностей нормального потенциала. Имеем

вызывает принципиальных трудностей, однако гораздо проще пользоваться величинами у0, заданными на поверхности эллипсоида и вычисляемыми непосредственно по нормальной формуле. Выполним соответствующие преобразо-

для текущей точки, а Н%, ув и ув — соответствующие значения для конечного пункта нивелирования. При интегрировании величины Ят, у и у0 следует рас сматривать как переменные, а величины Н\, ув и ув — как постоянные.

Величина у*^ определяется как среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке Яд, т. е.

н]ч"*

Ут' ЛИо

252'

Подставив сюда значение у из (У.32) и выполнив интегрирование, получим

Коэффициент кх является функцией широты, однако в пределах достаточно широкой области его можно считать величиной постоянной. Установим пределы этой области. Продифференцируем формулу (IX.9) для нахождения связи иежду ошибкой в и ошибкой в коэффициенте к1. Получим

Ут

253' В этом выражении следует заменить йН через йНу, где йк — нивелирное превышение, отсчитываемое по направлению отвесной линии, а йНу —

приращение нормальной высоты, отсчитываемое по нормали к эллипсоиду. У" яовим связь между ними. Для этого продифференцируем выражение (VI

Из соотношения (IX.12) видно, что измеренное нивелирное превышение с и приращение нормальной высоты йНу находятся в достаточно сложной зависи-

мости, обусловленной не только непараллельностыо уровенных поверхности нормального потенциала, но и неравномерным распределением масс внутрг земной коры.

Соотношение (IX.12) позволяет вычислить приближенное значение конеч-

254'

тто в интервале ОБ высота и нормальная сила тяжести меняются равномерно,

Таким образом, в первом интеграле правой части (IX. 10) можно не делать различия между йк и йНУ. С еще большим основанием это относится и ко вто-

рому интегралу (ввиду малости коэффициента /е2).

255'

Как уже отмечалось, в СССР в настоящее время принята нормалы •система высот. В Англии, США и других странах продолжают применять ог метрическую систему высот; имеются и другие системы, которые нашли г- менение на практике.

Так, в 1957 г. Франция приняла систему высот, основанную на предлг нии Виньяля, практически совпадающую с нормальной системой.

При решении практических задач, связанных с изучением уровеню поверхностей (например, при гидротехнических работах), очень важно пу-

высоты, которые были бы одинаковыми для всех точек одной и той же уровенв! . поверхности. Этому условию не удовлетворяют ни ортометрические, ни н< мальные высоты.

Так, для точек, расположенных на одной и той же уровенной поверхнос в формулах (VI.14) и (IX.3) будут разные знаменатели. Поэтому ортомет; ческие и нормальные высоты в точках одной и той же уровенной поверхнс

емому нормальной формулой силы тяжести.

Нормальные высоты будут одинаковыми лишь в случае, когда точки ОДЕ и той же уровенной поверхности расположены вдоль какой-либо ОДЕ параллели.

Разность нормальных высот двух точек А и В, расположенных на ОДЕ

и той же уровенной поверхности, всегда можно вычислить. Из соотношен"

Если разность широт точек А и В

^1 км будем иметь НУБ — Н\ «а 9 см.

При определении разностей уровней воды в различных водоемах испо." зование нормальных высот может внести погрешности, которые превосхо" ошибки нивелирования.

Так, например, использование нормальных высот при определении р; ности уровней верхнего и нижнего течения Волги приводит к погрешнос" порядка 0,3 м.

Поскольку значение потенциала вполне характеризует положение точк по высоте, можно условиться находить высоту как разность потенциале деленную, на некоторое постоянное значение силы тяжести. Такие высоты пт перемещении точки по уровенной поверхности не изменяются и называют: динамическими высотами (На).

При этом за постоянное значение силы тяжести обычно принимают знач ние нормальной силы тяжести на широте ф = 45°. В этом случае

в

(IX. Г

6

Поскольку динамические высоты не имеют отношения к задаче определенн высот точек земной поверхности над принятым эллипсоидом, при определенн: фигуры Земли они не используются.

256'

вЛ

между пунктами А и В: а_[ йк — А/гизм.

Используя соотношения (У.32) и (IX.9), преобразуем последний чл- • формулы (IX.21)

^

(IX...

В двух последних интегралах нивелирное превышение йк заменим щ вышением йНу. Расчеты, аналогичные сделанным выше при преобразовавЕ; формулы (IX. 10), доказывают, что подобная замена возможна.

После выполнения интегрирования выражение (1Х.22) примет вид

Получим другое выражение для разности нормальных высот, в котор вместо множителя 1/у^ стоял бы множитель 1/у^. Для этого примем А за ноне ный пункт, а В за начальный пункт линии нивелирования (поскольку крапнг пункты равноправны), тогда формулу (1Х.24) запишем в виде

258'

и в , меняя все знаки на обратные, получим окончательно выражение для разности нормальных высот

(IX.25)

Для того чтобы получить формулу для вычисления нормальной высоты, жтаточно совместить пункт А с пунктом О — начальным пунктом нивели- >ивок.

В этом случае

Чтобы привести формулу (1Х.25), выведенную для вычисления разности запальных высот, к рабочему виду, необходимы некоторые упрощения. При а^-5ольпшх расстояниях между реперами А ж В

:на равна нулю.

Среднее значение разности определится как полусумма крайних значеелн, т. е.

— Vе

Вместо 7^ возьмем среднее значение ут для данного участка, а в поправоч-

ных членах вместо Яизм и Я у будем писать просто Я без индекса, понимая зод этим приближенное значение нормальной высоты. После этих упрощений Формулу (IX.25) можно представить в виде