shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

что сжатие а' каждого внутреннего слоя также является некоторой функцией г', т. е.

а' = ф(г*).

Рассмотрим некоторый сфероидальный слой, находящийся на расстоянии г

от центра. Плотность этого слоя обозначим через 6, а сжатие через а.

Клеро получено условие равновесия любого слоя неоднородной жидкой планеты, находящейся в жестком вращении, с точностью до малых величин первого порядка, называемое «первичным уравнением».

где Я — средний радиус планеты; М — общая масса планеты; д — отношение

центробежной силы на экваторе к силе тяжести.

Первый интеграл, входящий в (VII.59), можно выразить через среднюю плотность Б шара радиуса г. Аналогично (VII.54) найдем

Введем среднюю плотность планеты бт , поскольку

Применим полученное уравнение к внешней поверхности планеты, т. е. напишем условие равновесия жидкой массы в целом. Положим в (VII.61) г = = N. Тогда сжатие внутреннего слоя а превратится в сжатие а0 внешней поверхности, а Ог=н = Ьт.

Введем обозначение

о

Этот интеграл, зависящий от неизвестного нам внутреннего распределения плотностей слоев б' и их сжатий а', является стоксовой постоянной, поскольку в конечном счете он выражается только через сжатие внешней поверхности а0, через отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе д и через среднюю плотность планеты бт . В самом деле, из (VII.61) получаем

или окончательно

Сделаем сопоставление данных наблюдений для Земли с гидростатической теорией. Знание закона распределения плотности б' внутри Земли, т. е. вид

180'

функции б' = / (г'), позволяет по формуле (VII.62) вычислить сжатие а0, которое Земля имела бы, если бы находилась в гидростатическом равновесии. В качестве примера вычислим гидростатическое сжатие а0, соответствующее двум моделям строения Земли: для случая однородной Земли и для случая, когда неоднородность Земли доведена до крайнего предела и вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Первый случай был рассмотрен Ньютоном. При б =

п (VII.62) дает

а0 = "|-<7 = 1:231.

Второй случай рассматривал Гюйгенс. Если около центра выделить сферу сколь угодно малого радиуса г и считать, что вся масса Земли М сосредоточена

внутри этой сферы, то плотность внутри этой сферы можно считать величиной постоянной

При г —у 0 последнее выражение обращается в нуль, и из (VII.62) получаем

а0 = - | — 1:577.

Истинное сжатие Земли находится между этими крайними пределами, ближе к ньютоновскому, в соответствии с тем, что строение Земли гораздо ближе к случаю, рассмотренному Ньютоном, чем Гюйгенсом. Покажем теперь, как можно получить истинное гидростатическое сжатие а0, не зная закона изменения плотности внутри Земли.

Выполним преобразование первичного уравнения Клеро (VII.59). Путем двойного дифференцирования по независимой переменной г можно освободиться от обоих интегралов, содержащих искомую функцию а' = <р (г') и ее производную по г, т. е. от второго и третьего интеграла в левой части (VII.59). Диф-

ференциальное уравнение приводится далее к виду

о

г

Интеграл о] б'г'2йг', как мы видели, связан со средней плотностью Б шара радиуса г (VII.60) и является функцией г. Введя обозначение

181'

дифференциальное уравнение Клеро можно переписать

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка устанавливает связь между плотностью б и сжатием а внутренних сфероидальных слоев. Оно является исходным при всех исследованиях, касающихся внутреннего строения Земли.

Коэффициенты этого уравнения являются переменными величинами, зависящими от г как непосредственно, так и через плотность б, которая сама является функцией г.

Теперь преобразуем уравнение (VII.65), имея в виду получить гидроста-

Вместо плотности б введем среднюю плотность Б шара радиуса г. Установим связь между б и I); после дифференцирования соотношения (VII.60) по г будем иметь

Поскольку производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции, вычисленной при верхнем пределе, то

182'

которое устанавливает связь между гидростатическим сжатием а0 и параметром Т]0.

Используя (VII.74), установим пределы, в которых заключен параметр т)0. Для случая однородной планеты а0 = (5/4) д и т)0 = 0.

183'

Определим порядок величины т]0 для Земли. Полагая, что гидростатическое сжатие а0 ^ 1/297, получим, что

%0,55944.

Всвою очередь параметр т]0 определяется через момент инерции С Земли

относительно полярной оси.

Известно, что момент инерции эллипсоидального слоя толщиной йт' выра-

жается формулой

Следовательно, момент инерции эллипсоида, состоящего из концентрических слоев, будет

+

о

• Второй интеграл справа определяется из (VI 1.73). Для определения первого интеграла рассмотрим тождество

вв

оо

Приняв во внимание (VII.60), согласно которому

г

#/•3 = 3 \ь'г'2йг\

о

получим после интегрирования по частям (учитывая, что Ог=п —

Второй интеграл справа может быть вычислен, если проинтегрировать (VI 1.70)

следовательно, искомыи интеграл

я

184'

Вернемся к вычислению момента инерции С

Введем выражение для массы Земли

_4

3

и в результате получим

С 2 ( 1 — Г ^ + ^ + ^ О - Х Ч . ) -

МЯ2

Учитывая, что

окончательно получаем соотношение между моментом инерции С и параметром Т}0

№ 7 5 )

Если определить момент инерции С Земли, то, решая (VII.75) совместно с (VII.74), можно найти сжатие, которое имела бы Земля, находясь в состоянии гидростатического равновесия.

Коэффициент второй зональной гармоники потенциала Земли определяется из наблюдений искусственных спутников Земли (ИСЗ)

г С-Ат

1 9. Ма2

Астрономические наблюдения позволяют определить постоянную прецессии, иначе называемую динамическим сжатием Земли

Величина С/(Ма2) находится из соотношения

Приняв Н — 0,00327237, / 2 = 1082,86 (по данным наблюдений ИСЗ), найдем

— ^ = 0,3309.

Ма2

Если с этим значением величины С/(Ма2) по формулам (VII.75) и (VII.74) вычислить гидростатическое сжатие а0, то получим

а0 = 1/299,8.

Отличие фактического сжатия а от значения а 0 представляет собой, как указывал Каула, крупную аномальную особенность гравитационного поля Земли.

185'

Глава VIII

ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ, ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ, АНОМАЛИЙ ВЫСОТ И УКЛОНЕНИЙ ОТВЕСА

§ 42. КРАЕВОЕ (ГРАНИЧНОЕ) УСЛОВИЕ

Для того чтобы найти краевое (граничное) условие, необходимо установить связь между возмущающим потенциалом Т и какой-либо величиной, которую можно найти из наблюдений на физической поверхности Земли. Такой величиной является аномалия силы тяжести. Выразим силу тяжести § в данной точке М земной поверхности через потенциал IV

где п — направление внешней нормали к уровненной поверхности потенциала

силы тяжести, иначе — направление отвесной линии {§). Следует иметь в виду, что если речь идет о вычислении величины силы тяжести, то практически безразлично, по какому направлению брать производную от потенциала: по отвесной линии касательной к силовой линии нормального поля у, или нормали Н к поверхности эллипсоида. Если, например, взять производную от IV по направлению нормали Н к уровенному эллипсоиду, то получим

- - V й ] -

Угол Н) очень мал и имеет тот же порядок, что и величина уклонения отвеса. На земной поверхности этот угол не превосходит 1'. Следовательно,

в радианах угол (д, Н) < 1/3000, а ^ - < 72 • 10"7. Поэтому можно считать

\дн1м

Аналогично можно доказать^ что и нормальная сила тяжести может вычисляться как

•м \дН )м'

поскольку угол между направлением касательной к силовой линии нормального поля у в точке М и направлением нормали Н к эллипсоиду в той же точке весьма мал (У.47).

186

Учитывая вышеизложенное, представим (VIII. 1) в виде

дН

Здесь справа стоит чистая аномалия силы тяжести. Если бы геодезическая высота Н точки М была известна, то величину ум можно было бы вычислить по формуле (У.32). В этом случае (VIII .2) можно рассматривать, как граничное условие, которому возмущающий потенциал Т удовлетворяет в точках физической поверхности Земли. Однако вместо геодезической высоты Н мы располагаем лишь приближенным значением — нормальной высотой Ну . Поэтому и нормальную силу тяжести мы фактически можем вычислить не в точке М физической поверхности Земли, а в точке N

где ^ — аномалия высоты.

Тогда, принимая во внимание (VI. 19), представим (VIII.2) в виде

или

Разность §м — улг представляет собой смешанную аномалию силы тяжести. Что касается члена, содержащего ду/дН, то его в соответствии с (У.38)

можно вычислить по формуле

(•!г)в+а<г>*-/.

что по форме соответствует третьей краевой задаче теории потенциала. Однако необходимо отметить и существенное отличие (VIII.5) от обычного условия для третьей краевой задачи.

В последнем случае производная от гармонической функции берется по направлению нормали п к заданной поверхности. В уравнении (VIII.5) производная от искомой функции Т берется не по нормали к заданной поверхности 8, а по нормали к уровенному эллипсоиду. Угол (п, Н) между этими направле-

ниями равен углу наклона земной поверхности и может достигать значительных величин, особенно в горных районах.

187'

В граничном условии (VIII.5) потенциал Т и его производная дТ/дН относятся к точке М земной поверхности /5, которая сама подлежит определению.

Для решения краевой задачи необходимо граничное условие (VIII.5) отнести к какой-либо известной поверхности. От того, насколько близка будет выбранная поверхность к поверхности Земли, зависит степень приближения возмущающего потенциала, найденного из решения краевой задачи, к действительному значению Т.

Возможны два варианта.

П е р в ы й в а р и а н т . Отнесем граничное условие к поверхности Т

Земли в первом приближении (см. рис. 36). Откладывая от поверхности уровенного эллипсоида но направлению нормали к нему нормальные высоты Ну,

строят эту поверхность. В этом случае

Втаком виде граничное условие впервые было получено М. С. Молоденским. Полученный в результате решения краевой задачи возмущающий потенциал Т достаточно близок к действительному так, что в настоящее время прак-

тически нет необходимости решать задачу во втором приближении.

Вт о р о й в а р и а н т . Положим, что нормальные высоты точек земной поверхности всюду равны нулю. Это означает, что в любой точке М земной

поверхности \Ум = = сопзЪ, т. е. поверхность <5 Земли принимается за уровенную, а соответствующая ей поверхность 2 за поверхность эллипсоида о.

Если принять поверхность о за сферу, то 1/у-ду/дН = —2/В. Аномалии

силы тяжести заданы на самой поверхности сферы.

Решение краевой задачи для этого случая получено Стоксом. Значение возмущающего потенциала Т0, найденное Стоксом, следует рассматривать, как

приближенное, нуждающееся в исправлении, поскольку граничное условие (VIII.9) составлено для поверхности а, значительно отличающейся от физической поверхности «У Земли.

§ 43. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД СТОКСА

Рассмотрим краевую задачу, заключающуюся в определении возмущающего потенциала Т, удовлетворяющего на поверхности сферы радиуса В

граничному условию (VIII.9), которое представим в виде

188'

разложить в ряп по сферическим функциям в соответствии с формулой (111.25)

(О

Это условие распадается на три независимые, если вместо соз г|> подставить его значение

соз г|> = соз 6 соз б' + з т 0 з т 0' (соз X соз X' + з т X з т X'). Выразив йсо через сферические координаты 0' и X'.

Й(О = 8Ш0*

189'