Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

дится 1) и так как (в силу аксиом скалярного произведения и

ортонормированности системы {фn}) при любом m ? n

то последовательность {Вn} является фундаментальной.

Но тогда в силу полноты пространства Н найдется элемент

этого пространства \[10 такой, что

что элементы \[1 и \[10 имеют одинаковые коэффициенты Фу-

рье 2). Фиксируем произвольный номер k. При любом n ? k в

силу ортонормированности системы {фn} и аксиом скалярного

произведения

(11.32)

с другой стороны, так как на основании неравенства Коши­

Буняковского

1(Вn, Фk) - (\[10, Фk) 1= 1(Вn - \[10, Фk) 1:::;;

С.ледсmвuе. В гилъбертовом nрострш/-tстве Н nол'l-tота

орто'l-tормирова'l-t'l-tоu системы эк:вивале'l-tт'l-tа ее замк:'l-tутости.

3 а м е ч а н и е. Для неполного евклидова пространства тео­ рема 11.9, вообще говоря, несправедлива.

1)Сходимость этого ряда вытекает, например, из неравенства Бесселя (см.

теорему 10.10).

2)В самом деле, совпадение всех коэффициентов Фурье элементов \Ii и \liа

означало бы, что элемент \Ii - \liа ортогонален ко всем Фn И, стало быть, в силу полноты системы Фn является н у л е в ы м.

Этот факт мы продемонстрируем следующим примером 1).

Рассмотрим евклидово пространство СО всех н е п р еры в­

Н ы х на сегменте [-п, п] функций f(x) со скалярным произве­

дением, определяемым равенством

1г

(f, g) = J f(x)g(x) dx.

-1Г

Конечно, это пространство не является полным 2) (а стало быть,

и гильбертовым). Построим в этом пространстве полную орто­

нормированную систему элементов, не являющуюся замкнутой.

Процесс построения этой системы проведем в два шага.

1о. Сначала докажем, что в гильбертовом пространстве

L 2[-п, п] существует полная ортонормированная система <Ро, <Pl,

проверить, что функция Фо(х) ортогональна на сегменте [-п, п] каждой из функций фn(х) (при всех n = 1, 2, ... ).

Убедимся в том, что система {фn(х)} (n = О, 1,2, ... ) хотя

и не является ортонормированной в L2 [-п, п] системой, тем не

менее является полной в том смысле, что любой элемент f (х)

1)Этот пример нам сообщил Ш. А. Алимов.

2)Достаточно фиксировать какую-либо кусочно-непрерывную (но не

строго непрерывную) на сегменте [-1Г, 1Г] функцию /о(х) И заметить, что (в силу следствия 2 из п. 3 § 3 гл. 10) последовательность частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции /о(х) сходится к этой функции

по норме L 2[-Jr, 1Г]. На основании полноты пространства L 2[-Jr, 1Г] указан­

ная последовательность частичных сумм является фундаментальной. Хотя каждый элемент указанной последовательности представляет собой непре­

рывную на сегменте [-1Г,1Г] функцию, предел ее в L 2[-Jr, 1Г]-функция /0 (х) - не принадлежит са.

§ 4 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 407

элемент этого пространства у, то говорят, что в Н определен

о пер а т о р А, действующий из Н в Н, и пишут, что у = Ах. Оnределе'Н,ие 1. Оператор А назыается.я л и н е й н ъl м, если для люБых элементов х и у пространства Н и для люБых

вещественныlx 'Чисел а и {З справедливо равенство

А(ах + {Зу) = а . Ах + {З . Ау.

Как и для случая функционала, мы (там, где это удобно)

ментов Н, сходящейся по норме Н к элементу Ха, соответ­

ствующая последовательность {Ахn} сходится по норме Н к

элементу Аха.

Оnределе'Н,ие 3. Оператор А назыается.я н е пр ер ъl в­ н ъl м, если он Henpepыен'J-l в каждой то'Чке х пространства Н.

Оnределе'Н,ие 4. произвольныi1 действующий из Н в Н опе­ ратор А назыается.я о г р а н и 'Ч е н н ъl м, если существует по­

стоянная С такая, 'Что для всех элементов х пространства Н

справедливо неравенство IIAxl1 ::;; с Ilxll.

Сформулированные нами определения 1-4 полностью ана­

логичны соответствующим определениям 1-4 для функционала,

сформулированным в п. 2 § 1 этой главы.

Эта аналогия позволяет нам привести без доказательства следующее утверждение: действующий из Н в Н линейныi1 опе­ ратор А является HenpepыHъlM.м тогда и только тогда, когда

он является ограни'ченны•.

Доказательство этого утверждения абсолютно идентично до­

казательству теоремы 11.1.

Для линейного непрерывного оператора А (так же, как для линейного непрерывного функционала) вводится понятие

н о р м ы.

Оnределе'Н,ие 5. Н о р м о й линейного неnрерыlногоo опера­

(что то же самое) то'Чная верхняя грань вели'чины IIAxl1 на мно­ жестве всех элементов х пространства Н, норма Ilxll Koтopыx равна единице).

Норму линейного непрерывного оператора А будем обозна­

чать символом IIAII. Итак, по определению

Ilxll=l

хЕН

положим, что нам задана некоторая функция двух переменных

K(t, s), определенная и непрерывная в квадрате [а ~ t ~ Ь] х х [а ~ s ~ Ь]. Докажем, что интегральный оператор А, опреде­

ляемый на элементах x(t) пространства L2 [a ~ t ~ Ь] равенством

а

является линейным и непрерывным. Линейность этого операто­

ра непосредственно вытекает из линейного свойства интеграла.

Для доказательства непрерывности оператора (11.40) доста­

точно доказать его ограниченность, для чего достаточно устано­

вить конечность его нормы (11.39). Обозначим через М число

Проинтегрировав последнее неравенство по t в пределах от а до

Ь и воспользовавшись обозначением (11.41), будем иметь

IIAxl1 ~ м Ilxll·

Но это и означает ограниченность оператора А и справедливость

для его нормы неравенства IIAII ~ М. Отметим, что для некото­ рых интегральных операторов (11.40) IIAII в точности равна М.

2. Понятие сопряженного оператора. Введем теперь

важное понятие с о п р я ж е н н о г о оператора.

Предположим, что в гильбертовом пространстве Н задан

произвольный действующий из Н в Н линейный непрерывный

оператор А.

Фиксируем произвольный элемент у пространства Н и рас­

смотрим (определенный на всех элементах х пространства Н) функционал f(x) = fy(x) = (Ах, у). Очевидно, что этот функ­

ционал является линейным и непрерывным. По теореме Рисса об общем виде линейного функционала найдется единственный элемент h = hy пространства Н такой, что для всех элементов х

пространства Н справедливо равенство ЛХ) = (х, h).

§ 4 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 409

Стало быть, каждому элементу У пространства Н мы поста­

вили в соответствие один и только один элемент этого простран­

ства h такой, что fy(x) = (х, h), т. е. мы определили в Н некото­

рый оператор А* такой, что h = А*у. Указанный оператор А* и

называют о пер а т о р о м, с о п р я ж е н н ы м к о пер а т 0-

ру А.

Иными словами, мы приходим к следующему определению.

Оnределенuе 1. Оператор А* называется с о пр я ж е н­ н ы м 1\; действующему из Н в Н оператору А, если для любых элементов х и У пространства Н справедливо равенство

Из приведенных нами рассуждений следует, что для каж­

дого линейного непрерывного оператора А существует и притом только один сопряженный оператор А*.

Непосредственно из определения 1 вытекает, что если для

оператора А* существует сопряженный оператор (А*) *, то спра­ ведливо равенство (А*)* = А.

Мы сейчас убедимся в том, что для случая, когда оператор А является линейным и непрерывным, оператор А* также являет­

ся линейным и непрерывным (а поэтому для А* существует со­ пряженный оператор и справедливо равенство (А*)* = А, позво­

ляющее называть операторы А и А* в з а и м н о с о п р я ж е н­

н ы М и).

Теорема 11.10. Оператор А*, сопряжеННЫЙ1\; линейному непрерывному оператору А, та1\;же является линейным и не­ прерывным, nри'Ч,ем нормы операторов А* и А связаны соотно-

шением

д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность оператора А* сразу вы­

текает из соотношений (11.42) и из аксиом скалярного произ­

ведения. Остается доказать ограниченность оператора А* и ра­

венство (11.43). В силу равенства (11.42), соотношения IIAyl1 ::;; ::;; IIAllllyl1 1) инеравенства Коши-Буняковского для любых эле­

ментов х и У пространства Н справедливо неравенство

I(A*x, y)1 = I(x, Ay)1 ::;; Ilxll·IIAyl1 ::;; IIAII . Ilxll . Ilyll·

Взяв в этом неравенстве в качестве У элемент А*х, мы полу­

чим, что для л ю б о г о элемента х пространства Н справед­

ливо неравенство

IIA*xI12 = (А*х, А*х) ::;; IIAII . Ilxll ·IIA*xll или IIA*xll ::;; IIAII . Ilxll·

1) Указанное соотношение, справедливое ДЛЯ любого элемента у простран­

ства Н, вытекает из определеIШЯ нормы линейного непрерывного оператора А.