shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Средняя квадратическая ошибка от зоны с номером т (кроме нулевой)

будет вычисляться по формуле

Итак, можно принять, что средняя квадратическая ошибка в уклонении отвеса, вносимая областью, лежащей за пределами I от определяемого пункта.

равна

при наличии в этой зоне одного гравиметрического пункта обращается в нуль. Определим величину ошибки за счет центральной зоны. М. С. Молоденским получена формула для вычисления квадратической ошибки вывода составляющей уклонения отвеса в случае, когда гравиметрической съемкой по-

крыта вся Земля и когда она повсюду одинакова точна

Формула (Х.8) является важнейшей при расчете точности в случае равномерной съемки. Эта формула справедлива для случая не только чисто случайных, но и полусистематических ошибок, сохраняющих свой знак в предела:: обширных областей, но случайно меняющихся от одной такой области к другой Чтобы получить ошибку составляющей уклонения отвеса за счет центральной зоны радиуса 21, необходимо из полной ошибки вывода составляющее

290'

уклонения отвеса вычесть ошибку, вносимую областью, лежащей за пределами 21 от определяемого пункта. Таким образом, получим

(20 = У (0,15)2 - (0,034)2 = 0,15'6$. (Х.9)

Следовательно, в условиях съемки с равномерным по площади распределением гравиметрических пунктов практически вся ошибка вычисления уклонения отвеса вызвана ошибкой учета аномалий внутри окружности радиуса 2 1 .

Величина в формуле (Х.9) должна характеризовать точность гравиметрической карты вблизи исследуемого пункта.

Для приближенной оценки средней квадратической ошибки составляющей уклонения отвеса, вызванной влиянием центральной зоны радиуса г0, полу-

которая достаточно хорошо характеризует влияние центральной зоны для г0 от 0 до 16 и более км (может быть до 30 км). Подсчитаем, с какой точностью мож-

центральной зоны (радиуса 21), поскольку, как мы убедились выше, в условиях

равномерной съемки ошибки аномалий за пределами круга радиуса 21 лишь незначительно понижают точность вычисления гравиметрических уклонений отвеса.

§ 61. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ СЪЕМОК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

Рассмотрим, как наиболее выгодно расположить гравиметрические пункты для вычисления уклонений отвеса при съемке сгущения, проводимой внутри

где г0 — радиус центральной зоны. Каждую пг-ю кольцевую зону радиальными

направлениями разобьем на 1т равных частей (трапеций). Положим, что на каждую трапецию приходится один гравиметрический пункт и что ошибка представительства б§- постоянная во всех трапециях.

Тогда среднюю квадратическую ошибку составляющей уклонения отвеса

Ь-1 Очевидно, для каждой трапеции т-й кольцевой зоны

ДА = А к - А к _ г = ^ .

1т

Следовательно, I*т

Для подсчета средней квадратической ошибки составляющей уклонения отвеса в произвольном азимуте от т-й кольцевой зоны получим формулу

г1} г2» • • •» т-п и та. Эта задача была решена В. В. Броваром [1].

Для упрощения последующих выводов положим, что ошибка то измеренной аномалии в несколько раз меньше ошибки представительства и потому в (Х.12) отбросим все слагаемые, содержащие то2.

Кроме того, предположим, что средняя линия трапеции равна ее высоте. В таком случае с известным приближением можно считать, что число 1т трапеций в то-й зоне определится из условия

_ 1,1„ гтЛ'Гт-\ 1т~ ггт г'т-1'

где гт — радиус внешней зоны; гт_х — радиус внутренней зоны.

292

После этих упрощений формулу (Х.12) представим в виде

минимум, следует (Х.13) продифференцировать по искомым неизвестным и полученные производные приравнять нулю.

Задаваясь величиной радиуса Л съемки сгущения, можно получить такое решение, при котором величина М® будет наиболее близкой к заданной.

Следует отметить, что, как правило, существующая гравиметрическая гъемка достаточна для определения уклонений отвеса с точностью, которая позволяет даже контролировать астрономические наблюдения на пунктах Далласа .

§62. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ

КГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМКЕ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ И ПРИ ПОСТРОЕНИИ АСТР0Н0М0-ГЕ0ДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

Прежде всего рассмотрим требования, предъявляемые к плотности гравиметрической съемки при выполнении геометрического нивелирования.

Результаты гравиметрической съемки в этом случае используют для получения поправки в измеренное превышение в соответствии с (IX.28)

IV

А

Если разбить линию нивелирования на п участков так, чтобы каждая точка, в которой измерена сила тяжести, находилась в середине участка, гравиметрическую поправку можно представить в виде

п

жести при этом определяются по гравиметрической карте путем линейного интерполирования. Примем ошибку определения аномалии равной ошибке интерполяции бдёТогда ошибку определения нормальной высоты, обусловленную ошибками гравиметрической съемки, можно вычислить по формуле

1/71

где рт — средний наклон участков нивелирования; Ь — длина линии нивелирования; 5 — среднее значение 5/.

293'

Обозначим

( Х . 1 -

тогда

ЬН = ъУЬ.

Это выражение аналогично формуле для учета влияния случайных ошиб': • нивелирования

Тогда на основании (Х.14) и (Х.15) получим верхний предел для расстоя ний 8 между гравиметрическими пунктами, обеспечивающий необходимую тс -

На основании табл. 18 можно сделать вывод, что в равнинных района: можно ограничиться имеющейся гравиметрической съемкой, не выполня' дополнительных определений силы тяжести.

В всхолмленных районах силу тяжести необходимо измерять на во-:: реперах I класса и на многих реперах II класса, а в высокогорных района* желательно измерять силу тяжести на реперах всех трех классов нивелир. вания.

Рассмотрим требования, предъявляемые к гравиметрической съемке пг: обработке астрономо-геодезических сетей. Известно, что при проектированкг на принятый референц-эллипсоид измеренных на физической новерхносп Земли базисов и горизонтальных направлений необходимо знать астрономо-ге -

294'

гезические уклонения отвеса и высоты квазигеоида. При этом приходится раз- •ичать два случая. <•

В равнинной местности, как правило, редукции в горизонтальные направления ничтожно малы й практически возникает необходимость вводить поправки лишь в длины базисов. В высокогорных районах приходится учитывать г справки как в линейные, так и в угловые измерения.

Исследования, выполненные ЦНИИГАиК, показали, что проектирование

.шнейных измерений производится с достаточной точностью, в случае, если погрешности высот квазигеоида не превышают 2 м.

При современной постановке астрономо-гравиметрического нивелирования I СССР это требование выполняется.

В горных районах, помимо поправок в длины базисов, необходимо вводить

где а 1 2 — азимут направления; р 1 2 — вертикальный угол по этому направлению. Отсюда средняя квадратическая ошибка редукции горизонтального направления может быть выражена формулой

: ошибкой определения аномалий силы тяжести, в случае полного покрытия поверхности Земли равноточными гравиметрическими измерениями. Это выражение можно применять также для оценки точности вычисления гравиметрических уклонений отвеса, обусловленных аномалиями области 2, так как з условиях равномерной съемки ошибки аномалий в далеких зонах лишь не-

значительно влияют на точность.

По формуле (Х.17) можно установить необходимую плотность гравиметрической съемки в горных районах для редуцирования горизонтальных напра-

мальное расстояние между гравиметрическими пунктами примем равным средней длине стороны триангуляции в горах я = 30 км. Получим т а = ±0,15". Это позволяет сделать вывод, что при указанных выше условиях имеющаяся гравиметрическая съемка вполне удовлетворяет требованиям обработки угловых измерений, ибо полученная величина ошибки та = ±0,15" в три раза меньше случайной ошибки измеренного направления. Лишь в высокогорных районах потребуются дополнительные измерения силы тяжести.

295'

Следует иметь в виду, что в горных районах осложняется и вопрос редут ции базисов, так как при больших изменениях высот вдоль редуцируемой нии становится значительным член {Фй {Н + При расчете точности можь.

принять, что уклон р измеренной линии I постоянен. В этом случае

Полученная формула позволяет связать относительную ошибку измерение

районах при средних углах наклона базиса не более 3° необходимо иметь гравиметрическую съемку, позволяющую интерполировать уклонения отвес* между астропунктами с ошибкой не более ±2". Это можно достичь при проведении дополнительной съемки вблизи базисов. При углах наклона р требования к точности интерполированных уклонений отвеса повышаются приводя к увеличению объема гравиметрических работ, что в условиях высокогорья приводит к большим трудностям. Поэтому целесообразно при проектировании триангуляции в горных районах накладывать соответствующие ограничения на уклоны базисов.

§ 63. ПАЛЕТКИ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕВЫШЕНИЙ КВАЗИГЕОИДА И УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

ПО ФОРМУЛАМ СТОКСА И ВЕНИНГ-МЕЙНЕСА

В настоящее время для численного интегрирования по формулам Стоке I и Венинг-Мейнеса при ограничении радиуса области интегрирования сферич-

исходя из следующих соображений. Сумма значений () (ф) при ч|) от 20 до 18С'" близка к нулю (см. табл. 11), а потому аномалии силы тяжести, расположенные

С помощью палетки В. Ф. Еремеева составляющие уклонения отвеса : и т) в условиях равнинного района вычисляются с точностью не ниже 0,1

Эта палетка характеризуется следующими свойствами. Пространство вокруг пункта, в котором надлежит определить составляющие уклонения отвеса, разбивается концентрическими окружностями на пять областей: центральнуюобласть в виду круга радиусом 5 км и четыре кольцевые области, ограниченны* окружностями радиусов приблизительно 5, 100, 300, 1000 и 2000 км.

Поскольку функция Венинг-Мейнеса () (ф) при увеличении расстоянн.-- быстро убывает, аномалии силы тяжести в далеких зонах будут меньше влият* на уклонение отвеса в данной точке, нежели аномалии, находящиеся в близки.

296'

гонах. Поэтому влияние аномалий, находящихся в разных зонах, учитывается с различной степенью точности.

Каждая кольцевая область подразделена на зоны так, что влияние их на уклонение отвеса в исследуемой точке примерно одинаково.

Коэффициенты, характеризующие влияние кольцевых зон на уклонение с хвеса, уменьшаются с удалением области от центра тяжести. Каждая область взбита радиальными направлениями на участки (сферические трапеции), гчеющие равные площади и влияющие на | и т] неодинаково (а именно — пропорционально косинусу или синусу азимута). Для учета влияния поля аномалий всей области 2 на площади каждой трапеции должно быть известно среднее значение аномалий силы тяжести.

Наибольшие трудности вызывает учет влияния на уклонения отвеса центральной 5-километровой зоны. В зависимости от точности имеющейся гравиметрической съемки и сложности рельефа в окрестностях астропункта применяют палетки с более подробной разбивкой.

При учете аномалии в области 2 радиуса ар = 20° выражение для функции Венинг-Мейнеса значительно упрощается. Так, разложив тригонометрические Функции, входящие в () (ар) [выражение (VIII.61)], в ряд по степеням аргумента V '2 и удерживая члены с ар в первой степени, получим приближенное значение

функции ()

пли после преобразований, отбросив по малости члены с ар2 и выше, получим

При малых значениях г первый член в () значительно превосходит по величине остальные и потому при интегрировании в центральной зоне можно

297'

Учитывая сказанное выше и принимая во внимание, что йф = йг]К, форму-»

Венинг-Мейнеса (VIII.59) для учета аномалий силы тяжести в области, огр ниченной окружностью радиуса 2000 км, можно привести к виду

1) от 5 до 100 км, 2) от 100 до 300 км, 3) от 300 до 1000 км и 4) от 1000 до 2000 кх В свою очередь каждая из этих областей разбивается на концентрические зое^

равного влияния. Радиусы этих зон определяются из условия

Р(гп) = Р(г0) + пР.

Из этих соотношений, если задана величина Р, определяются радиуск всех зон. Так, например, радиус г-й зоны с учетом (Х.21) определится

298'

После перехода к десятичным логарифмам и подстановки численных значений г0 = 5 км и коэффициентов А, В ж С получим окончательное выражение

1п гг = 0,69948 + 0 0003242Р, — 0 0 0 0 1 0 2 г ( - 0 , 0 0 0 0 0 0 0 1 ( Х . 2 3 )

По этой формуле методом последовательных приближений определяется радиус :-й зоны, выраженный в километрах.

Разбивая первую область интегрирования на 16 равных секторов, вторую

(Х.24)

Ж г - 0 ' 0 0 1 5 ' ' а средние азимуты соответствующих секторов для каждой области по формулам

Для расчета радиусов зон необходимо по формулам (Х.24) получить значения постоянных Р\, Р~2, Рз и Р\ и, подставив эти значения в формулу

(Х.23), методом последовательных приближений вычислить радиусы концентрических зон равного влияния для соответствующих областей интегрирования. Полученные, таким образом, радиусы зон приведены в табл. 19.

Первые восемь зон занимают первую область интегрирования, зоны IX — XIII — вторую, зоны XIV — XXI — третью и зоны XXII — XXVI — четгертую.

Вычисление составляющих уклонений отвеса, обусловленных влиянием аномалий в области, ограниченной окружностями радиусов 5 и 2000 км, производится по формулам

299'