shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Отсюда видно, что каждое уравнение (XIII.30) содержит три неизвестш.-!: % И Я^х-

где (ф/,)0 — приближенное значение *фй. Тогда

ФА-1 = ('ФЙ-ОО + Хк-1

%= ("ФА)О - г Хк

%+1 = (4^+1)0 + Хк+1-

Разложим функцию (Ш"2/бфй в ряд и ограничимся первыми членами ра • - ложения

.370

Решение системы (XIII.31) позволяет установить оптимальное распределение пунктов мировой гравиметрической съемки. Для ориентировочное оценки ошибка определения влияния аномалий дальних зон на высоту квазигеоида можно использовать формулу (XIII.14), заменив в ней порядков^ дисперсии аномалий силы тяжести §п порядковыми дисперсиями их ошибок 6 г В табл. 37 в качестве примера приведены результаты соответствующих вычисл— ний. Значения величин 8§п взяты по данным Гапошкина [12], а коэффициентов ()„ — из табл. 31.

§ 81. ФОРМУЛЫ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Первыми параметрами, определенными по гравиметрическим данных были коэффициенты уе и (3 нормальной формулы, а следовательно, и сжатие - Редкая и крайне неравномерно расположенная на поверхности Земл:

гравиметрическая съемка конца XIX и начала X X вв. не могла быть испол зована для сколько-нибудь надежного определения других параметров.

Больше того, неоднократные определения уе и р (а значит и сжатия Земли не отличались однозначностью, поскольку различные авторы использовал: неодинаковый и в количественном и в качественном отношении исходный гравг метрический материал.

Определение коэффициентов нормальной формулы производилось по сг собу наименьших квадратов, при этом за наблюденную величину принимал}

а именно — ошибку порядка аномалии силы тяжести §—у. Весь расчет делал с = на то, что при большом числе гравиметрических пунктов, покрывающих в>: можно большую часть поверхности Земли, ошибки будут подчиняться закол случайных ошибок так, что определенные по способу наименьших квадрат = вероятнейшие значения коэффициентов уе и будут близки к истинным. I : тий коэффициент нормальной формулы (Зх обычно находился из теоретичесг!: расчетов, поскольку по своей малости он не мог быть определен достаточ? надежно по результатам гравиметрических наблюдений. Так, например, Гол • мерт определял его по формуле типа (IV. 22), принимая определенную гипот-.

о распределении плотности внутри Земли. Можно его вычислить и по форму : - ^.18). Поэтому при определении неизвестных уе и (3 коэффициент считал г известным и включался в свободный член уравнений ошибок, которые и.м-..1 вид

где

372.

Покажем, как можно определить коэффициенты уе и р при сравнительно

небольшом числе пунктов.

За неизвестные, которые определяются по способу наименьших квадратов, принимаются

Х = Уе, У = Ус$-

Отметим, что у имеет простой физический смысл, а именно:

У = УР~Уе-

Уравнения погрешностей напишем в обычном виде

х + Ъху + 1Х = их

х + ъ2у + и = уо

х + ЪпУ + 1п = »п-

Нормальные уравнения в общем виде запишем как

[017] = О,

[Ьу]=0.

В данном случае можно уменьшить число нормальных уравнений до одного, воспользовавшись тем обстоятельством, что коэффициенты при неизвестном х в уравнениях погрешностей а = 1 и, следовательно, [у] = 0.

Получим вспомогательное уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член будут являться средним арифметическим из всех п значений

га я

Теперь, вычитая из каждого уравнения погрешностей вспомогательное, получим преобразованные уравнения погрешностей вида

Вху + Вх = их,

В«у-]г Ьо ----- V*,

В результате получим одно нормальное уравнение

373.

После этого неизвестное х определяется из вспомогательного уравнения

Зная х и г/, легко определить р, поскольку, очевидно р = у]х. Сжатие а находится по формуле (У.25).

Определение коэффициента д — со2а/уе не вызывает трудностей, поскольку © — угловая скорость вращения Земли — известна из астрономических определений с высокой степенью точности и ее ошибкой в данном случае можно пренебречь, а большая полуось эллипсоида а нужна с той же степенью точности, что и сама величина д.

Это утверждение легко проверить. Логарифмируя, а затем дифференцируя выражение для д, получим

1п д — 1п со2 -)- 1п а — 1п уе

Ад Аа Ауе Аа

Ча уе ~ а

Величина д, как и величина Р, имеет порядок сжатия Земли и определяется с точностью до четырех значащих цифр. Значит, с такой же точностьк необходимо знать и большую полуось а, т. е. с ошибкой На 1 км.

Из множества нормальных формул, полученных различными авторам* в разное время, приведем прежде всего нормальную формулу Гельмерта 1901 — 1909 гг.; в настоящее время она принята в СССР для вычисления нормальной силы тяжести

р! = 0,000007.

Если нормальную формулу представить многочленами Лежандра (111.28 .

то получим другую форму записи формулы Гельмерта

Гельмерт получил свою формулу в результате обработки наблюдений силы тяжести, произведенных на 1603 пунктах. Сжатие, соответствующе* формуле Гельмерта (определенное по формуле (У.25) при р = 0,005302, оказалось равным

\

а= "298Т '

т.е. практически совпадающим со сжатием эллипсоида Ф. Н. Красовског-

В1930 г. на съезде Международного геодезического союза в Стокгольме в ка-

честве международной формулы была рекомендована формула Кассиниса

у0 = 978,0490 (1 + 0,0052884 зт 2 В - 0,0000059 зт 2 2В),

которая соответствует эллипсоиду Хейфорда со сжатием а = 1/297,0. Коэф- фициенты Р и рх формулы Кассиниса вычислены для этого эллипсоида по фор-

мулам (У.25) и (У.18). Постоянная уе получена из измерений силы тяжестх.

374.

В настоящее время коэффициенты нормальной формулы силы тяжести определяют в комплексе с другими фундаментальными геодезическими параметрами, о чем будет сказано ниже (см. § 85). В заключение приведем нормальную формулу силы тяжести, соответствующую фундаментальным геодезическим постоянным, принятым на XV Генеральной ассамблее Международного геодезического и геофизического Союза в г. Москве в 1971 г.

у0 = 978,0318 (1 + 0,0053024 з т 2 В - 0,0000059 з т 2 2В).

Новая формула отличается от формулы Кассиниса с учетом поправки Потсдамской системы с 14 мгл на (—3,2 + 13,7 з т 2 В) мгл.

Переход той или иной страны к новой нормальной формуле силы тяжести связан с перевычислением большого числа накопившихся ранее гравиметрических данных, с изменением гравиметрических карт и каталогов. Потому, учитывая чисто служебный характер нормальной формулы, не следует прибегать к частому изменению ее коэффициентов. В случае необходимости проще вводить соответствующие поправки в конечные выводы.

§ 82. СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ РАЗЛИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

Выразим коэффициенты разложений в ряды по сферическим функциям: возмущающего потенциала, высоты квазигеоида и составляющих уклонений отвеса через коэффициенты разложения аномалии силы тяжести.

При этом будем предполагать, что нормальный потенциал выбран таким образом, что разложение возмущающего потенциала в ряд, как и аномалий силы тяжести, начинается с членов второго порядка, т. е. удовлетворяются условия

ёср ~Уср

(XIII.34)

^ ( 0 , А,) = 0 )

В этом случае разложение для аномалий силы тяжести (VIII.28) принимает вид

375.

Представим разложения для возмущающего потенциала и высоты квазигеоида в виде

Г = 2 2 (Д„* С08 кк + Епк (81П кк) Рпк (9), (XIII.38) П=2Й=0

СО П

(ХШ.39:

Й = 0

Для того чтобы выразить коэффициенты этих разложений через коэффициенты Апк и Впк разложения аномалии силы тяжести, используем формулы

§ 79.

Получим наконец, формулу для разложения составляющих уклонение отвеса в ряды по сферическим функциям. Если в формулы (VI.8) вместо Т подставить то в соответствии с (VI. 19) получим формулы для составляющих отвеса

р дк

Заменив в (ХШ.39) 6 через 90—<р и произведя дифференцирование ряд» по широте и долготе, получим

где коэффициенты связаны следующими соотношениями с соответствующими коэффициентами ряда (XIII.35):

Выражения (XIII.42), (ХШ.43) и (XIII.46) устанавливают связь между коэффициентами разложения по сферическим функциям основных характеристик гравитационного поля Земли и позволяют через коэффициенты разложений аномалии силы тяжести получить коэффициенты других разложений путем простого пересчета, не прибегая в каждом случае к интегральным формулам (Ш.ЗО).

Выразим теперь коэффициенты различных разложений через коэффициенты

Получим теперь разложение в ряд по сферическим функциям аномалии силы тяжести с коэффициентами спк и зпк.

Сравнивая (VIII.18) и (XIII.47), находим, что между сферическими функ-

3 7 7

§83. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ

Представим нормальную силу тяжести и аномалии силы тяжести в виде известных разложений по сферическим функциям. Мы имели [см. (У.20) и (XIII.35)]

То = А00Р0 (С03 0) + А20Р* (С08 0) + ЛА0РО> (С08 0).

где под знаком двойной суммы должны отсутствовать полиномы Лежандр^ второй и четвертой степени, поскольку они вошли в выражение для у0.

Влевой части (XIII.52) член кгк означает редукцию в свободном воздухе.

кг — вертикальный градиент нормальной силы тяжести, к — высота ТОЧКЕ

наблюдения над уровнем моря. Сила тяжести, наблюдаемая на физической поверхности Земли, обнаруживает отчетливую зависимость от высоты Л. поэтому прежде чем представлять ее рядом сферических функций необходимо, вводя редукции кхк, освободить ее от этой зависимости.

Для определения коэффициентов Апк разложения (XIII.52) тре-

буется наличие мировой гравиметрической съемки. Плотность этой съемки зависит как от степени п сферической функции, которой приходится ограничивать разложение (XIII.52), так и от точности, с которой требуется выполнпт:- разложение.

В качестве примера рассмотрим методику определения коэффициенте! разложения аномалии силы тяжести в ряд по сферическим функциям, разработанную И. Д. Жонголовичем.

И. Д. Жонголович принял специальную разбивку земной поверхности на трапеции, строго эквивалентные друг другу по площади. Для этого специально подобранной системой параллелей поверхность Земли разделена на зоны, а каждая зона отрезками равностоящих меридианов разделена на некоторое количество секторов, различное в каждой зоне.

Расчеты делались по формуле для сферы па = 2л (зт ф2— з т фх),

где фх и ф2 — широты южной и северной границ зоны; ст — площадь каждого сектора, считая радиус шара равным единице; п — число секторов в зоне. Сначала была произвольно задана величина а = 4я/410, что "соответствует площади, приблизительно равной трапеции на экваторе со сторонами по 10г .

затем расчет велся от экватора и состоял в последовательном подборе таких целых значений п для каждой зоны, чтобы широта ее северной параллели ф. отличалась от широты южной фх на угол, возможно более близкий к 10".

Каждая из таких «десятиградусных» трапеций делилась на 100 «одноградусных» при помощи соответствующих меридианов и параллелей. Вся поверхность Земли, таким образом, была разделена на 41 000 одноградусны! трапеций, каждая площадью около 1250 км2.

378.

Начальная стадия обработки всего материала состояла в получении простых средних значений как аномалий силы тяжести, так и соответствующих высот всех пунктов, расположенных в каждой «одноградусной» трапеции. При этом получение гравиметрических характеристик для «десятиградусных» трапеций проводилось двумя различными способами.

В первом способе средние значения аномалий в трапециях 10x10° вычислялись как простое среднее из средних значений аномалий в «одноградусных» трапециях

Во втором способе учитывалась зависимость аномалий силы тяжести от высот гравиметрических пунктов (см. § 37).

В результате для каждой «десятиградусной» трапеции были вычислены средние аномалии по формуле

для суши Д^ — ас-\-Ъкср,

для моря А§' — ям + Ъ'к' ср,

где кср и к'ср — значения средних высот и глубин в каждой «десятиградусной»

трапеции.

Значения Д^ были получены для 151 трапеции, а — для 118.

Эти величины использовались далее для вычисления окончательных гравиметрических характеристик «десятиградусных» трапеций по второму способу

Величины Д,д2 были получены следующим образом: для чисто континентальных трапеций (а = 1,00) Д^2 принято непосредственно равным значению А§, для чисто океанических трапеций (Р = 1,00) Д^2 принято непосредственно равным значению А§'; для трапеций смешанного типа, в пределах которых

имеется и суша, и море, применялась формула

Если в данной трапеции из имеющихся наблюдений была получена лишь величина Д^ для суши, то окончательная гравиметрическая характеристика А§2 вычислялась по формуле

циях, где местные значения Ъ и Ъ' не определялись, брали их средние значения:

Ъ = + 4 6 и Ъ' = - 2 0 .

Из 410 «десятиградусных» трапеций только 204 получили гравиметрические характеристики Д ^ и Д^2.

Разложение аномалии силы тяжести Д^ и силы тяжести § И. Д. Шонго-

379.