shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

(ё — Т)ср — среднее из аномалий в соседних точках А и В; ут — сред, значение нормальной силы тяжести.

Выражение (1Х.27) в точности совпадает с (IX.13).

Полученными формулами можно пользоваться и при сравнительно болы расстояниях между реперами А и В, однако при этом должно быть изве< ~ расположение нивелирной линии, ее профиль, хотя бы приближенно сня: з с карты вдоль нивелирной линии, и должна иметься детальная гравимет г ческая карта.

Согласно Инструкции 1 величина ут принимается постоянной для в» * территории страны и равной 980 ООО мгл. Значение Нср определяется по даннь.» предварительных вычислений и округляется до целых метров. Геодезичес:- - широты реперов для определения у0 определяют по топографической к.."" с точностью до 0,1'.

Для вычисления значения (§ — у)ср необходимо сначала определить ве-гт чины {§ — у) на каждом репере. При этом возможны три случая:

1)имеются данные измерения силы тяжести § на каждом пункте ннь,- лирования;

2)значения силы тяжести § на пунктах нивелирования не измеряли^. но на район нивелирования имеются гравиметрические карты аномалий Б] (как правило, на равнинные и всхолмленные районы);

3)на район нивелирования имеются лишь гравиметрические карты аг малий в неполной топографической редукции (как правило, на горные и высогорные районы).

В первом случае величины § вычисляют по результатам гравиметрически: определений, а у — вычисляют по формуле

<у = у0 + Ду,

где Ау — поправка, определяемая формулой (VII.2).

Во втором случае применяется метод косвенной интерполяции с помощи • аномалий Буге и аномалия в свободном воздухе вычисляется по форму • (VI 1.25).

В третьем случае косвенная интерполяция выполняется с помощью аъ малий в неполной топографической редукции и аномалия в свободном возду1 определяется по формуле

и рассчитанных для нее критических таблиц.

Приведем пример вычисления разностей нормальных высот в случае, ког; аномалии силы тяжести получены по гравиметрической карте аномалий в неп<: ной топографической редукции (табл. 12). Пример заимствован из Инструкди Когда нивелирный ход проходит вдоль полигона АБС . . . N ж имеет ЗЕ,

чительную протяженность, то разность высот между каждой парой репер*

260'

261'

Если нивелирование выполняют вдоль замкнутого полигона АВСЬ разность высот, вычисленная по формуле (IX.25), должна быть рав и выражение для теоретической невязки имеет вид

В этом случае формула (IX.28) принимает вид

Отсюда следует, что теоретическая невязка нивелирования в замки полигоне должна подчиняться условию

геоида можно судить лишь по разностям ортометрических и нормальных выс -

Согласно рис. 53 следует, что

262

При ут — дт = 50 мгл, Ю = 500 м этот член оказывается равным 2,5 см.

Таким образом, на океанах и всюду, где Тс = Тв — поверхности квазигеоида и геоида совпадают. На равнинах расстояние между этими поверхностями составляет всего несколько сантиметров и лишь в горах максимальное отступление геоида от квазигеоида может достигать 2 м.

§ 55. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

Прежде чем рассматривать вопрос об интерполировании астрономо-геоде- зпческих уклонений отвеса, установим различие между гравиметрическими определяемыми через аномалии силы тяжести) и астрономо-геодезическими

Иногда необходимо знать составляющую уклонения отвеса Фаг в произ-

вольном азимуте. Спроектировав составляющие в меридиане и в первом вертикале на данное направление, получим

М. С. Молоденский разработал оригинальный метод, позволяющий интерполировать астрономо-геодезические уклонения отвеса между пунктами, в которых они известны, используя местную гравиметрическую съемку.

Пусть астрономо-геодезические уклонения отвеса известны в нескольких точках А, В, С, Б . . . некоторой небольшой области а (рис. 56). Требуется получить астрономо-геодезическое уклонение отвеса в произвольной точке К

области о. На основании (IX.34) астрономо-геодезическое уклонение отвеса можно представить как сумму гравиметрического уклонения отвеса и составляющей угла между нормалями к референц-эллипсоиду и уровенному эллипсоиду

ФАг(#) = ФгРав(Я) + ДФ(#).

263'

Если всю поверхность Земли разделить на две зоны: центральную зону_ в пределах которой имеется гравиметрическая съемка, и зону 2'> к кото*- г относится вся остальная часть поверхности Земли, где аномалии силы тяже:

могут быть неизвестны, гравиметрическое уклонение отвеса можно представ*...

в виде

^ г р а в ( К ) = г%р а в ( 2 , К)+Ъ грав ( 2 ' , к ) ,

где первое слагаемое определяется только аномалиями в области 2> а ВТ0Г зависит от аномалий в области 2' -

Первый член правой части известен и вычисляется по формуле (VIII. методом численного интегрирования, причем пределы интегрирования оп:- деляются пределами области 2 - Дв а ДРУГИХ члена, стоящие в правой чаг (IX.35), для произвольного пункта К неизвестны.

М. С. Молоденский предложил выбрать размеры зоны 2 таким образ*

чтобы сумма "&Грав (2') + ДФ внутри области <т менялась по линейному закону

В таком случае эту сумму можно линейно интерполировать между пунктам

вкоторых она известна. В каждом астрономо-геодезическом пункте области (.А, В, С, В...) эта сумма известна, поскольку, например, для пункта А на! осг

вании (IX.35) имеем

<>ггав(2', 4 ) + Д в И ) = вАгМ) - #п,ав(2, А).

Таким образом, в способе Молоденского линейной интерполяции подлей* не сами астрономо-геодезические уклонения отвеса, а лишь разности меж:"1 астрономо-геодезическими и гравиметрическими уклонениями отвеса, обусл вленными влиянием аномалий зоны 2 .

Линейная интерполяция разности астрономо-геодезических и гравимет; ческих уклонений отвеса обосновывается следующим образом. Угол ДФ межг поверхностями эллипсоидов изменяется очень медленно и плавно, а влиянг аномалий зоны 2 ' на уклонения отвеса в пунктах, находящихся в предел; области а, можно свести к меняющимся по линейному закону, выбрав зону * достаточно больших размеров по сравнению с областью ст.

Задача при этом заключается в том, чтобы при заданных размерах области определить минимальные размеры зоны 2> обеспечивающие необходимую точность интерполяции уклонений отвеса. Для решения задачи достаточн оценить предельную ошибку результата в зависимости от радиуса области I внутри которой аномалии силы тяжести известны.

Рассмотрим общий случай интерполирования по двум координатам. В» берем начало О системы прямоугольных координат х, у в центральной част области а (см. рис. 56). Граница областей 2 и должна быть настолько у~ лена от границы сг, чтобы минимальное расстояние от точки О до внешней гр^ ницы 2 было больше максимального расстояния от той же точки О до границ; области а (отношение этих расстояний должно быть В/1 ^ 2).

При этом условии значение Ф^ав ( 2 » Ю в произвольной точке К области можно представить рядом

264'

терполированного значения "&грав (2\ К) определится величиной последующих членов, зависящих от вторых и высших степеней координат. Исследование этих членов позволяет определить границу между областями 2 и 2'» Д° которой необходимо учитывать аномалии силы тяжести.

Предельную величину этих нелинейных членов позволяет оценить формула,

метрическую карту. В частности, в равнинных районах среднее квадратическое значение аномалий достаточно мало, поэтому можно ограничиться значением р = 2.

При вычислении астрономо-геодезических уклонений отвеса по методу М. С. Молоденского возможны два случая интерполяции: по площади и по прямой линии.

При интерполировании по площади точек с известными астрономо-геоде- зическими уклонениями отвеса должно быть не менее трех. Если точек больше, появятся избыточные измерения, которые при обработке по способу наименьших квадратов позволят снизить случайную часть ошибки результата. Для интерполирования по прямой достаточно иметь две точки на концах отрезка.

Рассмотрим первый случай. Представим разности астрономо-геодезиче- ских и гравиметрических уклонений отвеса как линейные функции координат (ф и X) точки, лежащей внутри области а

где а, Ъ, с, а, р, у — коэффициенты линейной зависимости.

Эти коэффициенты для данной области а при наличии более трех пунктов, не лежащих на одной прямой, для которых известны и астрономо-геодезиче- ские и гравиметрические уклонения отвеса, находят по способу наименьших квадратов, поскольку каждый такой пункт (например, А) позволяет составить

два уравнения

т^г - ^р а в ( 2 ) = ОфА + р + у ,

где верхним индексом А обозначены величины, вычисленные для этого пункта. После того как коэффициенты а, Ь, с, а, Р, у для данной области определены,

можно вычислить интерполированное астрономо-геодезическое уклонение отвеса в любой точке К области сг по формулам

265'

Точность интерполированных уклонений отвеса зависит от ошибок ог

где 21 — расстояние АВ между астрономическими пунктами А и В; з — р стояние пункта Ь от начального астрономического пункта А.

После преобразований получим

В среднем можно считать [14], что ошибка интерполированного уклонния отвеса

Ошибка гравиметрического уклонения отвеса зависит от размера обласинтегрирования, плотности гравиметрической съемки, точности определенл аномалий силы тяжести и высот гравиметрических пунктов.

Считая, что ошибка гравиметрического уклонения отвеса ?п^ = ±0..г получим по (IX.39) та^ = ±0,6".

Внастоящее время гравиметрические уклонения отвеса можно получи:

сточностью ±0,1—0,2", однако точность интерполированных уклонена отвеса пока что лимитируется точностью астрономических определений.

266'

§ 56. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕВЫШЕНИЙ КВАЗИГЕОИДА ОТНОСИТЕЛЬНО РЕФЕРЕНЦ-ЭЛЛИПСОИДА

Установим зависимость между элементарным превышением точки земной вверхности над референц-эллипсоидом йНлт и нивелирным превышением йк.

Пусть М (рис. 57) — точка земной поверхности, имеющая геодезическую Шсоту Ядг! К — бесконечно близкая к М точка в направлении I, составляющем с меридианом угол А. Геодезической высотой точки К в этом случае будет 1Гдг + (Шаг. Обозначим составляющую астрономо-геодезического уклонения отвеса в направлении I через Фаг- Тогда отрезок МС отвесной линии

•ежду уровенными поверхностями, проходящими через точки М и К, — ниве- •мрное превышение йк, а отрезок МБ— аиементарное превышение йН^т- Обо- «ачим В К через й1.

Из рис. 57

Величина йк в этом выражении определяется из геометрического нивелирования, а член Фдгй1 в результате так называемого астрономического нивелирования.

Из формулы (1Х.40) видно, что приращение высот точек физической поверхности Земли над референц-эллипсоидом равно нивелирному превышению плюс поправочный член, учитывающий изменение направления отвесной линии относительно референц-эллипсоида.

В настоящее время нет необходимости иметь геодезические высоты Н на каждой станции геометрического нивелирования. Для целей высшей геодезии необходимо знать геодезические высоты Н на пунктах триангуляции 1 класса, в которых приращения нормальных высот надежно определены методом геометрического нивелирования. Поэтому целесообразно получить формулу для вычисления приращений высот квазигеоида над референц-эллипсоидом, или формулу астрономического нивелирования высот квазигеоида.

Вычислив превышения квазигеоида Л^аг между пунктами триангуляции,

начиная от исходного пункта, где высота квазигеоида известна (в частности, для Пулково принято Со = 0), очевидно, можно получить значения самих высот квазигеоида и, следовательно, профиль его поверхности относительно поверхности референц-эллипсоида. При выводе формулы для вычисления элементарного превышения квазигеоида над референц-эллипсоидом введем местную

267'

систему прямоугольных координат х, у и Н, считая, что Н совпадает с нап:

влением нормали к референц-эллипсоиду. Тогда

в скобках, представляет собой аномалию силы тяжести (§ — у). Таким образом.

Выражение, заключенное в скобки, представляет уклонение отвеса в азимуте А

Проинтегрировав выражение (1Х.41) вдоль звена триангуляции между астрономическими пунктами А и В, получим

в в

Формула (IX.42) принципиально решает вопрос об определении превышений квазигеоида. Первый член правой части является главным, второй — ма-

лой поправкой за непараллельность уровенных поверхностей. Если при вы-

в

числении главного члена | Фаг^ использовать лишь астрономические опре-

А

268'

астрономическом нивелировании делается предположение о линейном характере этой зависимости.

100 км (как это имеет место в триангуляции 1 класса СССР), то точность вычи-

в

сления ] Фаг^ по (IX.43) будет недостаточна. Для сравнительно надежного

А

вычисления превышений квазигеоида методом астрономического нивелирования необходимо, чтобы расстояния между астропунктами в горных районах не превышали 1 —2 км, а в равнинных районах были не менее среднего расстояния между пунктами триангуляции.

Однако и при таких расстояниях между астропунктами нельзя быть уверенным в линейном характере измерений уклонений отвеса.

Астрономическое нивелирование, вообще говоря, является достаточно трудоемким процессом, поскольку при применении этого метода необходимо часто производить астрономические наблюдения. Астрономическое нивелирование получило широкое распространение в странах Западной Европы и США. Так, почти для всей территории Северной Америки превышения квазигеоида определялись этим методом, а построенный по 35-й параллели северной широты профиль высот геоида имеет протяженность 4000 км.

Методика определения интерполированных уклонений отвеса, разработанная Молоденским, обеспечивает необходимую точность при достаточно редкой сети астрономических пунктов (при расстояниях между пунктами порядка 70—100 км).

При этом предполагается, что вдоль звена триангуляции по линейному закону изменяются не сами уклонения отвеса (как это считается при астроно-

получается как сумма двух величин: Фграв (2), определяемой по результатам

269'