Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Остается доказать, что каждую функцию Wn(X) можно при­

близить по норме L 2 (E) непрерывной функцией с любой степе­

нью точности. Напомним, что каждая функция Wn(x) прини­ мает лишь конечное число значений, т. е. имеет вид Wn(X) =

Таким образом, для завершения доказательства теоремы, достаточно построить последовательность непрерывных функ­

ций, сходящуюся в L 2(E) к функции w(x) вида

~ на множестве Ео ,

W(x) = {

вне множества Ео ,

где Ео - некоторое содержащееся в Е измеримое множество.

Для множества Ео и для любого номера n найдутся содержа­ щее Ео открытое множество СП и содержащееся в Ео замкнутое

где символ р(х, Р) обозначает расстояние от точки х до мно­

жества Р.

Очевидно, что каждая функция СРn(Х) непрерывна на Е, рав-

на единице на рn , равна нулю на рn и всюду удовлетворяет усло­

вию О ~ СРn (х) ~ 1. Отсюда для нормы разности СРn (х) - W (х)

мы получим следующую оценку:

Е~\~ n

которая завершает доказательство теоремы.

Докажем теперь следующую основную теорему.

Теорема 11.5. Для любого ограни'Ченного измеримого мно­

жества Е пространство L 2 (E) сеnарабел'Ьно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала проведем доказательство для

случая, когда множество Е представляет собой сегмент [а, Ь].

1)в силу определения измеримости множества Ео и следствия из теоремы

8.5(см. п. 2 § 2 гл. 8).

Докажем, что в этом случае в качестве счетного всюду плотного

множества в L 2 [a, Ь] можно взять множество М всех многочле­

нов с рациональными коэффициентами 1).

Согласно теореме 11.4 любую функцию лх) из L2 ([a, Ь]) мож­

но приблизить С любой степенью точности по норме L2 ([a, Ь])

непрерывной функцией. Далее, согласно теореме Вейерштрас­

са 1.18, всякую непрерывную на сегменте [а, Ь] функцию можно

равномерно на этом сегменте (а стало быть, и по норме L2 ([a, Ь]))

приблизить с любой степенью точности алгебраическим много­

членом с вещественными коэффициентами.

Наконец, очевидно, что алгебраический многочлен с веще­

ственными коэффициентами можно равномерно на [а, Ь], а стало

быть, и по норме L2 ([a, Ь]) приблизить с любой степенью точ­

ности многочленом с рациональными коэффициентами. Тем са­ мым для случая, когда множество Е представляет собой сегмент

[а, Ь] доказательство теоремы завершено.

Пусть теперь Е - произвольное ограниченное измеримое множество. Так как множество Е ограничено, то найдется сег­

мент [а, Ь], содержащий множество Е.

Пусть лх) -произвольная функция из L 2 (E). Продолжим

эту функцию на сегмент [а, Ь], положив ее равной нулю вне Е. Остается заметить, что так продолженная функция 1(х) при­

надлежит классу L2 ([a, Ь]), и поэтому, согласно доказанному

выше, может быть приближена с любой степенью точности по

норме L 2 ([a, Ь]) (и тем более по норме L 2 (E)) многочленами с

рациональными коэффициентами. Стало быть, и в этом случае многочлены с рациональными коэффициентами образуют всюду

плотное в L 2 (E) множество. Теорема полностью доказана.

3. Существование в L 2 замкнутой ортонормирован­

ной системы, состоящей из счетного числа элементов.

Для построения в L 2 замкнутой ортонормированной системы

элементов будем исходить из существования в L 2 счетного всю­

ду плотного множества элементов 11, 12, ... , 1n, ...

Мы докажем, что замкнутая ортонормированная система мо­ жет быть построена с помощью конечных линейных комбина-

ций 2) элементов всюду плотного множества 11, 12, ... , 1n, ...

Такой способ построения ортонормированной системы обыч­

но называют про Ц е с с о м о р т о г о н а л и з а Ц и и.

1) То, что такое множество М счетно, вытекает из счетности всех рацио­

нальных чисел и из счетности числа всех многочленов различной степени.

2) Говорят, что элемент Wn является линейной комбинацией элементов

/1, /2, ... , / т, если найдутся вещественные числа 001, 002, ... , ООт такие,

что ЧJn = 001/1 + 002/2 + ... + ООт /т .

Будем считать, что среди элементов Л, 12, ... , 1n, ... нет

линейно зависимых 1) элементов (иначе при последовательном

увеличении номера n мы удалили бы из совокупности {1n} каж­

дый элемент 1n, являющийся линейной комбинацией элементов

11, 12, ... , 1n-1).

Построим систему попарно ортогональных ненулевых эле­ ментов \]11, \]12, ... , \]1n, ... таких, что для любого номера n каж­ дый из элементов \]11, \]12, ... , \]1n является линейной комбина­

цией элементов 11, 12, ... , 1n и, наоборот, каждый из элементов

Ясно, что элемент \]11, определяемый соотношением (11.21), является ненулевым (ибо в противном случае для любого номера n

оказались линейно зависимыми элементы 11, 12, ... , 1n. Таким образом, при n = 1 выполнены все указанные выше

требования. Предположим теперь, что система \]11, \]12, ... , \]1n-1,

построенная с помощью соотношений (11.21), (11.22), удовлетво­

ряет всем указанным выше требованиям, и убедимся, что тогда этим требованиям удовлетворяет и построенная с помощью тех

рую линейную комбинацию элементов Л, 12, ... , 1n и, таким об­

разом, является ненулевым (иначе бы оказалась нулевым элемен­

том указанная линейная комбинация, т. е. элементы 11, 12, ...

... , 1n оказались бы линейно зависимыми).

Далее, поскольку элементы 11, 12, ... , 1n-1 линейно выра­

жаются через \]11, \]12, ... , \]1n-1 и поскольку минор стоящего в

правом нижнем углу определителя (11.22) элемента 1n равен

1) Это означает, что ни один из элементов !n совокупности {!k} не явля­

ется линейной комбинацией конечного числа других элементов этой сово­

купности.

2) На языке линейной алгебры это означает, что линейная оболочка, на-

тянутая на элементы \jJ 1, \jJ 2, ... , \jJ n, совпадает с линейной оболочкой, на-

тянутой на элементы !1, !2, ... , ! n.

394 ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО ГЛ. 11

II\]1n-111 1) и поэтому отличен от нуля, из равенства (11.22) сле­

дует, что и элемент 1n линейно выражается через \]1 1, \]12, . .. , \]1n.

Наконец, из (11.22) сразу вытекает, что элемент \]1n ортого­

нален каждому из элементов \]11, \]12, ... , \]1n-1. В самом деле, если k - любой из номеров 1, 2, ... , n - 1, то, умножая обе ча­

сти (11.22) скалярно на \]1k, мы получим в правой части опре­

делитель, k-й и n-й столбцы которого одинаковы. Из равенства

нулю такого определителя следует, что (\]1n, \]1k) = О для всех

ена.

Положив теперь для каждого номера n СРn = \]1n/ 11 \]1n 11, мы

получим ортонормированную систему СР1, СР2, ... , СРn, ...

Замкнутость построенной нами системы {СРn} сразу вытека­ ет из того, что каждый элемент всюду плотного множества {1n}

является линейной комбинацией конечного числа элементов си­

стемы {СРn}.

Из счетности всюду плотного множества элементов 11, 12, ...

... , 1n, . .. вытекает, что построенная нами замкнутая ортонор­

мированная система содержит 'Не более 'Че,м с'Чет'Ное число эле­

ментов. Но число элементов этой системы 'Не ,может БЪtтъ 'Х:о­

'Не'Ч'НЪt,м, ибо это означало бы, что пространство L 2 является ко­ нечномерным 2).

Тем самым мы окончательно доказали существование в L 2

замкнутой ортонормированной системы, состоящей из счетного

числа элементов.

Заметим в заключение, что замкнутую ортонормированную

стве [2, вводятся понятия слабой сходимости последовательно­

сти элементов и слабой компактности множества элементов.

1) Для того чтобы убедиться в этом, достаточно записать равенство (11.22)

для номера (n - 1) и умножить его скалярно на \)! n - l .

2) То что размерность пространства L 2 (E) равна бесконечности, сразу вы­

текает из того, что для любого наперед заданного номера n в этом простран­

если любому элементу f пространства L 2 (Е) однозначно соответствует раз-

=

ложение этого элемента в ряд 2: СП 'Рn С постоянными коэффициентами Сп,

n=1

сходящийся К элементу f по норме пространства L 2 (E).

элеме'Нту 1(х) этого nростра'Нства, если дл,я любого элеме'Нта g(x) nростра'Нства L 2 (E) справедливо соот'Ноше'Ние

ЕЕ

Так же элементарно, как и для случая l2, доказывается, что

из сходимости иn(х)} К f(x) по норме L 2 (E) вытекает слабая

сходимость {1n(х)} к f(x). Конечно, слабая сходимость элемен­

тов L 2 (E) не влечет за собой сходимости по норме L 2 (E) (приме­

ром может служить любая ортонормированная последователь­

ность элементов пространства L 2 (E)).

если из любой nри'Надлежащей м'Ножеству М nоследователъ­

'Ности элеме'Нтов {1n (х)} мож'Но выделитъ слабо сход,ящуюс,я nодnоследователъ'Ностъ.

В полной аналогии с тем, как это было сделано для простран­

ства l2, в пространстве L 2 вводится понятие линейного непре­

рывного функционала.

любых веществе'Н'Ных 'Чисел о: и (3 справедливо раве'Нство l (0:1 +

стра'Нства L 2 (E).

Как и для случая l2, легко доказать, что если линейный функционал в L 2 (E) непрерывен хотя бы в одной точке L 2 (E),

то он непрерывен всюду на L 2 (E), т. е. просто непрерывен.

об общем виде линейного непрерывного функционала и теоремы

11.3 о слабой компактности всякого ограниченного (по норме)

множества.

Мы установим глубокую связь между пространствами L 2 и [2, которая позволит нам сразу же установить справедливость для пространства L 2 только что упомянутых теорем.

Введем следующее фундаментальное понятие. Оnределе'Н,ие 6. Два nроизвольныlx евклидовыlx простран­

ства R и R' называются и з о м о р Ф н ы м и, если между эле­

ментами этих nространств можно установить взаимно од­

НОЗНШ'l1-tое соответствие так, 'Что при условии, 'Что элемен­

ты х' и у' пространства R' являются образами элементов

хи у пространства R, въшолняются следующие требования:

1) элемент х' +у' пространства R' является образом элемента

х+ у пространства R; 2) при любом вещественном А элемент АХ' пространства R' является образом элемента АХ простран­

ства R; 3) скалярные произведения (х', у') и (х, у) равны друг

другу.

В курсе линейной алгебры устанавливается, что все n-мер­ ные евклидовы пространства изоморфны между собой и изо­ морфны пространству Еn .

Главной целью настоящего пункта является установление

изоморфизма бесконечномерных евклидовых пространств L 2 (E) и [2. Но прежде всего мы докажем следующую замечательную

теорему.

Теоре,м,а 11.6 (теоре,м,а Рисса-Фишера). Пусть {<Рn} - nроизвольная ортонормированная система в L 2 (E) 1). Тогда

для любой последовательности вещественных 'Чисел (Cl' С2, ...

00

... , Сп, ... ), удовлетворяющей условию 2: Ck < 00, т. е. явля-

k=l

ющейся элементом [2 найдется и притом единственная функ­

k=l

тельность {fn} фундаментальна, так как при m ? n справедливо

1) Ни полнота, ни тем более замкнутость этой системы не предполагается.

§ 2 ПРОСТРАНСТВО L 2 399

1) и 2) сразу вытекают из свойств скалярного произведе­

ния 1) . Докажем равенство (11.28). В силу замкнутости системы

{'Pk} для каждой из функций J, g и J+g справедливы равенства

Парсеваля

k=l

Вычитая (11.29) из (11.30), получим

00

k=l

Теорема полностью доказана.

Доказанная теорема позволяет рассматривать [2 как коорди­ натную форму записи элементов пространства L 2 (Е). Эта теоре­

ма позволяет перенести на L 2 (E) все утверждения, установлен­

ные для [2, и наоборот. В частности, из теоремы 11.7 вытекают

следующие утверждения.

1О. Пространство [2 является полным.

20. Любое ограниченное по норме L 2 (E) множество, содер­ жащее бесконечное число элементов L 2 (E), является слабо ком­

пактным.

30. Для каждого линейного непрерывного функционала [(Л,

определенного на элементах J пространства L 2 (E), существует

один и только один элемент g пространства L 2 (E) такой, что

для всех элементов J пространства L 2 (E) справедливо равен­

ство [(!) = и, g), причем

С точки зрения квантовой механики теорема 11.7 являет­ ся математическим обоснованием эквивалентности «матричной механикИ» Гейзенберга и «волновой механикИ» Шредингера,

первая из которых использовала в качестве математического ап­

парата координатное пространство [2, а вторая - пространство

функций с интегрируемым квадратом L 2 .

Теорема (11.7) естественно, наводит на мысль о том, что

оба пространства [2 и L 2 являются лишь двумя различными кон-