Решение

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1.20) и (1.21). Заметив, что

,

применим формулу косинуса половинного угла:

Используя это соотношение, можно написать

; (1.22)

, (1.23)

откуда

или . (1.24)

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси ОХ. Как показывают уравнения (1.20) и (1.21), амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси ОY – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2.

Для построения траектории найдем по уравнению (1.22) значения y, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию х1:

x			х
-1	0		0	1,41
-0,75	0,71		0,5	1,73
-0,5	1		1	2

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд АВСD (рис. 1.4). Из уравнений (1.20) и (1.21) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Т_х = 2 с, а по вертикальной оси Т_у = 4 с. Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси ОХ, она совершит только половину полного колебания по оси ОY.

В начальный момент (при t = 0) имеем: х = 1; y = 2. Точка находится в положении А. При t = 1 с получим: х = –1; y = 0. Материальная точка находится в вершине параболы. При t = 2 с получим: х = 1; y = –2. Материальная точка находится в положении D. После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Задача 1.10

Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях 12 м 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз 0,75 . Найти длину волны, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент времени 1,2 с, если амплитуда колебаний – 0,1 м.

Дано:  = 20 м/c; х1 = 12 м; х2 = 15 м;  = 0,75 ; A = 0,1 м; t = 1,2 с.
 = ?

Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны , колеблются с разностью фаз, равной 2; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии х, колеблются с разностью фаз, равной

Решая это равенство относительно , получаем

. (1.25)

Подставив числовое значение величин, входящих в выражение (1.25), и выполнив арифметические действия, получим

Чтобы написать уравнение плоской волны, надо еще найти циклическую частоту . Так как

 = 2/Т,

где Т = /υ – период колебаний, то

.

Произведем вычисления:

Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту  и скорость υ распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

(1.26)

где А = 0,1 м;  = 20 м/с.

Чтобы найти смещение указанных точек, достаточно в уравнение (1.26) подставить значения t и х: