Волновые свойства частиц

Длина волны де Бройля:

где р – импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т

где m₀ – масса покоя частицы;

m – релятивистская масса;

– скорость частицы;

с – скорость света в вакууме;

E₀ – энергия покоя частицы, Е₀ = m₀c².

Соотношение неопределенностей:

для координаты и импульса

,

где p_x – неопределенность проекции импульса на ось х;

х – неопределенность координаты$

для энергии и времени

,

где Е – неопределенность энергии;

t – время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Боровская теория водородоподобного атома

Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

,

где m – масса электрона;

υ_n – скорость электрона на n-й орбите;

r_n – радиус n-й стационарной орбиты;

ħ – постоянная Планка;

n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, …).

Радиус n-й стационарной орбиты

где а₀ – первый боровский радиус.

Энергия электрона в атоме водорода

где Е_i – энергия ионизации атома водорода.

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода:

где n₁ и n₂ – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число

где  – длина волны излучения или поглощения атомом;

R – постоянная Ридберга.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

где  – волновая функция, описывающая состояние частицы;

Е – полная энергия;

П = П(х) – потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

где d(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂

Решение уравнения Шредингера для одномерного бесконечно глубокого прямоугольного потенциального ящика:

собственная нормированная волновая функция

;

собственное значение энергии

,

где n – квантовое число, n = 1, 2, 3,…;

l – ширина ящика.

В области .

Атомное ядро. Радиоактивность

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

где Z – зарядовое число (число протонов);

N – число нейтронов.

Закон радиоактивного распада

где dN – число ядер, не распадающихся за интервал времени dt;

N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t;

N₀ – число ядер в начальный момент (t = 0);

 – постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t:

.

В случае, если интервал времени, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада Т_1/2 , число распавшихся ядер можно определить по формуле

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

Среднее время жизни  радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число распавшихся ядер уменьшается в e раз:

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где m – масса изотопа;

 – молярная масса;

N_A – постоянная Авогадро.

Активность А радиоактивного изотопа

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt;

А₀ – активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа

 = A/m.

Дефект массы ядра

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре);

M – массовое число;

(А - Z) – число нейтронов в ядре;

m_P – масса протона;

m_n – масса нейтрона;

m – масса ядра.

Энергия связи ядра

где m – дефект массы ядра;

с – скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна

Е_св = 931 m ,

где дефект массы m – в а. е. м.;

931 – коэффициент пропорциональности (1 а. е. м.  931 МэВ).