Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 4 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 411

и (11.48), а это и означает, что оператор А*, определяемый ра­ венством (11.46), является сопряженным к оператору А, опре­ деляемому равенством (11.40).

Из соотношений (11.40) и (11.46) следует, что интегральный оператор А, определяемый равенством (11.40), является само­

удовлетворяющее указанному равенству, называется с и м м е т­

р И Ч н ы м.

Докажем теперь следующее утверждение.

Теорема 11.11. Норма 11 А11 линеuного непрерывного само­

СОnРЯ;JfCеЮiOго оператора А представляет собоu то'Чную верх­

нюю грань вели'чиныl 1 (Ах, х) 1 на MHO;JfCeCmee всех элементов х

пространства Н, имеющих равную единице норму, т. е. норма А определяется равенством

щую в правой части (11.49) (существование указанной точной

верхней грани не вызывает сомнений). Чтобы доказать, что р, = = IIAII, достаточно доказать два неравенства р, :::;; IIAII и р, ~ IIAII·

Первое из этих неравенств сразу вытекает из того, что на

основании определения нормы оператора инеравенства Коши­

Буняковского для всех элементов х пространства Н, дЛЯ кото-

рых Ilxll = 1,

I(Ax, x)1 :::;; IIAxll·llxll= IIAxl1 :::;; IIAII·

Остается доказать неравенство р, ~ IIAII. Так как оператор А

является линейным, то для каждого элемента х пространства Н

справедливо неравенство 1)

Далее из аксиом скалярного произведения и из самосопряженно­

сти линейного оператора А (т. е. из равенства (Ах, у) = (х, Ау))

вытекает, что для любых элементов х и у пространства Н спра­

ведливо равенство

4(Ах, у) = (А(х + у), х + у) - (А(х - у), х - у).

Из этого равенства и из (11.50) вытекает, что

41(Ах, y)1 :::;; р,. Ilx + Yl12 + Р, Ilx _ Yl12 = 2p,(llxI1 2+ IIYI12).

1) Ибо для каждого элемента Ха = W1 .Х, имеющего норму, равную еди-

нице, справедливо неравенство I(Axa, xa)1 ~ JL.

412 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ГЛ. 11

Из последнего неравенства следует, что для произвольных

элементов х и У пространства Н, дЛЯ которых Ilxll = Ilyll = 1,

Тем самым IIAII ~ р,. Теорема доказана.

3. Понятие вполне непрерывного оператора.

Оnреде.ле1-tuе. Действующий из Н в Н оператор А 'НлзЪt­

ваетсл в n о л н е н е пр ер ъt в н ъt м, если он отображает 1ИЖ­

дое ограни'Ченное (по норме) множество элементов Н в 1\;ОМ­

nа1\;тное множество.

Иными словами, оператор А называется вполне непрерыв­

ным, если для любой последовательности {хn} элементов Н та­

Напомним, что линейный оператор А является непрерывным

тогда и только тогда, когда он является ограниченным, т. е.

тогда и только тогда, когда он всякое ограниченное (по нор­ ме Н) множество отображает снова в ограниченное. Поскольку

компактное множество является ограниченным 1), то всякий

вполне непрерывный оператор является непрерывным. К этому

следует добавить, что не всякий непрерывный линейный опера­

тор является вполне непрерывным. Например, тождественный оператор Е вида Ех = х является непрерывным, но не являет­

ся вполне непрерывным: достаточно рассмотреть отображение

ограниченного множества, не являющегося компактным.

Докажем следующую лемму.

Ле,м,,м,а. Пусть А - действующий из Н в Н линейнЪtЙ впол­ не неnреръtвныlй оператор. Пусть далее {хn} - nроизвольнал по­

следовательность элементов Н, слабо сходлщалсл 1\; элементу ха

и та1\;ал, 'Что Ilxnll = 1 длл всех номеров n. Тогда последова­ тельность {Ахn} сходитсл 1\; элементу АХа по норме Н.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как оператор А является линей­

ным и вполне непрерывным 2), то, согласно предыдущему пунк­

ту, существует сопряженный оператор А* и для каждого эле­

мента хn И произвольного элемента У справедливо равенство

(Ахn, У) = (хn, А*у). Из этого равенства и из слабой сходимо­ сти {хn} к ха получаем, что при n 00 для любого элемента У

1)См. п. 3 § 1.

2)А стало быть, и непрерывным.

414 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ГЛ. 11

доказывающее равномерную ограниченность последовательно-

сти {yn(t)} на [а, Ь] 1).

Далее заметим, что из непрерывности и вытекающей из нее

Последнее неравенство доказывает равностепенную непре­

рывность последовательности {yn(t)} на [а, Ь] и в силу сказан­ ного выше завершает доказательство того, что оператор (11.40)

является вполне непрерывным.

4. Существование собственных значений у линейного

вполне непрерывного самосопряженного оператора.

Оnреде.ле1-tuе. Вещественное 'Число А называется с о б­ с т в е н н ы м з н а 'Ч е н и е м оператора А, если существует ненулевоu элемент х пространства Н, удовлетворяющиu усло­ вию Ах = АХ.

При этом ук;азанныu элемент х называется с о б с т в е н­

н ы м э л е м е н т о м оператора А, отве'Чающим собственно­

му зна'Чению А.

Если оператор А является линейным, то из условия, что х является собственным элементом А, отвечающим собственному значению А, вытекает, что, каково бы ни было отличное от нуля вещественное число а, элемент ах также является собственным элементом А, отвечающим собственному значению А. Поэтому все собственные элементы линейного оператора А естественно

считать н о р м и р о в а н н ы м и, т. е. удовлетворяющими усло-

вию Ilxll = 1.

Важность понятия собственных элементов заключается в том,

что действие на них оператора сводится к умножению на неко­

торую постоянную А.

1) Достаточно заметить, что ядро K(t, s) непрерывно на квадрате [а ::;;

::;; t ::;; Ь] х [а::;; s ::;; Ь].

мы перенумеруем заново, т. е. снова обозначим ее через {хn}. Итак, {хn} слабо сходится к элементу ха пространства Н. Но тогда (в силу леммы из предыдущего пункта) последователь­ ность {Ахn} сходится к АХа по норме Н.

Так как оператор А является самосопряженным, то спра­

ведливо равенство (Ахn, ха) = (хn, Аха), из которого вытекает

соотношение

(11.55)

Применяя неравенство Коши-Буняковского, получим из (11.55)

Коши-Буняковского для любого элемента У справедливо нера­

к Ха, получим, что I(xa, У) ~ Ilyll (для любого элемента у). Из последнего неравенства при У = ха получим, что Ilxall ~ 1. Что­ бы доказать, что Ilxall = 1, достаточно убедиться в том, что

предположение о выполнении неравенства О < Ilxall < 1 ведет к

собственному значению А.

Пользуясь определением нормы элемента, аксиомами ска­

лярного произведения, равенством (11.57) и определением нор­

мы оператора, будем иметь

IIAxa - Axal12 = (Аха - АХа, АХа - Аха) =

= IIAxal12 - 2А(Аха, ха) + A211xal12 = IIAI12- А2 .

§ 4 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 417

В силу теоремы 11.11 правая (а стало быть, и левая) часть по­

следнего соотношения равна нулю. Но это и означает, что АХа =

= АХа, т. е. означает, что Ха является собственным элементом

оператора А, отвечающим собственному значению А.

В случае IMI ~ Iml рассуждения аналогичны, но А следует

положить равным т.

Нам еще остается доказать, что если существуют другие соб­ ственные значения, то собственное значение А, удовлетворяющее

условию IAI = IIAII, является наибольшим среди них по модулю.

Пусть А1 - какое-либо другое собственное значение и Х1 - отве­

чающий ему нормированный собственный элемент. Тогда АХ1 = = А1Х1 и, стало быть, (АХ1, Х1) = А1. Но при этом из соотноше­

ния 1)

IAI = sup I(Ax, x)1

Ilxll=l

хЕН

сразу же вытекает, что IAI :? IA11. Теорема полностью доказана.

С помощью доказанной теоремы рассмотрим так называемое

из которого при заданном ядре K(t, s) определяется отличная от тождественного нуля функция x(t) и те значения числового

параметра М, при которых такая функция существует. Те значе­

ния числового параметра М, для которых существуют неравные

тождественному нулю решения x(t) интегрального уравнения (11.58), называются с о б с т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и этого

уравнения. При этом каждое отвечающее данному собственно­

му значению ненулевое решение уравнения (11.58) называется

собственной функцией этого уравнения.

Величины, обратные собственным значениям интегрального

уравнения (11.58), принято называть характеристичес­

кими числами этого уравнения.

Очевидно, если ввести в рассмотрение интегральный опера­

тор А, определяемый равенством (11.40), то собственные значе­

ния этого оператора А являются характеристическими числами

интегрального уравнения (11.58), а отвечающие этим собствен­

ным значениям собственные элементы оператора А являются

собственными функциями интегрального уравнения (11.58).

В пп. 1-3 доказано, что если ядро K(t, s) непрерывно в ква­ драте [а ~ t ~ Ь] х [а ~ s ~ Ь] и симметрично, то оператор (11.40)

является линейным самосопряженным и вполне непрерывным.

1) Это соотношение вытекает из (11.54) и из того, что л = м при IMI > Iml

и л = mпри IMI ~ Iml.

14 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

По теореме 11.12 интегральное уравнение (11.58) с таким ядром K(t, s) имеет хотя бы одно характеристическое число.

Чтобы указанное интегральное уравнение имело хотя бы одно с о б с т в е н н о е з н а ч е н и е, следует потребовать, чтобы оно имело хотя бы одно о т л и ч н о е о т н у л я характеристичес­ кое число, для чего к требованиям непрерывности и симметрич­

ности ядра К(t, s) следует присоединить условие необращения

ядра К(t, s) в тождественный нуль 1).

Итак, мы приходим к следующему фундаментальному у т в е р­ ж Д е н ию: если ,ядро К(t, s) интегралъного уравнени,я Фред-

голъма второго рода (11.58) непрерывно в 'Квадрате [а ~ t ~ Ь] х

х [а ~ s ~ Ь], симметри"lНО и не равно mOJlCaeCmBeHHO нулю, то

это уравнение имеет хот,я бы одно собственное зна"lение.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы доказать, что сформули­ рованное утверждение справедливо и при замене требования

непрерывности ядра K(t, s) на квадрате [а ~ t ~ Ь] х [а ~ s ~ Ь]

более слабым требованием существования конечного интеграла

ь ь

JJK(t, s) dtds.

аа

(Достаточно убедиться, что при выполнении этого более сла­ бого требования интегральный оператор (11.40), действующий

из L 2 [a, Ь] в L 2 [a, Ь], продолжает оставаться вполне непрерыв­

ным).

5. Основные свойства собственных значений и соб­ ственных элементов линейного вполне непрерывного са­

мосопряженного оператора. В заключение выясним основ­

ные свойства собственных значений и собственных элементов

произвольного действующего из Н в Н линейного вполне непре­

рывного самосопряженного оператора.

1о. Собственные элементы Х1 и Х2, отве"lающие двум р а 3- л и "l Н Ъ! М собственным зна"lени,ям ).1 и ).2, ортогоналъны.

1) Условие необращения непрерывного ядра K(t, В) в тождественный нуль

является необходимым н достаточным условием с),ществования у интег­

рального оператора А, определяемого равенством ll1.40), н е н у л е в ы х

собственных значений. В самом деле, в силу теоремы 11.12 IIAII = л, где л­ наибольшее по модулю собственное значение оператора А, так что доста­ точно доказать, что IIAII = о тогда и только тогда, когда K(t, В) не равно

тождественно нулю. Если K(t, В) == О, ТО ЯСНО, что IIAII = О. Если же, нао­

борот, IIAII = о, то оператор А, определяемый равенством (11.40), отобра­

жает в нулевой элемент все ненулевые элементы пространства L 2 [a, Ь] и, в

частности, отображает в тождественный нуль все элементы {xn(t)} какой­

либо п о л н о й ортонормированной системы в L 2 [a, Ь]. Но это и означает

что K(t, В) == О.