shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Вообще говоря можно было бы вычислить интерполированные уклонен! отвеса вдоль звена триангуляции А В сколь угодно часто, а превышения кваг: геоида между ними получить по формулам астрономического нивелированв, (IX.42) и (IX.43). Однако, во-первых, при применении этого метода проис! • дило бы значительное накопление ошибок, а во-вторых, потребовалась бы бо.~'; шая затрата труда на вычисления, ибо приходилось бы выбирать необходима •

Последний член формулы (1Х.46) вычисляют следующим образом. Спроектируем астрономические пункты А и В на поверхность референц-эллипсоида. принимаемую за плоскость. Введем прямоугольную систему координат с осью совпадающей с направлением АВ, и началом координат в середине отрезка АВ.

Расстояние АВ обозначим через 21, а проекцию на референц-эллипеовд текущей точки через Ь (рис. 58). В § 55 было показано, что при надлежаще** выборе размеров зоны 2 можно добиться, чтобы функция, состоящая под интегралом в (IX.46), на отрезке АВ изменялась по линейному закону. Следовательно, можно положить

270'

Формула (1Х.48) для астрономо-гравиметрического нивелирования высот квазигеоида была впервые получена М. С. Молоденским в 1937 г.

Выражение в фигурных скобках называется гравиметрической поправкой в результат астрономического нивелирования, учитывающей нелинейность изменения астрономо-геодезических уклонений отвеса между астрономическими пунктами. Для вычисления этой поправки вполне достаточно одной лишь местной гравиметрической съемки в пределах области 2 . Обычно границей этой области принимают окружность некоторого радиуса В.

Формуле (IX.48) можно придать более простой вид

— гравиметрическая поправка.

Учитывая соотношение (IX.33), получим выражение для вычисления гра-

ния отвеса в пунктах А и В, обусловленные влиянием аномалий силы тяжести

ние от астрономического пункта до границы области), который должен быть в полтора — два раза больше расстояния (2/) между астропунктами.

271'

Значения высот квазигеоида и гравиметрических уклонений отвеса, ос условленных влиянием аномалий круговой области 2, обычно вычисли? по формулам Стокса (VIII.53) и Венинг-Мейнеса (VIII.59)

оо

Вусловиях равнинной) района (когда к = ЮЦ < 0,01) можно польз': ваться формулами Стокса и Венинг-Мейнеса для плоскости, которые определяются из соответствующих формул для сферы (VII 1.57) и (IX.52) при В -*• ос.

Обозначив через г — линейное расстояние от исследуемой точки до текущей и учитывая, что

, Ас

без вычисления высот квазигеоида и уклонений отвеса в пунктах А и В. Гравиметрической поправке можно придать вид

Л Ь - ^ И С * - ? ) ^ ) * * ,

(2)

где в соответствии с обозначениями рис. 58.

вать новую систему координат — софокусных эллипсов и гипербол с фокусами

272'

в точках А и В, координатные линии в которой образуют ортогональную систему; положение текущей точки характеризуется значениями а и Ъ полуосей эллипса н гиперболы, проходящих через эту точку.

Гравиметрическая поправка в этой системе примет вид [9]

Интеграл по площади 2 вычисляют методами численного интегрированияЗатруднение возникает лишь для двух точек — фокусов координатных линий А и В, где М обращается в бесконечность.

Однако это затруднение отпадает, если на площади околофокальных секторов аномалию силы тяжести выразить через горизонтальные градиенты.

Рабочую формулу для вычисления превышений квазигеоида (первым способом) получим, разделив обе части равенства (1Х.49) на 2/зш 1":

Левая часть полученного выражения представляет собой средний наклон квазигеоида относительно референц-эллипсоида на участке АВ, выраженный

всекундах дуги.

Внастоящее время принят способ вычисления превышений квазигеоида, основанный на раздельном вычислении каждого из членов, входящих в (IX.50), по гравиметрическим данным. Такой способ, предложенный О. М. Остачем, оказался наиболее целесообразным при использовании ЭВМ, он значительно сокращает объем вычислений и дает более реальную оценку точности астроно- мо-гравиметрического нивелирования. Применение этого способа не требует,

чтобы область интегрирования при вычислении I, (2) и О (2) для пунктов А

дезических и гравиметрических уклонений отвеса в меридиане и в первом вертикале для астропунктов А и В.

§ 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ОБЛАСТИ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМКИ, НЕОБХОДИМОЙ

ДЛЯ АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

Определение области 2 — основной вопрос, возникающий при астроно- яо-гравиметрическом нивелировании. При решении задачи М. С. Молоденский исходил из условия, чтобы влияние аномалий в той части поверхности Земли 2', по которой интегрирование не производится, на величину гравиметрической поправки было бы менее задаваемой точности астрономо-гравиметриче- ского нивелирования. При этом М. С. Молоденский не учитывал погрешности, обусловленные нелинейностью изменения угла АФ.

т

Здесь индекс О обозначает, что соответствующие величины должны быть вычислены для точки О, лежащей в середине линии АВ, I — АВ/2.

Подставив эти выражения в Х1.61, получим

Поскольку модуль суммы меньше или равен сумме модулей

2Э1

Применим к каждому члену последнего выражения неравенство Шварг

ф1|5 й с г = " ^ ф 2 ЙСТ Го|52йа

. 2 2

где ф и гр — две функции действительного переменного, заданные в области На основании неравенства Шварца

оо

получим

276'

Неравенство (IX.64) в результате примет вид

В

В этом неравенстве под (^ — у)т следует понимать среднее квадратическое

значение аномалии на окружности радиуса В (с центром в О), а не максимальное ее значение в области 2' по той причине, что интеграл убывает чрезвычайно быстро и его величина определяется почти исключительно аномалиями вблизи нижнего предела, т. е. вблизи границы областей 2 и 2' -

После интегрирования по г и подстановки пределов получим

Поскольку сумма членов бесконечно убывающей прогрессии равна

ц.

да—га '

разделив числитель и знаменатель дроби на I2 и обозначив

Формула (IX.67) служит для подсчета случайной части ошибки гравиметрической поправки для отдельного звена, обусловленной ограничением области

что соответствует ошибке в превышении квазигеоида порядка 0,1 м. Такая точность определения превышений является для практических целей вполне достаточной.

В конкретных условиях значения величины (§ — у)т на контуре 2 берут

с гравиметрической карты. Соответствующая предельная ошибка, определяемая формулой (IX.67), в равнинных районах близка к ±0,2 — ±0,3". Расчеты

показывают, что в равнинных районах вполне можно вместо р = 3 принять

р = 2.

277'

Последнее утверждение можно доказать, рассчитав верхний предел накопления систематических ошибок в гравиметрических поправках при астрономо-гра- виметрическом нивелировании.

М. С. Молоденский дает формулу для определения верхнего предела накопления систематических ошибок в превышениях квазигеоида на конце ходо-

Из приведенного примера видно, что даже при значении р = 2 не происходит чрезвычайного накопления ошибок.

Отсюда можно сделать вывод, что при выполнении астрономо-гравиметри- ческого нивелирования аномалии силы тяжести достаточно знать в полосе шириной от 41 до 6/.

Увеличение ширины полосы не дает существенного повышения точности; гораздо важнее увеличение плотности гравиметрических пунктов вокруг каждого из астропунктов.

§ 58. ИСТОЧНИКИ ОШИБОК АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ И ПУТИ ОСЛАБЛЕНИЯ ИХ ВЛИЯНИЯ

Рассмотрим влияние ошибок на результаты астрономо-гравиметрического нивелирования и меры, обеспечивающие получение результатов с требуемой точностью.

Поскольку при астрономо-гравиметрическом нивелировании астрономо-гео- дезические данные используются совместно с результатами гравиметрической съемки, конечные результаты нивелирования будут зависеть от ошибок определения геодезических, астрономических координат и ошибок гравиметрической съемки.

Для оценки влияния различных ошибок на вывод превышений квазигеоида над принятым референц-эллипсоидом будем исходить из формулы (IX.48), которую перепишем в виде

Основная часть ошибки, накапливающаяся от звена к звену, определяется первыми двумя членами. Поэтому при ориентировочном подсчете суммарных ошибок третьим членом можно пренебречь и, кроме того, вместо величин уклонений отвеса, вычисленных отдельно для точек А и В, можно принять средние

величины для данного звена. Полагая

и

0(2, А) = 0(2,

получим

А С а г = - 2 / 0 А Г + 2№х.

278'

Таким образом, ошибка определения превышения квазигеоида включает ошибки геодезических, астрономических и гравиметрических измерений.

Если влияние ошибок геодезических измерений на величину ошибки определения превышения квазигеоида определять отдельно, то ошибка определения превышения квазигеоида, обусловленная только погрешностями астрономических определений широт и долгот и погрешностями гравиметрических

•у ц

где яI — длина г-й стороны нивелирования; р,-, ,-+1 — угол между I и I + 1 сторонами.

Формулу (IX.73) обычно представляют в виде

где р,; — ошибка на 1 км хода нивелирования, равная

279'