shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli
.pdfдо отношению к общему земному эллипсоиду, если координаты этой то-. Нк, Вк, Ьк относительно референц-эллипсоида также известны.
Поставим теперь задачу заменить в формулах (XII.38) уа, г0 ука; ыыми координатами некоторой заданной начальной точки к. Для этого пё
пишем формулы (XII.38) в виде:
а |
+ |
|
|
|
+ |
р1 + — |
Г1 + ЛОМ; + |
Р\ = О |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Да |
|
|
|
|
|
|
х0 |
,,, |
, |
Уо_ |
|
|
Да |
|
|
|
|
|
||
|
„„ |
П[ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
— ТП: + |
— |
а |
~г — |
р1 |
|
г'Г + ^а8'Г + ГГ |
= 0 |
||||||
а |
1 |
1 |
|
|
|
||||||||
где введены |
обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
С05.В,. соб^,-; |
п\ = |
созВ1 |
з т Ьи |
р1 = |
зтВ{ |
|||||
|
т'1 = |
з т |
соз/^-; |
щ = з т В{ |
з т |
р\ = |
— соз В{ |
||||||
|
т'{' = з т Ь,; |
щ" |
= — с о з ^ ; . |
р\" — 0- |
|
|
|||||||
|
т\ — — (1 — а зт2 Вг); |
|
= зт2 В1 — — зт 2 |
2В1 |
|||||||||
|
г'[= |
|
— а зт 2В;\ |
з1= — (1 — а + 2а зт2 В,) з т 2В1 |
|||||||||
|
г;" = 0, |
|
*Г = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
р' _ |
|
Н( |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 7 = ( Я . _ Я ) " 8 т 1„ М1 |
|
|
|
||||
р\ " = (Ь{ — Ц" вт 1" соз В1
( X I I .
(XII.
(XII.
(XII.
Применительно к заданной начальной точке к, т. е. при I = к, формуг.
(XII.39) будут иметь вид:
Х° тг, ' |
уо"о |
*>'_!_ |
Рк- |
Да г'к + |
Аа8и + Р'к = 0 |
|
|
|
|
|
Д а |
|
(XII.4 |
(Лг |
(Л> |
(Л- |
(X |
|
||
|
|
|||||
ж0 тк |
Уо |
пк |
20 А |
Да гк' + АахГ |
+ Р'к" = 0 |
|
Если из шести |
уравнений (XII.39) и |
(XII.43) |
исключить х0, у0, 20, т |
|||
оставшиеся три уравнения представят искомые формулы преобразования ге< дезических координат. При этом для сокращения условимся вместо выражена
а'Ъ' + а"Ъ" + а'"Ъ'" для произвольных букв |
а и Ъ писать |
просто (аЪ), т. • |
считать, что |
|
(XII. |
(аЬ) = а'Ъ' + а'Ъ" + |
а'"Ь"'. |
350.
В соответствии с этим обозначением имеем равенства, которые легко проверяются на основании обозначений (XII.40)
|
|
|
|
|
|
= |
(щщ) = (р!р1) = 1 | |
|
|
(XII.45) |
||||||
|
|
|
|
(т^) |
=-- (ш,р,-) =• (щр;) |
= 0 ] ' |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Умножим последовательно |
уравнения |
(XII.43) |
сначала |
на |
т'к, тк, тк', |
|||||||||||
затем на п'к, п"к, п'к" и, наконец, на р'к, рк, |
р'к". Тогда, принимая во внимание |
|||||||||||||||
'XII.45), после |
преобразований получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хра + — |
(гктк) + Да (зктк) + (Рктк) = 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
Уоа |
+ |
|
(гкпк) + Да (зкпк) + |
(Ркпк) |
= |
0 |
|
(XII.46) |
||||||
|
|
Ч |
+ |
Да |
{ГкРь) + |
|
Да |
М |
+ |
(ГкРь) |
= |
0 |
|
|
||
|
|
а |
^ |
|
|
|
||||||||||
Эти выражения связывают величины хд, у0, |
20 с Р'к, Рк, |
Р'н |
т. е. с разно- |
|||||||||||||
стями координат |
начальной |
точки |
|
к в системах общего земного эллипсоида |
||||||||||||
и референц-эллипсоида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив полученные выражения х0/а, у0/а, 20/а в уравнения (XII.39), |
||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р\ |
|
Да |
[('а^А/) —Г'Л + |
Да |
|
— «»'] + (РкРы) |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
~ |
|
|
- |
п] + |
|
Да [(8кчы) -з'-] |
+ |
(РкЧк1) |
|
(XII.47) |
||||
Р'Г = |
^ |
[(гкяк1) -Г'Г] |
+ |
Да [(8клы) |
- |
з'П |
+ |
(Гк яы )] |
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п'м = т'кт\ + |
пкщ + р'кр\, |
ч'к1 = т'кт"{ + |
п'кщ + р'кр'1, |
|
||||||||||||
|
|
|
л'ы=т'ктУ' |
+ п'кщ" + р'кр'Г |
|
|
|
|
||||||||
М"ы — ткт{+ |
пкп\ -)-р"кр'1ъ |
|
= т"кт\ + пкщ + р'кр"и |
(XII. 48) |
||||||||||||
|
|
|
я'ы = т$гь\" + п'кп'с" + РкРУ' |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
И*/ = т'ь 'т'ь + пк'щ |
+ р'к' 'р\. |
х'ы = т'к"т- + |
|
|
||||||||||||
+ Пк'щ + рк'р'1 |
Яы = т'к'т'Г + |
щ'щ" |
4- р'к'р'Г |
|
|
|||||||||||
Подставив в (XII.47) |
значения Рк |
и Рг в соответствии с (XII.42) и введя |
||||||||||||||
специальные обозначения для коэффициентов при Да/а и Да, получим окончательные формулы
Я, |
Н;ИI |
Да |
' • л |
' . |
/ |
ИЯк |
Нк |
-вк)"х |
||
— |
а |
-= |
а |
Рь,- -г Ааак{ |
+ |
( — |
а |
|||
а |
|
' |
1 |
[ |
\ |
а |
|
|||
|
X з т Г |
Ни - |
(Ьк - |
|
з т 1" соз В к ^ |
|
||||
361.
(Я, - В ? |
зш Г ^ |
= |
- . ± р'ы + ДаоЬ - |
( ^ - |
^ |
) ^ |
+ |
||||
+ <Вк - |
5,)" 81П 1" |
у'ш + |
- - Ьк)" 81П 1" СОЗ |
Л З |
|
||||||
|
|
|
|
|
Да |
Ри' — Ааай!-' — ( |
Нк |
(ХП |
|||
|
|
|
|
|
|
а |
|
||||
|
- ^ |
) |
^ |
+ (Вк-Вк)"вт |
|
1" Мк я-ы - |
|
|
|
||
|
+ |
(Ьк - |
Ьк)" з т |
1" соз Вк |
|
лк1' |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ри = г'г — (гку,к1)\ о'ы = |
— |
|
|
|
||||||
|
Ры = ^ — (гк\к1); |
а"ы = |
|
|
|
|
(XII.'- • |
||||
|
-'/г/ |
; ?'Г — |
|
|
= |
— («л,-) |
|
|
|||
Таким образом, формулы (XII.49) подобно формулам (XII.38) определяя? преобразование геодезических координат произвольной точки Земли I, зад.-р- ных в системе референц-эллипсоида, к общему земному эллипсоиду. Параметр в этих формулах, определяющие положение эллипсоидов, находят двумя р; - личными способами.
Введем в выражения (XII.38) и (XII.49) абсолютные и астрономо-гео~г- зические уклонения отвеса
1,- = Ф1—ви
%= (Яг — Вд С08фг>
=— В!) соз Ф/.
Заметим, что
|
|
В{- |
В, = |
(ф, - В ( ) - |
( ф « - В{) = |
- |
Ь, |
|
|
||
|
(Ь{ — Ьс) С08 В, = (к1 — |
соз ф; — (Я; — Ь^ соз Ф(- = т]/-г — г\ |
|
||||||||
Тогда |
подставив эти выражения в |
(XII.38) и |
(XII.49), |
получим |
окончг- |
||||||
тельные формулы |
преобразования. |
|
|
|
|
|
|
||||
Вместо формул (XII.38) с учетом обозначений (XII.40) и (XII.41) д-и |
|||||||||||
заданного |
г-го пункта получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Да |
|
|
|
|
+ 2о |
1 |
|
|
|
— — — = — г ^ + Д а ^ ' + ^ - т / |
/7 |
|
|
|||||||
|
Л |
П |
/7 |
|
^ 1 |
/7 |
«• I |
|
|
|
|
(I |
|
а „ |
а |
Да |
г^'+Да^ + |
^ - т ; |
3/0 |
в" Л- 20 |
п" |
(XII.": |
|
|
|
а |
а |
— П1 + — Рг |
|
||||||
|
|
а |
Да |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вместо |
(XII.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
352
|
(1,г - |
ёЛ |
ЙП 1" ^ Ы |
+ Ы - л Л " 8Ш 1" |
) ^ + (XII.52) |
|||
( Ь - Е Г Г Я И Н ' |
М; |
Да. |
+ |
Даст*,- + ( Нк |
Нк |
|||
|
|
|
|
|
||||
+ |
(I, - |
гП" |
1" |
V;;,+ ( л » - л * Т «ш 1" ^ |
^ г |
|||
_ |
^ |
з1п 1" |
= |
^ р » ' |
+ Даа»' + ( Е |
± ) |
я 'и + |
|
+ |
(1, - |
1П" |
яш 1" ^ |
+ |
~ ЛЛ " « « |
1" |
|
|
Используем формулы (XII.51) и |
(XII.52) для |
определения |
параметров |
|||
общего |
земного эллипсоида, заменив в этих формулах разности геодезических |
|||||
высот |
разностями высот квазигеоида, |
поскольку |
можно считать |
|
|
|
|
Нс — Яг- = — |
Нк — Нк = ^к |
— |
|
|
|
Задачу определения параметров общего земного эллипсоида можно |
решить, |
|||||
если кроме астрономо-геодезических значений |
|
определяемых |
методами |
|||
астрономического или астрономо-гравиметрического |
нивелирования, |
для ряда |
||||
тех же пунктов известны абсолютные значения |
т - |
е. значения, |
относящиеся |
|||
к общему земному эллипсоиду и определяемые внешним гравитационным |
полем |
||||||||||||||||
Земли. При этом сжатие а общего земного |
эллипсоида, |
также |
определяемое |
||||||||||||||
через параметры внешнего |
гравитационного |
поля Земли, |
следует считать из- |
||||||||||||||
вестным. Используя при указанных условиях первое из уравнений |
(XII.51) |
||||||||||||||||
или первое из уравнений (XII.52), получаем два способа определения |
элемен- |
||||||||||||||||
тов общего земного эллипсоида. Соответствующие условные уравнения |
будут |
||||||||||||||||
иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первый |
способ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ааг'( + |
х0т'с +у0щ |
+ |
г0р• + |
|
— Ь + |
а Дои;] = |
|
|
(XII.53) |
|||||||
второй |
способ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дарн |
+ Цк - |
1кТ) |
Цы + |
(I к ~ |
%кГ)" |
зт |
1"МАСЫ |
|
+ |
|
|
|
|||
|
|
+ СЙй-Л* Т з т |
Г а д ' , ' + |
|
- Ь |
+ |
аАав'ы] |
|
= |
|
(ХИ.54) |
||||||
В этих уравнениях величины, заключенные в квадратные скобки, — |
|||||||||||||||||
свободные |
члены; |
V; — остаточные уклонения. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Каждое из уравнений содержит по четыре неизвестных. Кроме основного |
|||||||||||||||||
неизвестного Да, определяющего большую полуось общего земного |
|
эллип- |
|||||||||||||||
соида а = а + |
Аа, |
уравнение |
(XII.53) |
содержит |
элементы «внутренней ори- |
||||||||||||
ентировки»: |
х0, /уо, 20, а уравнение |
(XII.54) — элементы |
«внешней |
ориенти- |
|||||||||||||
ровки» общего |
земного эллипсоида: |
|
|
( \ к — § ь г ) " |
и п |
1 "Мк |
и |
(цк — |
|||||||||
— Л1и)" 8 ' п |
1" |
^к- |
Элементы |
внешней |
и |
внутренней ориентировки |
связаны |
||||||||||
между собой соотношениями (XII.51) и (XII. 46). В случае, когда для начального пункта к есть возможность получить надежные уточненные абсолютные значения \к, т]А, пользуясь кроме общих данных о внешнем гравитационном
23 Заказ 1379 |
353 |
поле Земли еще и детальной гравиметрической съемкой при наличии общг: «планетарных» значений ^ для всей территории, можно использовать сист>
уравнений (XII.54). При этом значения 1, — |
— |
ЛЙ— 1А » следт» |
к |
|
т г |
считать известными и определять лишь одно неизвестное Да.
Поскольку центр общего земного эллипсоида совпадает с центром м;
Земли, координаты х0, |
у0, |
г0, найденные из решения системы уравнений |
т; |
|||||||||||
(XII.53), будут определять центр |
соответствующего |
референц-эллипсоида |
||||||||||||
носительно центра масс |
Земли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К настоящему времени выполнен целый ряд определений положений це_- |
||||||||||||||
ров референц-эллипсоидов, принятых в различных |
системах |
геодезическг1 |
||||||||||||
координат, относительно центра масс Земли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Некоторые результаты таких |
определений для |
Северо-Американской • |
||||||||||||
липсоид Кларка |
1966 |
г., |
а = |
6378206, а = |
1/294,98, |
исходный |
пункт |
МР» |
||||||
Ренч), Европейской (эллипсоид Хейфорда, а = 6378388, |
а = |
1/297,00, исхс |
||||||||||||
ный пункт Потсдам) и Австралийской (эллипсоид с |
а = |
6378160, а = |
1/298.2" |
|||||||||||
исходный пункт |
Джонстон) систем приведены в |
табл. |
28—30. |
|
|
|
||||||||
|
Т а б л и ц а 28 |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а . |
||||||
Координаты центра эллипсоида Кларка |
Координаты центра эллипсоида |
Хейфорд- |
||||||||||||
|
|
Координаты, м |
|
|
|
|
|
|
Координаты, 1! |
|||||
Автор |
Год |
|
|
г. |
|
Автор |
|
|
|
Год |
х0 |
|
У о |
|
|
|
|
Уо |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||
Вейс |
1966 |
- 3 0 |
152 |
176 |
Вейс |
|
|
|
|
1966 |
—9 |
- 1 3 3 |
—1 |
|
Вейс |
1967 |
—26 |
155 |
185 |
Вейс |
|
|
|
|
1967 |
—93 |
—132 |
—1- |
|
Гапошкин, Ламбек |
1969 |
- 2 2 |
155 |
182 |
Гапошкин, Ламбек |
|
1969 |
- 9 0 |
- 1 2 9 |
— |
||||
Фишер и др. |
1968 |
- 1 8 |
145 |
183 |
Фишер и др. |
|
|
|
1968 |
- 8 1 |
- 1 0 4 |
|
||
Бурша |
1970 |
—40 |
137 |
199 |
Бурша |
|
|
|
|
1970 |
- 8 0 |
—101 |
— 1. |
|
Ламбек |
1969 |
- 5 6 |
161 |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
30 |
|
|
||
Координаты |
центра Австралийской системы |
координат |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Координаты, м |
|
|
|
|
|||
|
Автор |
|
|
Год |
ж» |
|
|
|
|
г» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уо |
|
|
|
|
||
Вейс |
|
|
|
|
1966 |
—89 |
|
- 3 4 |
|
86 |
|
|
|
|
Вейс |
|
|
|
|
1967 |
—88 |
|
- 3 6 |
|
86 |
|
|
|
|
Гапошкин, Ламбек |
|
|
1969 |
—114 |
|
- 5 0 |
|
109 |
|
|
|
|||
Фишер и др. |
|
|
|
1968 |
—105 |
|
- 4 4 |
|
94 |
|
|
|
||
Бурша |
|
|
|
|
1970 |
—108 |
|
—70 |
76 |
|
|
|
||
Андерли |
Фрайер |
|
|
1967 |
—132 |
|
|
9 |
154 |
|
|
|
||
Мейтер, |
|
|
1970 |
- 1 5 3 |
|
- 3 6 |
|
123 |
|
|
|
|||
Фактические колебания элементов ориентирования существенно превьшают ожидаемые ошибки, приведенные в оригинальных работах. Одной я. причин этих расхождений может быть различие положения полюса и начал; счета долгот в различных выводах. Как показывает анализ, эти различия могу- дать изменения координат, достигающие значительных величин.
354.
Глава XIII
ИЗУЧЕНИЕ ВНЕШНЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
§78. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ АНОМАЛИЙ В ДАЛЬНИХ ЗОНАХ НА ВЫСОТУ КВАЗИГЕОИДА И НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ
УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА
Еще в недалеком прошлом на гравиметрической карте мира имелись целые области, совершенно не обеспеченные какими-либо гравиметрическими данными. Это обстоятельство создавало принципиальные трудности при использовании интегральных формул, требующих наличия гравиметрического материала на всю поверхность Земли. Практически интегрирование возможно было только в пределах некоторой центральной зоны, обеспеченной гравиметрической съемкой. Влияние же аномалий, расположенных в дальних зонах, приходилось учитывать с помощью методов, основанных на представлении гравитационного потенциала разложением по сферическим функциям.
В настоящее время проблема ограничения области интегрирования потеряла прежнюю остроту, так как достигнуты значительные успехи в создании мировой гравиметрической съемки и появилась возможность с помощью спутниковых данных получить осредненные достаточно точные аномалии силы тяжести для вычисления влияния дальних зон по интегральным формулам.
Наиболее просто было бы рассчитать «планетарные» аномалии силы тяжести, соответствующие некоторому принятому разложению гравитационного
потенциала |
в ряд по сферическим функциям, получить остаточные |
аномалии |
|
и |
уже по ним, пользуясь интегральными формулами, вычислить |
поправки |
|
в |
элементы |
гравитационного поля, полученные по ограниченному разло- |
|
жению.
Однако такой прием неудобен тем, что приходится пересчитывать остаточные аномалии силы тяжести при каждом новом разложении потенциала.
При наличии хорошей гравиметрической съемки в центральной зоне выгодно применять комбинированные методы, к рассмотрению которых мы и переходим.
Рассматривая вопрос о методах учета влияния дальних зон, будем исходить пз формулы (VIII. 115), предложенной Л. П. Пеллиненом
|
Я 2Я |
|
|
? = |
(XIII.1) |
|
о о |
|
где |
— у)р — аномалия Фаяа а поправочный член |
А 1,р по малости опущен. |
23* |
355 |
Чтобы разделить влияние аномалий близких и дальних зон, предст, 1 формулу (XIII.1) в виде
•фо 2Я |
Я 2Я |
|
|
1 ( ^ - т Ь ^ ^ з т ф ^ ^ + ^ |
Л |
( г - У ) * 5 ( Я | > ) 8 П 1 уа^йА. |
( X I . |
0 0 |
ф0 о |
|
|
После интегрирования аномалий в области 2 радиуса г|)0 и вычислен первого интеграла, дающего значение остаток Д^, определяемый вто4 интегралом и соответствующий крупным волнам квазигеоида, можно пред: вить в виде ряда сферических функций, использовав ряд Стокса (VIII._
Высота квазигеоида в соответствии с этой формулой
оо
П=2
где §п (0, Я) — сферическая функция степени п в разложении аномалии сг тяжести.
Ряд Стокса (XIII.3), как уже отмечалось выше, сходится очень медлер: Однако носле выделения влияния близких зон в виде первого интегр (XIII.2) сходимость ряда Стокса может быть значительно улучшена. Этможно добиться двумя путями: во втором интеграле (XIII.2) преобразов. функцию 1? (т|)), разложив ее в интервале ф0 ^ Ф ^ л по сферическим фу: циям, как это сделал М. С. Молоденский, или использовать приближенное вы; жение аномалий силы тяжести в виде суммы конечного числа сферичес?:
функций |
та |
Я), |
(ХН |
|
От-7)* = 2 |
||
|
71=2 |
|
|
как это сделали В. Ф. Еремеев и М. И. Юркина. Рассмотрим второй снос При рассмотрении второго способа подставим во второй интеграл соот;
шения (XIII.2) вместо аномалии силы |
тяжести (§ — у)р ее приближенг: |
|
значение (XIII.4). Тогда получим |
|
|
1|'о 2Я |
Я |
2Я т |
0 0 |
Фо |
0 п=2 |
|
2я |
|
Преобразуем внутренний интеграл |
о| §п (0', К') ЛА |
второго слагаем.: |
для чего воспользуемся формулами, полученными В. Ф. Еремеевым и М. И. I киной, для среднего значения сферической функции по окружности радиуса Эти формулы имеют вид
| Рп (сов в') ЛА = |
2пРп |
(сов Я|)) Р„ (сов 0) |
|
|
о |
|
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
^ соз кК'Рпк Ю<1А = 2пРп (сов ф) соз кХРпк |
(0) |
(XI |
||
о |
|
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
з т к%'Рпк (0') ЛА = |
2яРп |
(соз ф) з т кХРпк |
(0) |
|
О |
|
|
|
|
356
Справедливость соотношений (XIII.5) можно доказать, если умножить
левые и правые части этих |
соотношений на (2п + |
1)/4я = Рп (соз гр) з т гр бгр |
и проинтегрировать по "ф в пределах от 0 до я. |
|
|
Для первой формулы (XIII.5) будем иметь: |
|
|
Я 2Я |
|
Я |
§ ]) Рп (соз 0') Рп (соз г|з) зш ^ ЛА = 2зт |
| Р% (созф) Рп (созб) з т |
|
в о |
я |
о |
|
|
|
= |
Рп (соз 0) | Р 2 (СОЗ ф) ЯП Ф Й1|3. |
|
|
О |
|
я
Поскольку ^ Р\ (соз я|?) 31п. ф — получим явное выражение для
о
данной сферической функции.
|
|
|
|
я |
ад |
|
|
|
|
Рп (созО) = |
1 1 |
(соз 0') Р„ (соз -ф) зш ф йг|> йЛ. |
|
||||||
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
Аналогично доказывается справедливость и остальных двух тождеств |
|||||||||
(XIII.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, на основании первой формулы (XIII.5) получим |
|
||||||||
|
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(6', |
X') |
|
= 2яР„ (соз |
ё п (0, X). |
|
|
Следовательно, |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Фо 2Я |
|
|
|
|
|
|
ш |
Я |
|
О 0 |
|
|
|
|
|
' |
2 |
-фо |
(ХШ.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
<?„ = |
|
] Р„ (соз -ф) 5 |
(1|з) з т |
я|з |
зависят только от -ф0 и п |
|||
и при заданном радиусе — величины постоянные. |
|
||||||||
Для вычисления |
этих коэффициентов |
()п введем обозначения |
|
||||||
|
|
|
зт |
•ф |
V |
И |
Фо' |
=I |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3111 |
Щ } = 4 У |
ЙУ . |
|
|
|
Выразим функцию |
Стокса 5 (а]з) через |
V. Поскольку |
|
||||||
найдем |
|
|
|
соз1|)= 1 —2У2, |
|
(ХП1.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
= |
|
3 (1 - |
2Р2) 1п (» + р*) _ 6р + 1 — 5 (1 — 2У2) |
|
||||
н окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 (V) = 1 |
_ |
31п V (1 + |
V) •+- бу21п V (1 + |
и) — 6У — 4 +10» 8 . |
|
||||
357.
Поскольку |
при |
|
|
|
а при |
ф = |
я|)0; и = |
||
ф = |
я; |
у = -|_1, |
||
будем иметь |
||||
л |
|
Ф» |
||
|
|
|||
|
(С08 г1)) ^ |
|
= — ^ Рп (соз ф) 5 (Ф) 81П -ф йф = |
|
|
I. |
|
||
|
-4 | Рп (V) 8 (V) V |
|||
|
+1 |
|
|
|
где полиномы Лежандра выражены через V. |
||||
Например, |
при п = 2, учитывая |
(XIII.7), получим |
||
р2(у) = 1 - 6 У 2 + 6У4
I
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
вида ] Vй 8 (У) Лу можно вычислить |
непосредственно. Так! |
|||||||
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
образом, |
получаем формулы для вычисления ()„ как функций V. |
||||||||
<?а = 2 - |
а + Ы2 + 14*3 |
ш ъ + 47^6 + |
ш ? |
- |
|
|
|||
|
- |
|
г8 + (бг2 - |
24^ + |
36*6 - 18*8) 1п * (1 + |
*) |
|
|
|
= 1 _ Ы л. Ы2 4- 22г3 — |
372 |
• г5 4-1362® + 104г7 — Ш1& — Ш 9 |
+ |
||||||
4- |
352 |
210 + (б*2 - 42/!4 4- 108г!6 — 120г!8 4- 48г10) 1п * (1 + |
г) |
(XIII." |
|||||
|
|
||||||||
,4 - 1 — |
42 4- 5*2 + -|г г3 — 72г4 —15625 + 320г6 + 645^ |
- |
|
||||||
1120 |
г9 4- 602210 4-140211 — 210212 + (б22 — 66/4 — 260г6 — 480г8 — |
|
|||||||
|
|
|
— 420210 —140*12) 1п 2 (14- <) |
|
|
|
|
||
Формулу (XIII.6) напишем в окончательном виде |
|
|
|
||||||
|
|
|
ф0 2Я |
|
|
т |
|
|
(XIII. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
ф0 = |
|
О 0 |
|
п=2 |
только |
интегральндж |
||
|
я в этой формуле, очевидно, остается |
||||||||
часть — формула Стокса и все ()„ должны быть равны нулю. Поскольку в эхлш
случае 1 = |
1 и 1п I (1 + I) = 1п 2, сумма коэффициентов |
многочлена ерш |
1п I (1 4" 0 |
и сумма всех остальных коэффициентов должна |
равняться нулш- |
В этом легко убедиться, полагая в формулах (XIII.8) I = 1. |
|
|
358.
При ф0 = 0, напротив, пропадает интегральная часть формулы (XIII.9) и остается лишь ряд сферических функций — ряд Стокса, поэтому должно
соблюдаться условие: (}п = 2/п—1. Для этого, |
поскольку |
при |
= 0, ^ = |
О, |
|||||||||
свободный член выражения ()п |
должен |
быть равен 2/(п |
— 1). Это соблюдается |
||||||||||
в формулах (XIII.8), где свободные члены для ()2, ()3 и |
|
равны 2/гс—1. Дока- |
|||||||||||
жем это для общего случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
гр0 = |
0 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Эп = |
\Рп (соз г|з) 5 (1|)) 8111 |
йгр. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим |
сюда |
значение |
$ (ф) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
я |
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( } п = \ Р п (СОЗ о|>) 2 |
Р п ( С 0 8 ^ |
3 1 п ^ ^ |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
О |
|
п=2 |
|
|
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ^ [ 5 Р 2 ( С 0 8 ф ) + |
- | - , Р 3 ( С 0 В ф ) + . . |
|
|
+ |
. . . ] Рп (соз 10 ЯП я]) |
|
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
Учитывая свойство ортогональности сферических функций, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - — Г Г " |
(СОЗ-ф) 8 ^ 1 1 3 ^ = - ^ - . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
облегчения |
вычислений по |
формуле |
(XIII.9) |
составляются специ- |
||||||||
альные таблицы коэффициентов |
п. В табл. 31 приводятся для трех значений |
I |
|||||||||||
(0,1, 0,2, 0,3) коэффициенты |
|
для п от 0 до 8. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
31 |
|
||
|
|
|
|
2 = 0,1 |
|
( = 0,2 |
|
|
|
< = 0,3 |
|
|
|
|
п |
|
г = 1274км |
г = 2548 км |
|
г = 3823 км |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Чп |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
- 0,475 |
|
—0,892 |
|
|
—1,107 |
|
|
||
|
1 |
|
|
—0,473 |
|
—0,870 |
|
|
—1,060 |
|
|
||
|
2 |
|
|
+1,534 |
|
+1,172 |
|
|
+1,028 |
|
|
||
|
3 |
|
|
+0,543 |
|
+0,232 |
|
|
+0,146 . |
|
|||
|
4 |
|
|
+0,222 |
|
—0,028 |
|
|
—0,054 |
|
|
||
|
5 |
|
|
+0,071 |
|
—0,112 |
|
|
—0,086 |
|
|
||
|
6 |
|
|
—0,012 |
|
—0,126 |
|
|
—0,063 |
|
|
||
|
7 |
|
|
—0,059 |
|
- 0,107 |
|
|
—0,028 |
|
|
||
|
8 |
|
|
—0,085 |
|
—0,075 |
|
|
+0,002 |
|
|
||
Рассмотрим метод учета влияния дальних зон применительно к новой методике астрономо-гравиметрического нивелирования, предложенный О. М. Остачем.
Если высоту квазигеоида вычислять по формуле (§ 56)
1К 2Я
о о
359.