Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Г л А В А 12

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

В этой главе будут изложены важные для приложений све­

дения о кривых и поверхностях.

§1. Векторные функции

1.Понятие векторной функции 1) . Введем понятие век­

торной функции т переменных.

Если 1И;JfCдо'Й то'Ч'Ке М из MHO;JfCeCmBa {М} то'Че'К т-мер­

'Ного ев'Клидова nростра'Нства Ет ставитс,я в соответствие

по извест'Ному за'Ко'Ну 'Не'Которы'Й ве'Ктор r 2), то говор,ят,

'Что 'На MHO;JfCeCmBe {М} зада'На ве'Ктор'На,я фу'Н'Кци,я r = r (М). При этом множество {М} называется о б л а с т ь юза Д а н и я функции r = т(М). Если р = т, то, как и в случае т = 2 или т = 3 (см. п. 1 § 2 гл. 6), говорят, что на множестве {М} задано векторное поле, определяемое векторной функцией т(М).

Вектор т(М), соответствующий данной точке М из множе­

ч е н и й этой функции.

Если {М} - множество точек на данной прямой и {и} - мно­

жество координат этих точек, то векторная функция т(М) мо­

жет, очевидно, рассматриваться как векторная функция одной

скалярной переменной и:

r = r(и).

Если же {М} - множество точек т-мерного пространства и

(иl, И2, ... , иm) -координаты точки М, то т(М) представляет

собой векторную функцию скалярных аргументов Иl, И2, ... , иm: r = r(Иl' И2, ... , иm)·

1) Некоторые сведения о векторных функциях были даны в п. 6 § 1 ГЛ. 5

вып. 1 ЭТОГО курса.

2) Вектор r принадлежит, вообще говоря, р-мерному евклидову простран­

ству ЕР, поэтому определяется р координатами Тl, Т2, ... , rр.

§ 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 423

точку А, быть может, и не принадлежащую множеству {М},

но обладающую тем свойством, что в любой окрестности этой

точки содержится хотя бы одна точка множества {М}, отличная

от А.

Оnределе'Н,ие 1. Вектор Ь называетс-я ПР е д е л ь Н ы м

ствующа-я последовательность т(М1), т(М2), ... , Т(Мn), ...

зна'Чениi1 функции т(М) сходитс-я к вектору ь.

Для обозначения предельного значения Ь функции r = т(М)

в точке А используется следующая символика:

где аl, а2, ... ,ат -координаты точки А.

Мы не будем приводить определения предельного значения векторной функции на языке «~Е - д», не будем приводить его и для случая, когда точка М стремится к бесконечности. Эти

определения формулируются в полной аналогии с соответст­ вующими определениями для скалярных функций.

Пусть точка А принадлежит к области задания векторной

функции r = r (М) и любая окрестность этой точки содержит

отличные от А точки области задания функции.

Оnределе'Н,ие 2. Векторна-я функци-я r = т(М) называетс-я

н е пр ер Ъ! в н О i1 в то'Чке А, если предельное зна'Чение этоi1 ФУНК­

ции в то'Чке А существует и равно 'Частному зна'Чению т(А). Векторная функция r = т(М) называется непрерывной на множестве {М}, если она непрерывна в каждой точке этого мно­

жества.

3. Производная векторной функции. В § 1 гл. 5 вып. 1 этого курса говорилось о производной векторной функции одной скалярной переменной. Для удобства еще раз сформулируем это

понятие.

Пусть r = т(и) -векторная функция скалярной переменной

и. Зафиксируем значение и аргумента и придадим аргументу и такое произвольное приращение 6.и i- О, что величина и + 6.и принадлежит области задания функции. Рассмотрим вектор

6.т = т(и + 6.и) - т(и).

1) Это требование объясняется, в частности, тем, что функция Т(М) мо­

жет быть не определена в точке А.

424 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12

На рис. 12.1 этот вектор совпадает с вектором МР. Умножив

вектор tlr на число 1/tlu, мы получим новый вектор

коллинеарный прежнему. Вектор (12.1) представляет собой сред­ нюю скорость изменения векторной функции на сегменте [и, и+

+ tlu].

ной функции с производными ее координат. Для простоты

ограничимся случаем, когда значения т(и) векторной функции

представляют собой векторы трехмерного пространства. Пусть

{х(и), у(и), z(u)} -координаты векторной функции т(и). Оче­ видно, координаты разностного отношения (12.1) равны

Согласно замечанию п. 2 этого параГPrафа, координаты про­

изводной т'(и) равны производным х (и), у'(и), z' (и) коорди­

нат функции r (и). Поэтому вычисление производной векторной

функции сводится к вычислению производных ее координат.

3 а м е ч а н и е 1. Векторная функция r (и) представляет со­

бой закон движения материальной точки по годографу L этой функции, если при этом переменную и рассматривать как вре­

мя. Поэтому производная r (и) равна скорости движения точки

по кривой L.

3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что правила дифференцирова­

ния различных произведений векторных функций (скалярного, векторного, смешанного) идентичны правилам дифференциро­

вания произведений обычных функций. Это вытекает из того,

что координаты производной векторной функции равны произ­

водным координат самой функции и из выражения указанных

произведений через координаты сомножителей.

1) Эти соображения подтверждаются утверждением в п. 2 § 2 этой главы.

426 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12

(или Тuu)' Аналогично определяются другие частные производ­

ные различных порядков.

Геометрический смысл производной по направлению выяс­ няется из следующих рассуждений. Годографом векторной функ­

ции r = т(и, v) будет, вообще говоря, поверхность S (рис. 12.3). Когда точка М(и, v) перемещается по оси [, то конец Р векто­ ра т(и, v) описывает на поверхности S линию L, которая может

рассматриваться как годограф векторной функции одной пере-

менной [. Поэтому производная ~~ по направлению 1 представ­

ляет собой вектор, касательный к L в точке Ро.

Если направление 1 совпадает с направлением координатной оси и, то при перемещении точки М по соответствующей оси,

проходящей через Мо , конец вектора т(и, v) описывает

на поверхности S линию, называемую nоординатной линией и

(на рис. 12.3 обозначена штриховой линией). Таким образом,

Рис. 12.3

дт

частная производная ди представляет собой вектор, касатель-

ляет собой вектор, касательный к координатной линии v.

4. Дифференцируемость векторной функции. Будем

называть приращением (или полным прираще­ н и е м) векторной функции r = т(и, v) в точке М(и, v) (со­ ответствующим приращениям 6.и и 6.v аргументов) следующее

выражение:

6.т = т(и + 6.и, v + 6.v) - т(и, v).

этой то'Ч,nе может быть представлено в виде

428 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12

в точке М(u, v) и с остаточным членом в форме Пеано имеет

следующий вид:

г(u + flu, v + flv) = г(u, v) + дT~и~ v) flu + дT~и~ v) flv +

где остаточный член Rn(flu, flv) представляет собой вектор, по­

рядок малости которого выше чем рn (р = J flu 2 + flv2 1).

в справедливости формулы (12.4) можно убедиться, пред­ ставляя каждую из координат вектора г(u, v) по формуле Тей­

лора с остаточным членом в форме Пеано и записывая затем

выражение для г(u + flu, v + flv) с помощью разложения по базисным векторам (коэффициентами разложения и будут ко­ ординаты этого вектора).

6. Интегралы от векторных функций. Мы уже отмеча­ ли, что векторная функция определяется своими координатами, которые представляют собой скалярные функции. Это позволя­ ет перенести на случай векторных функций операцию интегри­

рования.

Пусть, например, векторная функция г(u) задана на сегмен­ те [а, Ь], и пусть ее координаты Т1 (и), Т2 (и), Тз (и) представля­ ют собой интегрируемые на сегменте [а, Ь] функции. Если е1,

е2, ез - базисные векторы, то естественно положить по опреде­

лению

Отметим, что интеграл для функции г(u) может быть определен

и непосредственно, как предел интегральных сумм для функ­

ции г(u).

В полной аналогии с рассмотренным случаем могут быть введены и кратные интегралы от векторных функций. Заметим,

что основные формулы и правила интегрирования скалярных функций могут быть перенесены на случай интегралов от век­ торных функций.

1) Порядок малости вектора определяется как порядок малости его мо­

дуля.

§2. Некоторые сведения из теории кривых

1.Регулярные кривые. В § 1 гл. 11 вып. 1 этого курса го­ ворилось о понятии кривой И О способах ее задания. Одним из

способов задания кривой был указан параметрический способ,

заключающийся в том, что координаты переменной точки кри­

вой задаются как функции скалярной переменной - параметра.

Считая эти координаты координатами вектора, ведущего из на­ чала координат в точку кривой, мы получим векторную функ­ цию, годографом которой является данная кривая. Таким обра­ зом, мы можем задавать кривую при помощи векторной функ­

ции одной скалярной переменной, и этот способ равнозначен па­ раметрическому способу задания кривой.

Пусть кривая L задается посредством векторной функции r =

=r(t) 1). Допустим, что параметр t с помощью соотношения t =

=f (и), где f (и) - строго возрастающая и непрерывная функция,

заменяется другим параметром и. При этом функция r = r(t) превращается в новую функцию r = ти(и)) параметра и.

Таким образом, можно получить различные параметризации од­

ной и той же кривой.

Будем называть кривую L р е г у л я р н о й (k раз диффе­ ренцируемой) без особых точек, если эта кривая допускает та­

кую параметризацию с помощью параметра t, что векторная

функция r = r(t) для некоторого целого k ~ 1 k раз дифферен­ цируема и r'(t) # о для всех значений параметра t. При k = 1

кривая называется г л а Д к о й.

в этой главе мы будем рассматривать регулярные кривые без особых точек и те параметризации этих кривых, для кото­

рых r'(t) # о.

2. Касательная к кривой. Пусть L - кривая и Р - фикси­

рованная точка на ней (рис. 12.5). Проведем хорду РМ кривой.

Прямая PQ, к которой стремится хорда РМ 2) при М -+ Р,

называется к а с а т е л ь н о й к L в точке Р.

Справедливо следующее утверждение.

Глад'Кая 'Кривая L без особых то'Ч,е'К имеет в 'Каждоu то'Ч,'Ке Р

'Касательную.

Докажем, что касательной будет прямая PQ, проходящая че­

рез точку Р параллельно вектору r'(t) (напомним, что r'(t) # о).

в самом деле, вектор ~: параллелен хорде РМ (см. рис. 12.5) и

при Д. -+ о стремится к r'(t). Отсюда вытекает, что угол между

1) Векторная функция r = r(t) называется обычно р а Д и у с о м-в е к­

то р о м кривой L.

2) Будем говорить, что прямая РМ стремится к прямой PQ при М --+ Р,

если угол между этими прямыми стремится к нулю.