Задача 1.3

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

Дано: m = 20 г = 0,02 кг; h = 5 м; x = 10 см = 0,1 м.
k = ?

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии, но прежде проследим за энергетическими превращениями, с которыми связан выстрел. При зарядке пистолета сжимается пружина и совершается работа в результате чего пружинаприобретает потенциальную энергию. При выстреле потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию T₂ пули, а затем при подъеме ее на высоту h превращается в потенциальную энергию пули. Если пренебречь потерями энергии в этой «цепочке» энергетических превращений, то на основе закона сохранения энергии можно записать:

. (1.3)

Найдем работу . Сила F₁, сжимающая пружину, является переменной: в каждый момент она по направлению противоположна силе упругости F и численно равна ей. Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации, определяется по закону Гука:

F = kx,

где х – абсолютная деформация пружины.

Работу переменной силы вычислим как сумму элементарных работ. Элементарная работа при сжатии пружины на dx выразится формулой

.

Интегрируя в пределах от 0 до х, получим

. (1.4)

Потенциальная энергия пули на высоте h определится по формуле

, (1.5)

где g – ускорение свободного падения.

Подставив в (1.3) выражение из (1.4) и из (1.5), найдем

,

откуда

. (1.6)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (1.6) вместо величин подставим их единицы:

Убедившись, что полученная единица Н/м является единицей жесткости, подставим в формулу (1.6) значения величин и произведем вычисления:

Задача 1.4

Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу 80 г (рис. 1.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 100 и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Дано: m = 80 г = 0,08 кг; m1 = 100 г = 0,1 кг; m2 = 200 г = 0,2 кг.	Рис. 1.2
а = ?

Решение

Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Спроектируем эти силы на осьХ, которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения (2-й закон Ньютона):

. (1.7)

Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:

(1.8)

Под действием двух моментов сил иотносительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

(1.9)

где – момент инерции блока (сплошного диска) относительно осиz.

Согласно 3-му закону Ньютона, с учетом невесомости нити

.

Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (1.9) вместо ивыраженияТ₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1.7) и (1.8):

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

(1.10)

Формула (1.10) позволяет массы выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (1.10) получим