Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

432 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12

данной точке 7г кривой существует соприкасающаяся плоскость,

то при любой параметризации кривой вектор r"(t) параллелен

этой плоскости. Если рассматривать параметр t как время,

то r"(t) будет вектором ускорения при дви­

жении точки по кривой L по закону r(t). Та­

ким образом, при любом способе движения по

кривой вектор ускорения в данной точке рас­ положен в соприкасающейся плоскости кри­

вой в этой точке. Поэтому соприкасающуюся

плоскость называют также nлос'Костью ус'КО­

рении.

Прямая, проходящая через точку Р кри­ вой L перпендикулярно касательной в этой точке, называется нормалью. Нормаль, рас-

аположенная в соприкасающейся плоскости,

вой, а нормаль, перпендикулярная соприка­

сающейся плоскости, - б и н о р м а лью кривой. Вывод урав­

нений этих прямых предоставляется читателю.

4. Кривизна кривой. Пусть Р - произвольная фиксиро­ ванная точка регулярной кривой L без особых точек и М - точ­

ка этой кривой, отличная от Р. Обозначим через t.p угол между

касательными в точках Р и М, а через l - длину дуги РМ 1)

(рис. 12.7).

К р и в и з н о й k1 кривой L в точке Р называется предел

отношения t.p / l при l -+ О (т. е. при М -+ Р).

Справедливо следующее утвер:ждение.

Регулярная (два:жды дифференцируемая) 'Кривая L без ос0-

Быlx mO"lex: имеет в 'Ка:ждои тО"l'Ке определенную 'Кривизну k1.

Перейдем к доказательству этого утверждения. Пусть точки

Р и М кривой отвечают соответственно значениям t и t + tlt

параметра.

Вычислим sint.p и [. Так как кривая L регулярна, то r'(t) i- о

t

где 15 -+ О при tlt -+ О.

Отметим, что при преобразованиях выражения для l мы вос­ пользовались формулой c~eДHeгo значения для интеграла и не­

прерывностью функции r (t).

1) Так как кривая L регулярна, ТО любая ее дуга РМ спрямляема.

Из формул (12.20) и (12.21) получаем нужное нам выраже-

ние для sш ср:

sint.p = (Ir'I·I(r'r"rlll)1+r)~t.

[т'т"]2 + Il~t

Отметим, что в этом выражении значения производных вектор­

ной функции r (t) вычислены в точке Р.

Обращаясь к выражению (12.14) для [, используя только что

полученную формулу для sin t.p и известный предел ...J!- --+ 1 при

SШ'{J

t.p --+ О, мы убедимся, что предел t при l --+ О существует и равен

I(т'т"r lll )I

[т'т"Р

Итак, в условиях утверждения абсолютное кручение Ik2 1 су­

Докажем, что к;ру'Ч,ение k 2 не зависит от выбора nараметриза­

'Ции к;ривой и поэтому является определенной геометри'Ч,еск;ой

харак;теристик;ой данной к;ривой 1).

Перейдем к другой параметризации кривой при помощи па­

раметра 7.

Обозначая дифференцирование по параметру 7 точкой, по­ лучим по правилу дифференцирования сложной функции сле­

Мы убедились, что k 2 не зависит от выбора параметризации

кривой.

1) Абсолютная величина Ik21 определена геометрически. Поэтому от пара­

(г'г"r"l )

метризации может зависеть лишь знак выражения

[т'т"Р .

В п. 3 этого параграфа мы ввели понятия нормали и бинорма­

ли кривой. Эти прямые вместе с касательной являются ребра­

ми трехгранного угла, называемого е с т е с т в е н н ы м т ре х­

г р а н н и к о м. Пусть параметром l на кривой L является дли­

на дуги. Тогда r'(l) = t-единичный вектор касательной к L.

Выберем единичный вектор n главной нормали коллинеарным

вектору r"(l) 1), а в качестве единичного вектора бинормали

возьмем вектор

Таким образом, векторы t, n, Ь образуют правую тройку, т. е.

(tnb) > О. Векторы t, n и Ь являются функциями длины ду­

ги. Найдем разложения производных t', n', ь' этих функций по

Обратимся теперь к вектору Ь. Так как этот вектор единичный,

то вектор ь' ортогонален Ь. Докажем, что вектор ь' ортогона­

Из проведенных рассуждений вытекает, что вектор ь' коллине­

арен n, т. е

щимися плоскостями кривой В точках, отвечающих значениям

параметра l и l + tll. Очевидно, угол между векторами b(l) и b(l +tll) также равен <р, поскольку вектор Ь ортогонален сопри­

касающейся плоскости. Поэтому, учитывая, что lim ~l = k2 ,

61-+0 L...>.

получим

= Ik2 1. Пусть векторы ь' и n одинаково направлены. Из формулы

1) Согласно замечанию п. 4 этого параграфа вектор т"(1) ортогонален век­

тору t и лежит в соприкасающейся плоскости кривой.

Мы не будем доказывать это утверждение. Отметим лишь,

что доказательство основывается на теореме существования и

единственности решения системы обыкновенных дифференци­

альных уравнений.

Так как, согласно сформулированному утверждению, кри­

визна k1 (l) и кручение k2 (l) полностью определяют кривую, то

систему уравнений

обычно называют н а т у р а л ь н ы м и (внутренними) у р а в­

не н и я м и кривой.

§3. Некоторые сведения из теории поверхностей

вгл. 5 мы познакомились с рядом важных сведений о по­

верхностях: нами было введено понятие поверхности, понятие

регулярной и гладкой поверхности без особых точек, понятия

касательной плоскости и нормали к поверхности.

В этом параграфе мы укажем еще ряд важных свойств ре­

гулярных поверхностей.

1. Первая квадратичная форма поверхности. Изме­

рения на поверхности. Пусть Ф - регулярная поверхность без

особых точек, т(и, v) -радиус-вектор этой поверхности. Как из­

вестно, в этом случае [TuTvJ i- О.

Первой квадратичной формой 1 поверхности Ф называется

выражение

(12.30)

Наименование «квадратичная форма» связано с тем, что вы­

ражение

1 = dT 2 = (тu du + Tv dv)2 = T~ du 2 + 2TuTv du dv + т; dv 2

представляет собой nвадрати'Чную форму от дифферен'И,иалов

du и dv.

Первая nвадрати'Чная форма является nоложителъно опре­ деленной формой: она обращается в нуль только при du = dv =

= О, а для остальных значений du и dv положительна. Действи­

тельно, если dT 2 = О, то dT = тu du + Tv dv = О. Поэтому, если du и dv одновременно не обращаются в нуль, то из равенства

тu du +Tv dv = О следует, что тu И Tv коллинеарны, т. е. [TuTvJ = = О, а этого не может быть, так как по условию [TuTvJ i- О.

ДЛЯ коэффициентов первой квадратичной формы используются

С помощью этих обозначений выражение (12.30) для первой ква­

дратичной формы может быть записано в следующем виде:

Итак, на регулярной поверхности Ф, определяемой радиусом­

век;тором r = т(и, v), определена первая к;вадрати'Чная форма 1 посредством соотношения (12.32). При этом коэффициенты указанной формы могут быть вычислены по формулам (12.31).

С nомощъю первой к;вадрати'Чной формы можно nроводитъ измерения на поверхности: вы'Числятъ длины дуг линий и углы между линиями, измерятъ площади областей.

Пусть L - регулярная линия на поверхности Ф, определяе-

мая параметрическими уравнениями 1)

причем u(t) и v(t) - дифференцируемые функции с непрерыв­

ными производными.

Известно, что длина l дуги кривой L, определяемой радиу­

сом-вектором r = r(u(t), v(t)), может быть найдена по формуле

(последние три интеграла в (12.35) представляют собой криво­ линейные интегралы первого рода). Итак, зная первую квадра­ тичную форму, можно вычислять с помощью (12.35) длины.

1) Ясно, что задание и и v в виде функций (12.33) некоторого парамет­

ра t определяет на поверхности кривую, задаваемую векторной функцией r(u(t), v(t)). Вопрос о том, любая ли гладкая линия L на поверхности Ф

может быть задана параметрическими уравнениями вида (12.33), решается утвердительно, например, следующим образом. Пусть x(t), y(t), z(t) - пара­

метрические уравнения L. Тогда и и v как функции параметра t могут быть

определены из уравнений x(t) = х(u, и), ylt) = у(u, и), z(t) = z(u, и). Ре­

440 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12

Перейдем теперь к измерениям углов на поверхности. Пусть поверхность Ф задана посредством векторной функ­

ции т = т(и, v).

Н а п р а в л е н и е du: dv на поверхности Ф в ее точке Р

определяется как направление вектора dT = Tudu + Tvdv в этой

точке 1).

Рассмотрим в точке Р два направления du : dv и ди : ISv. Угол

'Р между этими направлениями определяется по известной из

аналитической геометрии формуле для косинуса угла 'Р между

векторами dT = Tudu + Tvdv и дт = тuди + TvISV:

(dr·Jr) cos (n = -----;,=---;===

r VJТ2V1Т2

Из этой формулы, учитывая соотношения (12.31), получаем для

cos 'Р следующее выражение:

EduJu + F(duJv + dvJu) + GdvJv

COS'P = yfEdu 2 + 2Fdudv + Gdv2yfЕЙu2 + 2Рйuйи+ GJv 2 (12.36)

Угол между кривыми L 1 и L 2 на поверхности Ф, пересекающи­ мися в точке Р, определяется как угол между направлениями

касательных к L 1 и L 2 в точке Р. Отметим, что если кривая на

поверхности определяется параметрическими уравнениями и =

= u(t), v = v(t), то направление du : dv в точке этой кривой

определяется вектором

dT = Tudu + Tvdv = (тuи' + Tvv')dt.

Итак, зная первую квадратичную форму, можно с помощью

(12.36) вычислять углы между направлениями на поверхности.

Вопрос об измерении площадей областей на поверхности был подробно рассмотрен нами в гл. 5.

Напомним, что если область П на поверхности определяется

посредством задания параметров и и v в области s1 их измене­

ния, то площадь (J" области П может быть вычислена по формуле

(J" = JJ vEG - р2 du dv.

!1

(см. формулу (5.18)).

Таким образом, зная первую квадратичную форму, можно измерять площади областей на поверхности.

Все факты, которые могут быть получены путем измерений на поверхности с помощью первой квадратичной формы отно­

сятся к так называемой B1-tуmреН/I-tеu геометрии nоверхностеЙ.

Две различные поверхности могут иметь одну и ту же внут­ реннюю геометрию. Простейшим примером таких поверхностей

1) Очевидно, этот вектор расположен в касательной плоскости в точке Р.