shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Выведем формулу для аномалии силы тяжести для случая, когда прямая имеет бесконечное простирание. Представим (Х1У.26) в виде

Подынтегральное выражение можно представить как

.400

цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его оси; Дб — аномальная плотность, длина цилиндра принята равной единице.

На рис. 81 представлены кривые Д^ и Тхг для случая горизонтального

бесконечного цилиндра кругового сечения, построенные на основании формул

рис. 83 изображен прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям. Аномальную плотность параллелепипеда

После выполнения интегрирования по ? и т)

В случае бесконечной призмы с прямоугольным сечением, грани коте параллельны плоскостям ху ж уг (рис. 84), в формуле (XIV.30) пределы к »

Рис. 83

следует считать от — д о Обозначив через I достаточно большое чиедч.- будем иметь

Считая дробь (§2 + малой величиной, разложим числитель и знамгнатель полученного выражения в ряд по степеням этой дроби, ограничивая: л малыми первого порядка

402.

Таким образом, формула (Х1У.30) для случая прямоугольной призмы бесконечного простирания будет

или

А^ = /Аб | 1п

|2 + С!2

Применяя формулу интегрирования по частям, найдем

Положим, что сечение плоскостью хг рассматриваемой призмы представляет прямоугольник МNР^ (см. рис. 84). Аномалия силы тяжести Ад, вызванная этой призмой, может быть представлена как разность двух сумм:

Аномалия силы тяжести в случае прямоугольной призмы бесконечного простирания, две грани которой лежат в плоскостях ху и уг, в точке О будет вычисляться по формуле

404.

Р(х,0,0)

" в, ц§§§

шшшш

+ 0шши;

1

Рис. 86

Формулы для вторых производных потенциала имеют вид

Г ^ / Д б Ы ^

7,д = 7,2г = 2/Дб(агс^^ -

На рис. 86 схематически показан ход кривых А§, Тхг, Тгг над вертикальной ступенью.

Положим в формуле (XIV. 35) х — х = 0, х

Тогда

Оказывается, что в бесконечно удаленных точках, а также в точке, расположенной над краем сброса, значение аномалии силы тяжести зависит только

4 0 5

т.е. расположенных на различной глубине от земной поверхности (рис. 88),

вуказанных выше точках соответствующие этим ступеням кривые Ад будут пересекаться. Более детальное исследование формулы для аномалии силы тяжести показывает, однако, что во всех остальных точках кривые совпадать не будут. Именно, более близкой к поверхности ступени будет соответствовать кривая с более крутым наклоном, а ступени, расположенной на большей глубине, кривая с более пологим наклоном.

Для двух точек с координатами +х и —х, расположенных по обе стороны от края ступени, если х 1,х% можно написать приближенное равенство

т. е. разность аномалий приблизительно пропорциональна разности глубин

§ 90. Р Е Ш Е Н И Е О Б Р А Т Н О Й З А Д А Ч И Г Р А В И М Е Т Р И Ч Е С К О Й Р А З В Е Д К И М Е Т О Д А М И ,

О С Н О В А Н Н Ы М И Н А Р Е Ш Е Н И Я Х П Р Я М О Й З А Д А Ч И

Полученные в предыдущем параграфе формулы, позволяющие решить прямую задачу, используются в гравиметрической разведке для решения обратной задачи при помощи специально разработанных методов. Среди методов могут быть названы: метод «характерных точек», метод подбора и др., применение которых возможно только в случае, если известны некоторые данные об искомом аномальном теле, как, например, его форма, аномальная плотность, глубина залегания. Эти данные можно получить либо по материалам геологических изысканий, проводившихся в исследуемом районе, либо в результате применения других методов геофизической разведки.

1. М е т о д « х а р а к т е р н ы х т о ч е к » . В случае, когда на основании каких-либо материалов сделано более или менее обоснованное предположение о форме аномального тела, могут быть использованы формулы, дающие значения Ад, ТХ2 и других производных, в виде тех или иных функций координат

точки наблюдения.

Так как наиболее часто значения этих величин рассматривались только для точек, расположенных на оси х, то можно положить, что

406.

Написанные равенства можно рассматривать как уравнения некоторых кривых. Для ряда тел, имеющих простую геометрическую форму, такие уравнения известны. На этих кривых легко отметить некоторые «характерные точки», например: 1) максимума и минимума, 2) перегиба, 3) точки, в которых значение ординаты у равно половине, четверти и т. д. максимального значения орди-

наты кривой, 4) точки, в которых ордината равна нулю, и т. д. Для всех этих точек можно найти соответствующие значения абсцисс х и, зная аналитические выражения для (х), /2 (х), . . ., возможно получить соотношения, связывающие абсциссу х для какой-нибудь из этих точек с элементами, характеризу-

ющими размеры, массу тела и его положение. Такие соотношения и позволяют решить обратную задачу для тех или других частных случаев.

Рассмотрим несколько таких случаев.

Пусть по каким-либо соображениям принято, что аномальное тело по своей

Для удобства вычислений выгодно принять это отношение равным некоторому целому числу п. После этого на графике функции Л^ = (х) следует определить абсциссу «характерной точки», аномалия которой Ад удовлетворяет

условию

А?

#

Тогда уравнение (XIV. 38) перепишем в виде

Получили соотношение, связывающее абсциссу х «характерной точки»

407

Если еще известна аномальная плотность

Дб = ба —бь

где б3 — плотность шара; бх — плотность окружающей породы, то можно найти радиус шара

У4я Аб •

Зная К и найдем глубину к залегания поверхности аномального тела

Исследование уравнения (Х1У.41) показывает, что максимальное значение функции Тхг будет при а; = — (1/2) а минимальное — при х = + (1/2) По-

следовательно,

т. е. глубина центра шара равна расстоянию между точками максимума и минимума кривой Тхг. Подставляя в (XIV.41) значение х = —(1/2) Но> найдем соотношение между (Тхг)тах и аномальной массой Ма

откуда

Ма = 0.0175Ц (Тхг)тах.

Если аномальное тело имеет форму горизонтального кругового цилиндра бесконечного простирания, то уравнение кривой Ад = (х) в соответствии

с (XIV. 27) напишется

408.

Очевидно, что максимум функции будет иметь место при х = 0, т. е.

рис. 81). Соотношение (Х1У.44), связывающее абсциссу х с глубиной залегания

центра цилиндра позволяет определить

Рассмотрим случай вертикальной ступени, особенно часто встречающейся в практике.

Итак, предположим, что аномалия А§ обусловлена действием одной поверхности раздела пород с плотностью б, (верхняя толща) и 62 (нижняя толща).

Допустим, что в точке с абсциссой -\-х (см. рис. 86) глубина указанной

разделяющей поверхности, можно использовать приближенное равенство (Х1У.36). Допустим, что известны Дб = б2 — б1( глубина контактной поверх-

409.