shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

то неучтенная часть высоты квазигеоида I, будет определяться формулой

Стокса при ф0 ф ^ я. Если функцию $ (ф) разложить по полиномам .".— жандра, обозначив коэффициент п-ой степени этого разложения через [(2г. - + 1)/2] @п, то неучтенную часть высоты квазигеоида I, можно представг~« в виде

со

о

Этот ряд сходится быстрее аналогичного рада (XIII.9). Рассмотрим кратко способ М. С. Молоденского.

Можно считать, что после выполнения интегрирования в пределах облает радиуса ф0 (XIII.2) величина А^ определяется формулой

оо

вкоторой интегрирование ведется по всей сфере, функция 8 (ф) — разрывна ?

я

^ [5 (ф) — 8 т (я|;)]2 з т ф йф ЗА = т т .

Фо

Цель последующих преобразований СОСТОИТ В ТОМ, чтобы вновь образованный ряд сходился значительно быстрее, чем первоначальный ряд Стокса, в итч:- вале от ф0 до я (и, конечно, медленнее в интервале от 0 до ф0, что, одна:- . в данном случае не существенно). Тогда формуле Стокса можно придать ЕЕ I вид. Интегрирование должно распространяться только на близлежащие к псс-~.г- дуемому пункту области; наоборот, дальние зоны проще всего учитывать ан.- литически — разложением их влияния по сферическим функциям. Если ог: •- ничить область изменения я); интервалом от ф0 до я, то подходящим выбо: :» угла ф0 можно в этом интервале получить для функции Стокса достаток: быстро сходящийся ряд, в котором практически можно ограничиться несколькими первыми членами.

Следовательно, непосредственное интегрирование следует выполнять лг:* в области от 0 до ф0. Действие аномалий в области от г|)0 до я достаточно точзх при этом учитывается первыми членами разложения ряда сферических фун1-

360.

ций. В этом состоит основная идея преобразования формулы Стокса. Если вместо функции 5 (Ф) использовать функцию 8т (гр), то формулу Стокса (XIII.2)

следует представить в виде суммы трех членов

Я2Я

оо

Я2Я

наперед заданной величины с тем, чтобы можно было им пренебречь. В этом случае

Фо 2Я

о о

Я 2Я

Разложив функцию 8т по полиномам Лежандра и представив аномалию

силы тяжести через ограниченную сумму сферических функций в соответствии с (XIII.4), М. С. Молоденский получил выражение для Д ^ в виде

361.

Таблица

Итак, формула (XIII.9) Еремеева и Юркиной, аналогичная формула Оста- и формула (XIII.11) Молоденского являются обобщением формулы Стоки

иряда Стокса. Обе формулы при т —>- оо совпадают с решением Стокса. Хот*

метод Молоденского для учета дальних зон дает большую точность, чем мет . Еремеева и Юркиной, он не получил применения из-за того, что при переход

кнему необходимо заново повторить большой объем вычислений, уже выполненных по интегральным формулам. В практике нашел применение мет. : Еремеева и Юркиной, в котором не требуется повторять прежних вычислении,

иметод Остача, дающий точность, близкую к методу Молоденского.

§79. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ВЛИЯНИЕ АНОМАЛИЙ

ВДАЛЬНИХ ЗОНАХ

Для оценки среднего квадратического влияния аномалий дальних зс будем исходить из преобразованной формулы Стокса (XIII.9). Среднее квадр.1 тическое значение А^ влияния аномалий в области, расположенной за окру? - ностью со сферическим радиусом "ф0, на высоту квазигеоида равно

П-2 со

где — порядковая дисперсия аномалий силы тяжести. На основании иссл дований найдено значение этой величины, равное примерно 120/га мгл2.

Збй'

Введем в рассмотрение величину §п, определяемую равенством

со

Эту величину выразим через коэффициенты Апк и Впк разложения аномалии силы тяжести

?г-й степени в разложении аномалий силы тяжести в соответствии с (XIII.12) можно выразить через коэффициенты Апк и Впк

является средним квадратическим значением члена п-ш степени в разложении Д^

363.

Известно, что при ф0 = 0 формула (XIII.9) превращается в ряд сфег ских функций, для которого

Выше было показано (VIII.27), что сферическая функция Тп (0, А степени в разложении возмущающего потенциала связана со сферической цией дп (0, X) той же степени в разложении аномалий силы тяжести соотннием

Т п { 0,

Используя выражение (VI. 21), найдем, что сферическую функцию 1,п (/г п-й степени в разложении высоты квазигеоида можно представить в виде

с„(в, У

Таким образом, выразив при помощи этого соотношения §п через пс

чим

(д—1) у у

Я

а подставив это значение в (XIII.14), получим более удобную формулу ~ вычисления среднеквадратического влияния дальних зон на высоту кв. геоида

364.

подставив это значение в (XIII.16), окончательно получим со

А ! 2 + Л^ 2 = - 1 2 <21 (И • - 1)" (II + К ) . ( X I I I . 17)

п= 2

Используя коэффициенты разложения аномалий силы тяжести в ряд по сферическим функциям, полученные И. Д. Жонголовичем, в ЦНИИГАиК по формулам, приведенным выше, были выполнены расчеты, характеризующие поле аномалий силы тяжести до восьмой степени включительно.

В табл. 34 представлено влияние гармоник различной степени на средние квадратические значения аномалий силы тяжести, высот квазигеоида и уклонений отвеса.

Табл. 34, таким образом, дает представление о порядке величины средних квадратических значений аномалий силы тяжести, высот квазигеоида и уклонений отвеса на Земле. Эти величины в рассматриваемом случае соответственно оказались равными: ±14,3 мгл, ±60,9 м, ±5,72".

В табл. 35 приведены данные, которые характеризуют влияние аномалий, выражаемых сферическими функциями степени от 2 до п, на средние квадратические значения величин Д^ и (Д|2 + Дг]2)1/*.

Т а б л и ц а 35

365.

Влияние аномалий, выражаемых сферическими функциями степени ет -»

Эти таблицы наглядно иллюстрируют эффект, достигаемый в результате

при ф0 = 23,1 и 34,9°.

Из табл. 35 видно, что если интегрировать до сферического расстояния

мощью учесть влияние гармоник 2 и 3-ей степени на величины Д^ и (АЕ2 — + Дг]2)1^ то и среднее квадратическое влияние дальних зон на высоты квазигеоида и уклонения отвеса, обусловленное только сферическими функциями четвертой степени и выше, значительно уменьшится. Как следует из табл. 35. в этом случае при учете аномалий в пределах сферической зоны радиуса ф0 —

Формула ошибки представительства (Х.З) дает возможность рассчитать точность выводов уклонений отвеса и аномалий высоты при заданном расположении гравиметрических пунктов. При этом вычисления следует начинать со сферического расстояния я]),,, так как гравиметрическую съемку в радиусе 2 тыс. км (ф0 = 18°) можно сделать такой плотности, при которой она полностью обеспечит требуемую точность.

Итак, положим, что вся поверхность Земли сферическими радиусами фх. ф2, . . ., разбита на п зон, а каждая зона с номером к — на равные между

собой трапеции, равновеликие квадрату со стороной, равной ширине данной зоны ф* — ф/г_1*

366.

Средняя линия этой трапеции должна быть равна ее высоте, т. е. должно соблюдаться условие

ДЛ^зт яЬср = % —

где

= 4" + ^А-а)' а ААк = Ат — Ат_1 —

разность азимутов, ограничивающих трапеции зоны с номером к. Число трапеций в этой зоне будет

Пусть в каждой сферической трапеции имеется один гравиметрический пункт. Поскольку

1/аГ = ]/~у =

ошибка представительства от такой трапеции в зоне к в соответствии с (Х.З) будет

нений отвеса по формулам Венинг-Мейнеса (VIII.57) каждая сферическая

В выражении (XIII.22) составляющая уклонения отвеса вычисляется по произвольному направлению. Поэтому надобность в вычислении составляющей в первом вертикале отпала. Подставив в (ХШ.21) значение б^з из (XIII.20) и ДАк из (XIII.19), получим

Заменим в (XIII.22) разность косинусов ее средним квадратическим значением в зоне по формуле

1к

367.

но

( Х Ш > -

368.

Средняя квадратическая ошибка в положении пункта, вызванная всеми имеющимися трапециями, будет равна

Формулы (XIII.26) и (XIII.27) позволяют решить вопрос о наивыгоднейшем распределении пунктов мировой гравиметрической съемки.

Еще в 1935 г. Грааф Хентер пришел к выводу, что для определения величин, обусловленных гравитационным полем Земли, необходимо иметь съемки двух типов:

1) общую мировую гравиметрическую съемку со станциями, равномерно расположенными на поверхности всего земного шара;

2) местные гравиметрические съемки с соответствующей плотностью станций в окрестностях определяемого пункта.

При расчетах оптимального распределения гравиметрических станций Грааф Хентер исходил из условия, чтобы влияние каждой станции на среднюю квадратическую ошибку вывода было бы одинаковым, т. е. чтобы при всех

По мнению Граафа Хентера, большую практическую пользу могла бы иметь общая мировая гравиметрическая съемка с плотностью один пункт на трапецию размером 5x5° . Это предполагает наличия всего 1654 пункта. При такой съемке по расчетам Граафа Хентера высота геоида могла бы быть получена с ошибкой ±10,4 м. При наличии дополнительной съемки сгущения радиусом 20°, состоящей из 84 пунктов, ошибка определения аномалии высоты уменьшится до ± 7 , 0 м.

Составляющие уклонения отвеса | или т], выведенные по результатам общей мировой гравиметрической съемки (1654 пункта) и дополнительной съемки сгущения (84 пункта), получаются по данным Граафа Хентера с ошибкой ±0,35".