9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема

Если бы не было уравнений движения, то указанные числа подобия так же, как и числа подобия любых физических явлений можно получить из теории размерности.

Размерность данной физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные. В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. В международной системе единиц основными являются: длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила электрического тока - ампер, термодинамическая температура - градус Кельвина и сила света - свеча.

Размерность остальных физических величин, так называемых производных единиц, принимается на основании физических законов, устанавливающих связь между ними. Эта связь может быть представлена в виде формулы, называемой формулой размерности.

Теория размерностей основана на двух положениях:

1) отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения. Например, отношение двух площадей не зависит от того, в каких единицах будут измеряться площади;

2) всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это положение в теории размерности называют П-теоремой.

Не приводя доказательств, укажем, что из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, т.е.

, (9.10)

где и- размерность основных единиц.

Математическое выражение П-теоремы можно представить в таком виде: если размерная величина а является функцией независимых между собой размерных величин , т.е.

, (9.11)

где - число основных размерных величин, то безразмерных комбинаций Пi указанных размерных величин могут быть представлены в виде

;

;

................................

. (9.12)

Для примера установим зависимость коэффициента сопротивления крыла . Допустим, чтозависит от следующих размерных величин: плотности, вязкости, скорости полета V и линейного размера крыла l. Тогда

. (9.13)

Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерную комбинацию указанных физических величин, представив их размерность степенным одночленом

. (9.14)

Для нахождения показателей a, d, с и п подставим в эту формулу значения размерностей физических величин в некоторой системе единиц. Выберем международную систему СИ. Тогда будем иметь

. (9.15)

Подставив эти величины в степенной одночлен, получим

, (9.16)

откуда относительно основных единиц измерения будем иметь три следующих уравнения

для кг: a + d = 0;

для м: - 3a - d + c + n = 0;

для сек:- в - с = 0. (9.17)

Решим эту систему, считая один из показателей степени, например п, известным. Получим а = с = п; d = - п. Таким образом, найдем безразмерную величину, от которой зависит

. (9.18)

Следовательно, зависит от числаRe. Показатель степени числа Re можно найти из эксперимента или каких- либо дополнительных соображений о механизме сопротивления крыла.

Аналогичным образом с помощью теории размерности можно получить и другие числа подобия для гидродинамических процессов.