shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

дольного» Р и «поперечного» (2 сдвига.

Л. П. Пеллиненом получена формула, которая позволяет определить суммарное действие ошибок триангуляции и «собственно астрономо-гравиметриче- ского нивелирования» на превышение квазигеоида, т. е. величину т^. Если через ар обозначить сферическое расстояние от начальной точки ряда до конечной, через Е — средний радиус Земли в км, [о.р и — продольный и радиаль-

ный случайные километровые сдвиги, то формула Л. П. Пеллинена будет иметь вид

В табл. 13 приведены ожидаемые величины ошибок определения превышений квазигеоида для различных расстояний гр. При расчетах использованы

П1Ъа = Ща = тЧч

где т,р — средняя квадратическая ошибка определения астрономической широты.

Если же звено расположено вдоль параллели, то

т$а = тг\а — тХ сое <р.

Ошибки определения астрономических координат в настоящее время составляют ±0,3—0,4".

При Ь — Е, по формуле (IX.73) получим, что ошибки определения астро-

номических координат дают в превышении квазигеоида ошибку порядка 1 м. О ш и б к и г р а в и м е т р и ч е с к о й с ъ е м к и могут быть систе-

матическими и случайными.

280'

Следует считать доказанным, что гравиметрические определения не могут быть источником существенных систематических ошибок при астрономо-гра- виметрическом нивелировании, если гравиметрические поправки вычислены правильно, т. е. с учетом аномалий в полосе достаточной ширины.

Верхний предел накопления систематических ошибок за счет ограничения области интегрирования расстоянием В = р1 от середипы звена определен формулой (IX.68)

где под (§ — у) можно понимать половину систематической части изменения поля аномалий от начала к концу ходовой линии нивелирования, выраженную в миллигалах.

Величина этой ошибки не зависит от длины ходовой линии и даже при

— у) ~ 50 мгл н р = 2 остается менее 5 • 10~6. Большие случайные погрешности в определении гравиметрической поправки входят в последующие высоты квазигеоида. Это обстоятельство может иметь место при пересечении горных районов, где ошибка интерполирования аномалий примерно в 2—3 раза больше, нежели в равнинных местах.

Случайная часть ошибки гравиметрической поправки для отдельного звена обусловлена двумя обстоятельствами: ограничением области интегрирования и ошибками интерполирования аномалий силы тяжести. Ограничение области интегрирования вызывает случайную ошибку в определении среднего наклона поверхности квазигеоида, предельная величина которой согласно IX,67 менее

О 4 А" — V ) / и

рз—1 '

эту ошибку можно сделать малой, соответственно выбрав величину р. Выполним некоторые расчеты. Ошибка в определении среднего наклона

квазигеоида на участке одного звена, равная 0,2", приводит к ошибке в определении превышения (при расстоянии между пунктами А и В 21 = 100 км), равной 0,1 м. Ошибка же в определении превышения в конце ходовой линии в этом случае будет

Если Ь — длина ходовой линии —равна радиусу Земли В, то = 1 м. Таким образом, можно считать, что ошибка гравиметрического вывода уклонения отвеса (т^) обусловлена в основном ошибками интерполяции ано-

малий силы тяжести.

Существующая гравиметрическая съемка, выполняемая в интересах разведки полезных ископаемых, обеспечивает вывод гравиметрических уклонений

больше соответствующих ошибок плановых координат, с тем чтобы астрономогеодезическая сеть представляла собой пространственное построение, в котором вертикальные координаты определены не менее надежно, нежели плановые. Было принято см на 1 км.

281'

Глава X

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ СЪЕМОК. ПАЛЕТКИ

§ 59. ОШИБКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНОМАЛИЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Точность определения аномалий силы тяжести зависит от точности измеренных значений силы тяжести § и точности вычисления нормальной силы тяжести у. Однако можно полагать, что они значительно меньше ошибок, обусловленных дискретностью гравиметрической съемки.

Расстояния между гравиметрическими пунктами могут изменяться в значительном диапазоне от десятков и сотен метров до нескольких тысяч километров. Если разбить всю изучаемую территорию на квадраты (или трапеции) со сторонами, равными среднему расстоянию между гравиметрическими пунктами, то на каждый квадрат (трапецию) будет в среднем приходиться один гравиметрический пункт. Следовательно, при решении практических задач аномалию силы тяжести, вычисляемую для конкретного гравиметрического пункта, относят не только к этому пункту, но и используют для представления гравитационного поля на некоторой площади (большей или меньшей, в зависимости от плотности гравиметрической съемки). Это приводит к ошибкам получившим название ошибок представительства.

Назовем среднюю квадратическую разность между наблюденным значением аномалии силы тяжести Ад в каждой точке внутри данного участка и сред-

где п — число гравиметрических пунктов, расположенных в пределах участка.

то

[2 V -

или окончательно

283'

Эта формула удобнее (Х.1) в том отношении, что не требует вычислений для каждого участка величины Д#ср.

Развитием формулы (Х.2) является формула Хирвонена

где 6, О — соответственно среднее квадратическое значение точечной аномалии

и аномалии по участку. Если на участке несколько гравиметрических пунктов, под О понимается среднее квадратическое значение средней аномалии, получаемой по этим пунктам. Величины С ж & легко получить по данным статисти-

ческого анализа силы тяжести, в связи с чем формула Хирвонена ныне получила очень широкое распространение.

Величина полной ошибки представительства §§ включает в себя и ошибку измерения силы тяжести т. Если исключить из ошибку измерения т, то по-

лучится «чистая» ошибка представительства

6 * 8 = 1 / V - » » 2 .

При расчетах, связанных с проектированием гравиметрических съемок, необходимо знать зависимость между величиной «чистой» ошибки представительства и площадью участка, которой она соответствует.

Де Грааф Хентер [8] получил выражение, определяющее величину «чистой» ошибки представительства, как функцию размеров участка, который она «представляет».

Вид этой функции определялся эмпирически. Для различных прямоугольников со сторонами х и у по измеренным аномалиям силы тяжести вычислялись

где стороны прямоугольника х и у задаются в километрах; С — постоянный

коэффициент.

Коэффициент С определяется для каждого исследуемого района. В районах

ных районах) коэффициент С может быть в 2—3 раза больше. Если участки,

на которые разбивается исследуемый район, имеют форму квадратов, можно пользоваться формулой

В зависимости от степени аномальности района и принятой плотности гравиметрической съемки определяется точность измерений силы тяжести.

Чтобы можно было пренебречь влиянием ошибки измерений на величину полной ошибки представительства, поставим условие, чтобы ошибка измерений т была в три раза меньше «чистой» ошибки представительства. Действительно, если

т = 4

284'

Значения необходимой точности измерений при различной плотности гравиметрической съемки приведены в табл. 14.

Из таблицы следует, что при редкой гравиметрической съемке, когда один

при расстояниях между гравиметрическими пунктами порядка 30 км. «чистая» ошибка представительства, вычисленная как по аномалиям в свободном воз-

тельно больше. Так, например, по тем же данным ЦНИИГАиК, в горах «чистая» ошибка представительства при расстояниях между пунктами —30 км оказалась по аномалиям в свободном воздухе ± 2 5 мгл, а по аномалиям Буге ±12,8 мгл.

При гравиметрических съемках большой плотности, когда расстояния

.между пунктами меньше 20 км, следует учитывать, что изменение аномалий от пункта к пункту носит в общем линейный характер, поэтому в промежуточных точках, находящихся между пунктами наблюдений, становится возможным определять значения аномалий методом линейной интерполяции.

В этом случае на гравиметрических картах следует проводить так называемые изоаномалы, т. е. линиий соединяющие точки с равными аномалиями. Определенное при помощи изоаномал значение аномалии называется интерполированным. Конечно, интерполированное значение аномалии отличается от действительного, полученного в данной точке измерением силы тяжести. Средняя квадратическая разность между действительными значениями аномалий и снятыми с карты называется полной ошибкой интерполяции аномалий силы тяжести В нее входят ошибка измерений т и погрешность, обусловленная

предположением о линейном изменении аномалий силы тяжести между пунктами 8дв (последняя величина называется «чистой» ошибкой интерполяции).

Таким образом,

б§з=У{8ёУ-т\

Определим полную ошибку интерполяции. В районе, где выполнена гравиметрическая съемка, исключается половина всех пунктов, т. е. густота еети

285'

разрежается вдвое, и по оставшимся пунктам строится карта изоаномал. Зате: по этой карте интерполированием между изолиниями определяют аномалии

вместах исключенных пунктов и сравнивают их с наблюденными аномалиям:

вэтих пунктах. Аналогично определяется ошибка интерполяции для съемк;. разреженной в 4, 8, 16 раз относительно первоначальной.

«Чистая» ошибка интерполяции может быть выражена эмпирической з; висимостью

б= кх,

где к — постоянный коэффициент; х — расстояние между пунктами. Значение коэффициента к, как и значение коэффициента С формулы (Х.З)

ошибка наблюдения должна быть в три раза меньше «чистой» ошибки интерполяции, т. е. = 3 т, то т = б^-'/|/Т0, х — 8§'/0,12. Примем также к =

=2,5 6*'.

Втабл. 15 приведены сечения изоаномал, ошибки наблюдений и требуемое расстояние между пунктам при различных величинах полной ошибки интерполяции.

На основании многочисленных исследований, выполненных различным авторами, можно сделать вывод, что при расстояниях между пунктами < 20 ку

ошибка интерполяции примерно в два раза меньше ошибки представительства. Это означает, что линейное интерполирование аномалий дает вполне ощутимый выигрыш в точности.

Напротив, при расстояниях порядка 30 км даже в равнинных районах средней аномальности ошибка интерполяции оказывается равной ошибке представительства ±7,0 мгл. Это обстоятельство означает, что при указанных

расстояниях (а тем более больших 30 км) аномалии силы тяжести от пункта к пункту изменяются не по линейному закону и потому производить линейное интерполирование аномалий не следует.

Интересно отметить, что в горных районах величина «чистой» ошибки интерполяции при расстояниях между пунктами порядка 30 км, определенная

266'

означает, что в горах аномалии Буге изменяются более плавно, нежели аномалии в свободном воздухе и линейная интерполяция аномалий Буге предпочтительнее линейной интерполяции аномалий в свободном воздухе.

§ 60. ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

Для оценки влияния погрешностей аномалий силы тяжести на точность вычисления гравиметрических уклонений отвеса будем исходить из нулевого приближения к формулам (VIII. 108), совпадающего с формулами Венинг-Мей- неса (VIII.59), поскольку точность вычисления уклонений отвеса определяется в основном точностью формул нулевого приближения. Более того, можно воспользоваться соответствующими выражениями для плоскости (IX.56) и (IX.57).

Довольно просто можно оценить ошибку той части уклонения отвеса, которая получается от учета аномалий в области, лежащей за пределами центральной зоны., принимаемой за окружность радиуса г0 = 21 (21 — среднее расстояние

между гравиметрическими пунктами в условиях равномерной, съемки).

Для вычисления интеграла (Х.5) методом численного интегрирования разобьем всю область интегрирования на достаточно малые ячейки, имеющие форму трапеций, внутри которых можно было бы считать (% — у) = сопз!..

В этом случае формулу (Х.5) можно представить в виде

где суммирование распространяется на все трапеции, число которых обозначим г, кроме центральной зоны радиуса г0.

Выполняя интегрирование в указанных пределах, получим

Введя обозначения

Ак + Ак-1 _ л

2 СР

Ак — Ак-1

2 2

287

л полагая по малости угла з т АЛ/2 = А4/2, получим

п=1

2лу 51П 1"

п=0

Поскольку в каждой ячейке, на которые разбита область интегрирования, имеется лишь один гравиметрический пункт, среднюю квадратическую ошибку определения аномалии положим равной полной ошибке представительства 6г (см. § 59).

Тогда для расчета средней квадратической ошибки составляющей уклоне-

Коэффициенты /„ определяют степень влияния соответствующей аномалии на величину уклонения отвеса.

Рассмотрим несколько схем для подсчета средней квадратической ошибки составляющей уклонения отвеса.

С х е м а А

Разбивка зоны интегрирования на элементарные площадки и расположение гравиметрических пунктов показано на рис. 59. Радиусы окружностей равны (2т ± 1) I, где т — номер зоны. Число трапеций в зоне г равно 8т.

Заметим, что для каждой зоны с номером т отношение гт/гт-г = (2т + 1)/(2т — 1) является величиной

Очевидно, что

соз2 Ас р (ДЛ)^*'1 = АА у 2 соз2 Аср.

Так как

соз А 1 + соаЛ

288'

то

Это выражение используют для подсчета средних квадратических ошибок от каждой зоны, кроме нулевой (центральной). Результаты вычислений приведены в табл. 16.