Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5170 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

.pdf
Скачиваний:
743
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
14.78 Mб
Скачать
☆

§ 3

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

441

может служить плоскость и параболический цилиндр. Заметим,

что поверхности, имеющие одинаковую внутреннюю геометрию,

называются UЗ0меmрu'Ч,'НЪtМU.

2. Вторая квадратичная форма поверхности. Пусть Ф­

регулярная поверхность, определяемая радиусом-вектором r =

= т(и, v), а n(и, v) -единичный вектор нормали к этой поверх­

ности, определяемый соотношением

n =

[TuTvJ

=

[TuTvJ

1) .

(12.37)

 

I[TuTvJI

 

vEG -

р2

 

Второй квадратичной формой II поверхности называется вы­

ражение

II =

-drdn.

 

(12.38)

 

 

Так как dr . n = О 2),

то d(dr . n) = О,

т. е. d2 r . n =

-dr dn, и

поэтому вторая квадратичная форма может быть также опре­

делена с помощью соотношения

II = d2 r . n.

(12.39)

Поскольку d2 r = Тии du 2 + 2ruv du dv + r vv dv 2 , то,

согласно

(12.39), вторая форма может быть записана следующим образом:

II = (тииn) du 2 + 2(ruv n) dudv + (rvvn) dv 2 .

(12.40)

Для коэффициентов второй формы используются обозначения

тииn = L, ruvn = М, rvvn = N.

(12.41)

Обращаясь к выражению (12.37) для n, получим с помощью (12.41) следующие формулы для коэффициентов второй формы:

L = TuuTuT v

М = TuvTuT v

L = TvvTuT v

(12.42)

vEG-F2'

vEG-F2'

vEG-F2

 

3. Классификация точек регулярной поверхности. Исследуем вопрос об отклонении поверхности от касательной

плоскости в данной точке.

Пусть Ф - регулярная (дважды дифференцируемая) поверх­ ность, r = т(и, v) -определяющий ее радиус-вектор, n(и, v)- единичный вектор нормали, Р(и, v) -фиксированная точка

поверхности, пр -

вектор n (и, v) в точке Р 3), м - точка по­

верхности,

отвечающая значениям параметров u + tlu,

v + tlv

(рис. 12.9).

 

 

 

1) Так как

I[TuTvJI =

JT~T~ - (T u T v )2, то, согласно формулам

(12.31),

I[TuTvJI = VEG - р2.

2)Вектор dT лежит в касательной плоскости к поверхности и поэтому dT· n = о.

3)В дальнейшем нижний индекс Р вектора будет означать, что вектор

берется в точке Р.

442

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

ГЛ. 12

Пусть N - основание перпендикуляра, опущенного из М на касательную плоскость п в точке Р, h - величина, абсолютное значение которой равно расстоянию от М до п. При этом знак h

положителен, если направления векто­

n

ров N

М и Пр совпадают, и отрицате­

 

 

лен в противоположном случае. Оче­

 

видно,

 

 

 

 

h = .6.т . Пр,

(12.43)

 

где .6.т = т(u + .6.u, v + .6.v) -

т(u, v) =

=РМ. Так как и и v - независимые

Рис. 12.9

переменные, то можно считать .6.u =

= du, .6.v = dv,

и поэтому, используя формулу Тейлора (см.

формулу (12.4)),

получим

.6.т = (dr)p + ~(d2r)p + R 2.

(12.44)

2

 

В этом соотношении дифференциалы вычислены в точке Р,

а R 2 - вектор, имеющий порядок о(р2), где р =

J du 2 + dv 2. Из

формул (12.43) и (12.44) получаем для h следующее выражение:

h = ~d2rp . Пр + R 2 . Пр.

(12.45)

2

 

Так как d2 rp· Пр представляет собой вторую квадратичную

форму Пр, вычисленную в точке Р, а R 2np = о(р2), то соотно­

шение (12.45) может быть переписано следующим образом:

h = ~Пр + о(р2).

(12.46)

2

 

Обращаясь к формуле (12.46), можно сделать предположе­

ние, что главное влияние на величину h оказывает первое сла-

1

гаемое "2 Пр, и поэтому пространственное строение поверхности

вблизи регулярной точки определяется второй квадратичной

формой в этой точке.

Следующие рассуждения подтверждают это предположение. 1о. Вторая квадратичная форма Пр является знаnооnреде­

ленной (LN - м2 > О).

В этом случае 1)

IПрl ;;? Ар2, А> О.

Отсюда и из соотношения (12.46) вытекает, что величина h со­

храняет определенный знак для всех достаточно малых значе-

1) Убедиться в справедливости неравенства IПр 1 ~ Ар2 можно, например, следующим образом. Имеем: IПр 1= IL du 2 + 2М du dv + N dv 2 1 = IL cos 2 00+

+ 2М cos а sin 00+ N sin2 oolp2, где cos а = du/ р, sin а = dv / р. Так как Пр -

знакоопределенная форма, то выражение ILcos 2 оо+2М cosoosinoo+N sin 2 001 имеет положительный минимум А, т. е. IПрl ~ Ар2.

§ 3

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

443

ний р, И поэтому в окрестности точки Р поверхность располага­

ется по одну сторону от касательной плоскости Пр в этой точке

(рис. 12.10).

Точка Р поверхности называется в этом случае э л л и п т и­

ч е с к о й.

Сфера, эллипсоид, эллиптический параболоид - примеры

поверхностей, каждая точка которых эллиптическая.

20. Вторая квадратичная форма Пр является з'Наnоnере.ме'Н­

'Ной (LN - м2 < О). В этом случае в точке Р на поверхности

можно указать два таких различных на­

правления du : dv и ди : дV, что для значений дифференциалов переменных

u и v, определяющих эти направления,

вторая форма обращается в нуль, все

же остальные направления разделяют­

 

ся двумя указанными на два класса.

 

Для дифференциалов du и dv, отноше-

Рис. 12.10

ние du : dv которых определяет направ-

ление принадлежащее одному из этих классов, вторая форма положительна, для отношений du : dv, определяющих направле­ ния другого класса, - отрицательна. Поэтому поверхность вбли­ зи точки Р располагается по разные стороны от касательной

плоскости Пр в этой точке (рис. 12.11).

Точка Р поверхности называется в этом случае г и пер б 0-

лическоЙ.

Каждая точка однополостного гиперболоида и гиперболиче­ ского параболоида является гиперболической.

30. Вторая квадратичная форма Пр является n6азuз'Наnо­

оnределе'Н'Ной (LN - м2 = О). В этом случае в точке Р на по­

верхности можно указать одно такое направление du : dv, что

Рис. 12.11

Рис. 12.12

для значений дифференциалов du и dv, определяющих это на­ правление, вторая форма обращается в нуль. Для всех осталь-

ных значений дифференциалов вторая форма сохраняет знак 1)

(рис. 12.12).

1) в этом случае вторая форма может быть представлена в виде квадрата

некоторой линейной формы дифференциалов du и dv.

du : dv.

444

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

ГЛ. 12

Точка Р поверхности называется в этом случае пар а б 0-

л и ч е с к о й.

Каждая точка цилиндрической поверхности - параболическая.

40. Вторая квадратичная форма Пр равна нулю в точке Р

(L = М = N = О). Точка Р называется в этом случае

т о ч к о й

 

у п л о Щ е н и я. На рис.

12.13 изо­

 

бражена поверхность с точкой упло­

 

щения.

 

 

Любая точка плоскости является

 

точкой уплощения. Примером изо­

 

лированной точки уплощения мо­

 

жет служить точка с координата­

Рис. 12.13

ми (О, О, О) поверхности, задаваемой

 

уравнением z = х4 + у4.

 

Отметим, что если все точки поверхности являются точками

уплощения, то поверхность является плоскостью.

4. Кривизна кривой на поверхности. Пусть регулярная поверхность Ф задана посредством векторной функции r = = т(и, v), n-единичный вектор нормали к Ф, L-регулярная кривая на Ф, имеющая в точке Р(и, v) направление

Выберем в качестве параметра на

= r(u(l), v(l)) = r(l) вдоль L. В п. 6

предыдущего параГ?rафа мы устано­

вили, что вектор т' (l) направлен по

главной нормали n L к кривой L в точке Р и модуль этого вектора ра­

вен кривизне k кривой L в точке Р.

Поэтому

т"n = k cos <р,

(12.47)

L длину [, так что r =

м

где <р - угол между главной нор­

n

малью n L кривой L и нормалью n к

Рис. 12.14

поверхности (рис. 12.14). По правилу

 

дифференцирования сложной функции имеем

 

r "(l) = тuuи'2 + 2ruvu' v , + rvvv '2 + тuи" + rvv" .

Так как вектор портогонален векторам Тu и r v , то, подставляя

найденное выражение r"(l) в левую часть (12.47) и учитывая формулы (12.41), получим

r

"

n =

(

)'2

+

2(

)"

+

(

rvvn

)

v

'2

=

 

 

тuun

u

 

ruvn u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Lu,2 + 2Mu'v' + Nv,2.

(12.48)

Поскольку u

,

du

 

,

dv

 

 

u

 

 

 

 

 

=

dz' v

=

dz и на кривои L справедливо равенство

dl 2 =

Е du 2 + 2F du dv + G dv 2, то из

 

(12.47) и (12.48)

следует

§ 3

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

445

соотношение

 

 

 

 

 

k cos~ =

Ldu2 + 2М dudv + N dv 2

II

(12.49)

 

-------------------

1

 

 

Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2

 

 

Правая часть (12.49)

зависит только от отношения du : dv,

т. е.

только от направления du : dv. Поэтому длл всех 'Х:ривых L на поверхности Ф, nроходлщих 'Через то'Ч'Х:у Р в данном направле­ нии du : dv, выражение k cos ~ равно не'Х:оторои nостолнноu kn :

k cos ~ = kn

= const.

(12.50)

В частности, если кривая L представляет собой так называемое

н о р м а л ь н о е с е ч е н и е L n

поверхности

Ф в направлении

du : dv, т. е. линию пересечения поверхности Ф с плоскостью, проходящей через нормаль n и направление du : dv, то ~ = о, cos ~ = 1, и поэтому формула (12.50) примет вид

k = kn .

Таким образом, величина kn представляет собой кривизну нор­ мального сечения поверхности в направлении du : dv и может быть вычислена по формуле

kn =

Ldu

2

+ 2М dudv + N dv

2

II

(12.51)

 

 

1

 

Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2

 

Величину kn называют также нормальной кривизной линии L.

Отметим, что равенство (12.60) выражает содержание тео-

ремы МенЬе 1).

5. Специальные линии на поверхности.

1о . А с и м п т о т и ч е с к и е л и н и и. Направление du : dv

на регулярной поверхности Ф в точке Р называется а с и м п­

т о т и ч е с к и м, если нормальная кривизна в этом направлении

равна нулю.

Из соотношения (12.51) следует, что направление du : dv бу­

дет асимптотическим только тогда, когда для этого направления

выполняется условие

Ldu2 + 2М dudv + N dv 2 = о.

(12.52)

Так как вторая форма обращается в нуль в гиперболических точках, параболических точках и точках уплощения поверхно­

сти, то только в этих точках имеются асимптотические направ­

ления: в гиперболической точке два асимптотических направ­ ления, в параболической точке одно асимптотическое направле­

ние, в точке уплощения любое направление является асимпто­

тическим.

1) Менье - французский математик (1754-1799).

446

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

ГЛ. 12

Введем понятие асимnтоти'Ч,еск;оu линии.

А с и м п т о т и ч е с к о й л и н и е й на поверхности называ­

ется кривая, направление которой в каждой точке является

асимптотическим.

Если регулярная поверхность состоит из гиперболических

точек, то она покрыта двумя семействами асимптотических ли­ ний.

Например, два семейства прямолинейных образующих од­

нополостного гиперболоида являются асимптотическими лини­

ями.

Если на поверхности имеются два семейства асимптотиче­ ских линий, то их можно выбрать, вообще говоря, за коорди­ натные линии и и v. В этом случае вдоль линии и, например, не меняется параметр v, и поэтому на этой линии вторая форма

имеет вид II =

L du 2 . Так

как в асимптотическом направлении

II = О (см. соотношение

(12.52)), то L = О. Аналогично мож­

но убедиться,

что N = О.

Итак, если асимnтоти'Ч,еск;ие линии

поверхности являются к;оординатными линиями, то вторая форма имеет вид

II = 2М dudv.

20. Г л а в н ы е н а п р а в л е н и я . Л и н и и к р и в и з н ы .

Из формулы (12.51) видно, что нормальная кривизна в данной

точке представляет собой функцию от du и dv, точнее, от отно­

шения du/dv, т. е. от направления du : dv в данной точке.

Экстремальные значения нормальной кривизны в данной

точке называются

г л а в н ы м и

к р и в и з н а м и, а соответст­

вующие направления -

г л а в н ы м и н а п р а в л е н и я м и.

Убедимся, что в данной точке регулярной поверхности все­

гда имеются главные направления.

Полагая

 

 

 

 

du

 

cos а,

dv

--г=;=;;==;:=;;: =

= sin а,

vdu 2

+ dv 2

 

Vdu 2 + dv 2

преобразуем выражение (12.51) для kn к виду

k

=

Lcos 2 a+2Mcosasina+Nsin 2 a

n

 

Ecos 2 a+2Fcosasina+Gsin 2 a'

Таким образом, в данной точке нормальная кривизна k n пред­ ставляет собой дифференцируемую функцию аргумента а, за­

данную на сегменте [О, 21Г] и принимающую одинаковые значе­

ния при а = О и 00= 21Г. Поэтому В некоторой внутренней точке а

этого сегмента k n имеет локальный экстремум. Указанному зна­ чению а отвечает направление du : dv на поверхности, кото­

рое, естественно, является главным. Если вести отсчет углов а

от этого главного направления, то, рассуждая аналогично, мы

убедимся, что по крайней мере еще для одного направления du : dv достигается экстремум нормальной кривизны.

§ 3

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

447

Итак, в 'Каждои то'Ч'Ке регуляр'Нои nоверх'Ности имеется по ме'Н'Ьшеи мере два разли'Ч'Ных глав'Ных 'Наnравле'Ния.

Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке.

Считая kn функцией от du и dv, получим из соотношения (12.51),

следующее тождество относительно du и dv

(L - knE) du 2 + 2(М - knF) du dv + (N - knG) dv 2 == о.

Дифференцируя это тождество по du и по dv и учитывая, что

производная нормальной кривизны для главного направления

равна нулю, получим для du и dv, определяющих любое главное

направление, соотношения

(L - kiE) du + (М - kiF) dv = о,

(12.53)

(М - kiF) du + (N - kiG) dv = о,

в которых k i - значение главной кривизны в направлении du : dv. Так как в каждой точке имеются главные направления, то си­

стема (12.53) имеет относительно du и dv ненулевые решения.

Следовательно, должен быть равен нулю определитель этой си-

стемы:

(12.54)

Из уравнения (12.54) могут быть определены главные кривиз­

ны k i , а затем из соотношений (12.53) - главные направления.

Уравнение (12.54) является квадратным уравнением относи­

тельно ki , вещественными корнями которого являются главные кривизны. Поэтому могут представиться два случая:

10.

Уравнение (12.54) имеет два различных корня k 1 и k 2 .

20.

Корни ki уравнения (12.54) одинаковы. Рассмотрим эти

случаи отдельно.

1О. Урав'Не'Ние (12.54) имеет два разли'Ч'Ных 'КОр'НЯ: k 1 и k 2, k 1 i- k 2 · Этим корням отвечают два различных главных направ­ ления. Убедимся, что если 'Наnравле'Ния 'Коорди'Нат'Ных ли'Нии и

и v

в да'Н'Нои то'Ч'Ке совпадают с глав'Ными,

то в этои то'Ч'Ке

F =

О и М = о. Отметим, 'Что обраще'Ние F

в 'НУЛ'Ь оз'На'Чает

ортого'Нал'Ь'Ност'Ь глав'Ных 'Наnравле'Нии.

Итак, пусть направления координатных линий и и v в данной

точке совпадают с главными направлениями. Это означает, что

направления du : о, О : dv являются главными, и поэтому из

соотношений (12.53) вытекают равенства

L - k 1 =

о,

м - k 1 F = о,

м - k 2 F =

о,

N - k 2 G = о.

Так как k 1 i- k 2 , то, очевидно,

М = о, F = о. Отметим, что при

указанном выборе координатных линий главные кривизны k 1

бом направлении dи

448

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

ГЛ. 12

и k 2 могут быть найдены из соотношений

 

 

L

N

 

 

k 1 = Е'

k2 = G'

 

20. Урав'Не'Ние (12.54) имеет два оди'наковыlx КОр'нЯ: k 1 =

k 2 =

= k.

Убедимся, 'Что в этом слу'Чае любое 'Наnравле'Ние в да'Н'Нои

то'Чке является глав'Ным. Если коорди'Нат'Ные ли'Нии в да'Н'Нои

то'Чке ортого'Налъ'Ны, то в этоi1 то'Чке F = О и М = О.

Мы уже отмечали, что в каждой точке имеются по крайней

мере два разли'Ч'Ных глав'ныlx 'Наnравле'Ния. В рассматриваемом

случае каждому из этих главных направлений отвечает одно и

тоже значение k главной кривизны. Но тогда должны обратить­

ся в нуль коэффициенты системы (12.53), т. е.

L - kE = О, М - kF = О, N - kG = О.

Из этих равенств следует, что в данной точке коэффициенты второй формы пропорциональны коэффициентам первой фор­

мы:

L=kE, M=kF, N=kG.

Подставляя эти значения L, М и N в формулу (12.51), мы убе­

димся, что в данной точке кривизны нормальных сечений в лю­

: dv одинаковы и равны k. Следовательно,

любое направление dи : dv в данной точке является главным. Если координатные линии в данной точке ортогональны, то

F = О, а тогда из соотношения М -kF = О следует, что и М = О.

Итак, мы можем сделать следующий вывод: в каждоi1 то'Ч­

ке nоверх'Ности имеются ортого'Налъ'Ные глав'Ные 'Наnравле'Ния.

Если 'Наnравле'Ния коорди'Нат'Ных ли'Ниi1 совпадают с этими

глав'ныlии 'Наnравле'Ниями, то в этоi1 то'Чке F = О и М =

О.

Введем понятие л и н и и

к р и в и з н ы.

 

Л и 'н И е i1 к р и в и з 'н Ъ!

'На nоверх'Ности 'Называется

кри­

вая, 'Наnравле'Ние которои в каждоi1 то'Чке является глав'ныl•. На любой регулярной поверхности имеется, вообще говоря,

два различных семейства линий кривизны (выше мы указывали,

что в каждой точке имеются два различных главных направле­

ния).

Отметим, что если в качестве координатных линий выбрать линии кривизны, то первая и вторая форма поверхности будут

иметь вид:

1 = Е dи2 + G dv 2 ,

 

II =

Ldи2 + Ndv 2 ,

поскольку F = О и М = О.

 

30.

Г е о Д е з и ч е с к и е

л и н и и. Г е о Д е з и ч е с к о й л и­

н и е й

на поверхности называется кривая, главная нормаль в

каждой точке которой совпадает с нормалью к поверхности.

§ 3

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

449

Две любые точки регулярной полной поверхности можно со­ единить геодезической линией. Если эти точки достаточно близ­ ки, то соединяющая их геодезическая будет и кратчайшей ли­ нией - любая другая линия на поверхности, соединяющая эти точки, будет иметь большую длину.

Отметим, что движение точки по поверхности без воздейст­

вия внешних сил происходит по геодезической линии.

6. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна по­

верхности. Теорема Гаусса. Пусть Р - фиксированная точка регулярной поверхности Ф. Будем считать, что координатные

линии u и v ортогональны в данной точке и направления этих

линий совпадают с главными направлениями. В п. 5 этого па­

раграфа мы установили, что при таком выборе координатных

линий в данной точке выполняются соотношения

F = о,

м = о, L - k 1 E = о, N - k 2 G = о.

с помощью этих соотношений формула (12.51) для нормаль­

ной кривизны k n

примет вид

 

 

 

 

 

k n = k 1 E du 2 + k 2G dv 2

 

 

 

 

Edu 2 + Gdv 2

 

Если положить

 

 

 

 

 

cos (n =

 

VEdv

Slll rn

-

VGdv

(12.55)

VEdu2 + Gdv2'

-"F."i'~;===;;;=~

r

r

-

VEdu2 + Gdv 2

'

то, очевидно, получим следующую формулу для нормальной

кривизны:

(12.56)

Формула (12.56) называется формулой Эйлера. С помощью этой

формулы нормальная кривизна k n в направлении du : dv может быть вычислена через главные кривизны k 1 и k 2 .

Очевидно, формула Эйлера и формула (12.50) дают полную

информацию о распределении кривизн линий на поверхности. 3 а м е ч а н и е 1. Угол t.p в формуле Эйлера, значение ко­ торого может быть найдено при заданном направлении du : dv

по формулам (12.55), представляет собой тот угол, который сос­

тавляет направление du : dv с направлением координатной ли­

нии 'и.

Чтобы убедиться в этом, вычислим по формуле (12.36) ко­

синус угла между направлением du : dv и направлением du : О

линии 'и. Полагая в формуле (12.36) 6и = du, 6v = о, полу­

VEdu

чим для искомого косинуса выражение: , которое

VEdu 2 + Gdv 2

совпадает с выражением для cos ср, определенным по первой из

формул (12.55).

15 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

450

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

ГЛ. 12

в теории поверхностей широко используются понятия сред­

ней и гауссовой nривизны поверхности в данной точке.

Ср е д н е й при в и з н о й н поверхности называется nолу-

сумма ~(k 1 +k2 ) главныlx nривизн. Га у с с о в о й привизной К

поверхности называется произведение k 1 k 2 главныlx nривизн.

Обращаясь к уравнению (12.54) для главных кривизн и ис­

пользуя свойства корней квадратного уравнения, получим сле­

дующие формулы для Н и К:

н = ~LG-2MF+NE

(12.57)

2

EG - р2

'

К =

LN-M2

(12.58)

EG-F2

3 а м е ч а н и е 2. Из выражения (12.58) для гауссовой кри­

визны следует, что ее знак совпадает со знаком дискриминанта

LN - м2 второй квадратичной формы (дискриминант ЕС - р2

первой формы всегда положителен, так как первая форма поло­

жительно определенная). Поэтому гауссова кривизна в эллипти­

ческих точках положительна, в гиперболических отрицательна и равна нулю в параболических точках и точках уплощения.

На первый взгляд создается впечатление, что гауссова кри­ визна К поверхности может быть найдена лишь в случае, ког­

да известны первая и вторая квадратичные формы поверхности

(см. формулу (12.58)).

На самом же деле, гауссова кривизна может быть выраже­ на только через коэффициенты первой квадратичной формы и поэтому представляет собой объект внутренней геометрии по­ верхности. Этот замечательный результат был установлен Гаус­

сом 1) и в математической литературе называется «знаменитой

теоремой Гаусса». Докажем эту теорему.

Теоре,м,а Гаусса. Гауссова nривизна К поверхности может

бытъ выражена 'Через nоэффи'Циенты первой nвадрати'Чной фор­ мы поверхности и их nроизводные.

Доказательство. Обращаясь к формуле (12.58) для гауссовой кривизны К и используя выражения (12.42) для коэф­

фициентов второй квадратичной формы, легко убедиться, что для доказательства теоремы достаточно выразить через коэф­ фициенты первой квадратичной формы и их производные сле­

дующее выражение:

А = (TuuTuTv)(TvvTuTv) - (T uv T u T v )2.

l)к. Ф. Гаусс-выдающийся немецкий математик (1777-1855).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности