shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Наибольшее значение в выражении (XI. 1) имеет коэффициент / 2 , обусловленный полярным сжатием Земли, его численное значение 1/1000, в отличпе от всех последующих коэффициентов, имеющих порядок 10~6 и меньше.

Совокупность членов разложения потенциала, вызывающая отклонения в движении спутника от Кеплерова эллипса, называется возмущающей, или пертурбационной, функцией. В соответствии с (XI.1) представим возмущающук

Часть уравнения (IX.1), не зависящая от долготы, называется зональной частью потенциала Земли (при к = 0)

т

Пертурбационная функция от зональной части потенциала Земли имеет вид

Так, например, параметр / 2 характеризует, как будет показано дальше, полярное сжатие Земли а.

Все гармоники с нечетным п выражают составляющие симметричные только относительно оси вращения и характеризуют асимметрию северного и южного полушарий.

При изучении движений искусственных спутников следует учитывать, что отклонения спутника от Кеплеровой орбиты происходит не только под действием гравитационного притяжения Земли, но и под влиянием других факторов, главными из которых являются: торможение атмосферы, притяжение Луны. Солнца и радиационное давление Солнца. Хотя возмущающее действие указанных выше факторов на движение спутника по сравнению с действием гравитационного притяжения Земли относительно невелико, пренебрегать им в целом ряде случаев нельзя и поэтому в наблюденное движение необходимо вводить соответствующие поправки.

Для близких спутников наибольшая поправка обусловлена торможение?: атмосферы. Главный эффект торможения сказывается на большой полуоси и эксцентриситете орбиты, которые под действием указанной силы постоянна уменьшаются. Вычисление этой поправки достаточно сложно, поскольку плотность атмосферы подвержена значительным изменениям во времени.

Возмущающее действие Луны и Солнца будет тем больше, чем больше расстояние спутника от Земли.

310.

Радиационное давление наиболее важно для более удаленных спутников и тем больше, чем больше отношение площади спутника к его массе. Точная теория учета всех перечисленных выше факторов пока не разработана. Поправка, вытекающая из релятивистских уравнений движения, весьма мала и может не учитываться.

Из сказанного следует, что для определения внешнего потенциала Земли наиболее целесообразно использовать спутники, параметры движения которых максимально изменяются под действием возмущений, обусловленных отступлениями фигуры Земли от сферически симметричного тела и практически мало чувствительны к другим возмущающим факторам.

§ 66. НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ

Рассмотрим движение материальной точки Р с массой т вокруг некоторого вращающегося тела $ с массой М, создающего центральное силовое поле. В качестве такого тела можно взять шар, плотность которого есть функция только радиального расстояния (рис. 65).

Возьмем вращающуюся систему прямоугольных координат с началом в 8. Координаты точки Р будут х, у, г.

Дифференциальные уравнения движения точки Р в выбранной системе координат имеют вид

телом) 8 понимают либо Солнце, либо Землю. Соответственно этому за основную плоскость ху принимается либо плоскость эклиптики, либо плоскость экватора. При изучении движений искусственных спутников вокруг Земли оси координат ориентируют в пространстве следующим образом: ось 7, совмещают с осью вращения Земли в направлении на север, а плоскость ху с плоскостью земного экватора, при этрм ось х направляется в точку весеннего равноденствия и. Если учитывать, что ось вращения Земли как и точка весеннего равноденствия меняют свое положение в пространстве, оси координат относят к некоторой определенной эпохе Т0 , при этом ось г направляют к среднему полюсу эпохи Т0 , а ось х к средней точке весеннего равноденствия, соответствующей той же эпохе.

Ориентация плоскости орбиты спутника в пространстве относительно выбранной неподвижной плоскости экватора ху показана на рис.66. Движение

311.

спутника Р происходит в направлении, указанном стрелкой. Линия пересеч-

ния плоскости орбиты с плоскостью экватора называется линией узлов ЙЙ Узел, в котором точка (спутник) Р из южного полушария переходит в северно*

называется восходящим узлом (на рис. 66 — точка й), а узел, в котором точк Р из северного полушария переходит в южное, — нисходящим (точка Й

Угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора называется наклоном (или наклонением) орбиты г. Угол об'й между направлением оси х и напр; влением на восходящий узел называется долготой восходящего узла и обозна-

Это выражение является уравнением конического сечения, фокус которого находится в точке 8, где р — параметр конического сечения; е — его эксцен-

„^Перигей триситет.

Таким образом, устанавливают шесть параметров Кеплерова эллипса, которые вполне определяют положение точки Р в пространстве. Эти пара-

метры называются также элементами орбиты. Разобьем их для удобства на две группы. Первую группу составляют элементы й, со, I, V.

Элементы й и I определяют положение плоскости эллипса относительно экватора и точки весеннего равноденствия, элемент со определяет ориентацию линии апсид относительно линии узлов, а истинная аномалия V определяет положение точки на орбите.

312.

Вторую группу составляют элементы а, е, которые характеризуют размеры п форму орбиты. Шестым параметром вместо V может служить момент прохождения точки Р через перигей — т. Прямоугольные координаты точки Р (х, у, г)

связаны с элементами орбиты простыми соотношениями

2 = 7 , з т и з т г

Эти соотношения совместно с равенствами

дают искомые координаты точки Р в функции истинной аномалии V и пяти постоянных: Я, I, со, а, е.

Рис. 67 Рис. 68

Чтобы получить полное решение задачи двух тел, истинную аномалию V следует выразить в функции времени.

Однако при этом вместо у выгоднее ввести новую переменную, так называемую эксцентрическую аномалию Е (см. рис. 68).

Величины у и Е связаны соотношением

ч

При определении эксцентрической аномалии Е для данного момента вре-

мени I в небесной механике используют трансцендентное уравнение Кеплера

313.

Величина п связана также простым соотношением с периодом полног' оборота точки Р, а именно:

На этом основании п получило название среднего суточного движения Величина М — п (I — т) называется средней аномалией. Под средней аномалией следует понимать угол, на который повернется за отрезок времена

Таким образом, в качестве шестого элемента орбиты помимо й, г, со, а и е можно

угол, измеряемый от точки весеннего равноденствия у до восходящего узла Й орбиты и далее по орбите до точки перигея. Элемент е, называемый средней

Модифицированной системой элементов удобно пользоваться при со близком к нулю.

§ 67. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ. ОСКУЛИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Если в выражении потенциала тяготения V Земли выделить главный член, соответствующий случаю центрального поля, а всю совокупность последующих членов обозначить через возмущающую функцию К (XI.2),

314.

где X, У, 2 — проекции возмущающего ускорения. Интегрирование системы (XI.21) в конечном виде оказывается невозможным и поэтому приходится прибегать к методу последовательных приближений, пользуясь тем обстоятельством, что возмущающее ускорение весьма мало но сравнению с ускорением, создаваемым центральным телом (в данном случае — сферически симметричной Землей). Частный случай 1 = 7 = 2 = 0 в уравнениях (XI.21) соответствует невозмущенному движению. Решение такой системы определяется выражением (XI.7). Отсюда легко получить формулы для производных

Выражения (XI.7) и (XI.22) можно рассматривать как общее решение системы дифференциальных уравнений невозмущенного движения.

Найдем решение уравнений возмущенного движения (XI.21) при помощи уравнений (XI.7) и (XI.22), которые определяют координаты спутника в невозмущенном движении, рассматривая величины Й, I, со, а, е, М0 как переменные,

зависящие от времени I.

Эти величины, являющиеся функциями времени, носят название мгновенных элементов; их совокупность определяет мгновенную орбиту спутника.

Таким образом, зная мгновенную орбиту, можно вычислять координаты спут-

315.

оскулирующие элементы можно определить как элементы того невозмущенног- движения, которое имел бы спутник Р, если бы в момент Ь возмущающе* ускорение исчезло.

§ 68. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ОСКУЛИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

В предыдущем параграфе было установлено, что для изучения движение спутника Р можно вместо прямоугольных координат х, у, г определить шесп оскулирующих элементов: Й, г, со, а, е, М0. Такая замена переменных выгодно

в том отношении, что элементы, остающиеся постоянными в певозмущеннок движении, в возмущенном движении меняются сравнительно медленно. По-

прямые, параллельные положительным направлениям собственных для точки Р осей: линии ДО, 8Т и 8№. Тогда положение точки (спутника) Р относительно осей х, у, г определится тремя эйлеровыми углами: I, й, и.

Направляющие косинусы этих трех направлений относительно неподвиж-

Установим теперь связь между проекциями X, У, Ъ возмущающего ускорения на неподвижные оси координат х, у, г и проекциями возмущающего ускорения 8, Т , И7 на подвижные оси, связанные с движущейся точкой. Очевидно,

что

316.

и приведем без вывода формулы, устанавливающие зависимость между возму-

о характере вариации элементов орбиты под действием возмущающего ускорения. Поскольку ускорения 8 и Т лежат в плоскости орбиты, они не могут изме-

нить ориентацию плоскости орбиты в пространстве и, следовательно, не могут вызвать изменения наклона I или долготы й восходящего узла. Однако они изменяют а, е, М0 и влияют на изменение положения перигея.

Ускорение IV перпендикулярно к плоскости орбиты, и потому не влияет на изменение большой полуоси орбиты а. Это ускорение вызывает движение

узлов и перигея, а также изменение наклона орбиты I.

В движении узлов и перигея можно выделить члены, равномерно изменяющиеся в течение времени (так называемое вековое движение) и члены, период которых равен периоду обращения перигея (долгопериодические члены). Существуют еще и короткопериодические члены, но возмущения от этих членов имеют период около суток и менее и не влияют на характер векового движения. Поэтому можно утверждать, что как узлы, так и перигей под влиянием возмущающего ускорения постоянно смещаются в одном направлении. Линия узлов имеет обратное движение (т. е. движется в направлении, противоположном движению спутника), а перигей перемещается по орбите навстречу спутнику, как схематически показано на рис. 70. Из всех возмущений, наблюдаемых в движении спутника, самыми важными являются два вековых движения: постоянное вращение плоскости орбиты вокруг земной оси (регрессия узлов) п вращение большой оси орбиты в ее .собственной плоскости (движение перигея).

317.

Эти движения, являясь почти постоянными, могут быть весьма точно определены.

В формулах (XI.28)—(XI.33) величины 5, Т, У/ определяются согласи,

выражениям (XI.25) и, следовательно, являются функциями времени, координат х, у, их первых производных х, у, г и направляющих косинусов, кот:-

рые в свою очередь являются функциями аргумента широты и, долготы узла и наклона г. После замены координат и составляющих скорости выражениям! (XI.7) и (XI.22) правые части уравнений (XI.28)—(XI.33) становятся явным1

функциями времени, элементов орбиты и истинной аномалии V.

Если компоненты возмущающего ускорения не зависят явно от времени :. то правые части дифференциальных уравнений (XI.28)—(XI.33) будут функциями лишь элементов орбиты и истинной аномалии V. В этом случае из перечисленных уравнений можно исключить время I путем перехода к другим переменным. В качестве такой переменной вместо I можно взять одну из следующих величин: истинную аномалию V, эксцентрическую аномалию Е> среднюю аномалию М или аргумент широты и.

§ 69. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Выше было установлено, что при движении спутника вокруг Земли (ил:: вокруг какой-либо иной планеты) вследствие сложного характера силового поля появляются возмущающие ускорения, под действием которых элемента эллиптического движения испытывают непрерывные изменения. Точная мате матическая зависимость между изменениями эллиптических элементов и составляющими возмущающего ускорения устанавливается системой дифференциальных уравнений (XI.28)—(XI.33).

При решении практических задач возникает, однако, необходимость представить составляющие возмущающих ускорений через совокупность члене* разложения возмущающей функции К.

Это можно осуществить следующим образом. Обозначим через э произвольный элемент орбиты. Воспользовавшись соотношениями между прямоугольными координатами и элементами орбиты (XI.7), получим частные про-

318.

Так как X, У, 2 зависят от составляющих Т, IV возмущающего ускоре5ля (XI.26), то каждое равенство вида (XI.34) представляет собой соотношение между этими составляющими и частными производными от возмущающей функции В по элементам возмущенного эллиптического движения. Таким образом, *ы получаем возможность выразить составляющие возмущающего ускорения 5. Т, IV через производные от возмущающей функции В и в системе дифференциальных уравнений (XI.28)—(XI.33) заменить эти составляющие Т, соответствующими производными от функции В.

В результате приходим к уравнениям Лагранжа, которые устанавливают мвпсимость между изменениями элементов орбиты спутника, движущегося аокруг некоторой планеты, и возмущающей функцией В.

Приведем без вывода уравнения Лагранжа для изменения долготы узла

хперигея

М110$ у 1 <?2 8111 I д1

Используя уравнения Лагранжа, установим зависимость между возмущежпями, наблюдаемыми при движении спутника и коэффициентами /„, спк и 1-ь разложения потенциала тяготения в ряд.

§ 70. ТИПЫ ВОЗМУЩЕНИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Уравнения Лагранжа, как и уравнения (XI.28)—(XI.33), в конечном виде не интегрируются. Поэтому для их интегрирования применяют приближенные численные или аналитические методы.

Рассмотрим типы возмущений, действующих на ИСЗ в полете. Воспользуемся аналитическим подходом. Обозначим через произвольный элемент орбиты, в качестве независимой переменной интегрирования примем аргумент шпроты и. Тогда дифференциальные уравнения (XI.28)—(XI.33) можно представить в виде

п

= А/0 + 2 (А1к С08 ки + В!к з т ки),

к=1

где коэффициенты А/ь и В1к есть функции элементов орбиты.

319.