Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Kontrolnye_raboty_No3_i_No4

.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
845.44 Кб
Скачать

1.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1.Контрольные работы необходимо выполнять чернилами

вшкольной тетради, на обложке которой привести сведения по следующему образцу:

Контрольная работа № по физике студента ФВЗО, группы РК-031

Шифр251021 Иванова И.И.

2.Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, определяются по таблице вариантов в соответствии с последним номером зачётной книжки (шифром).

3.Условия задач в контрольной работе надо переписывать полностью без сокращений.

4.Решение задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это возможно, даётся чертёж.

5.Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условиях задачи.

6.Все вычисления следует проводить в единицах СИ с соблюдением правил приближённых вычислений.

7.Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решение которых оказалось неверным.

1

2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

2.1.Электростатика

2.1.1.Основные законы и формулы

1.Напряженность и потенциал поля точечного заряда

 

1 q

1 q

E

 

 

 

r;

 

 

 

.

4 0

r3

4 0

r

2. Принцип суперпозиции электростатических полей

n

 

n

 

E Ei ;

i

i

1

i

1

3.Линейная, поверхностная и объемная плотность зарядов

 

dq

 

dq

 

dq

 

 

;

 

 

;

 

 

.

dl

ds

dV

4. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

 

 

1

N

1

 

ФE

EndS

qi

dV,

0

 

 

 

i 1

0 v

где qi – алгебраическая сумма зарядов, охватываемых поверхностью.

5. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

 

 

 

 

 

El

 

 

 

E

 

i

 

j

 

k ;

 

.

 

 

z

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

l

6.Циркуляция вектора напряженности

Eldl 0.

7.Работа сил электростатического поля

A12 q 1 2

1

или A12 q Eldl.

 

2

 

2

8.Поляризованность диэлектрика

n

PPi / V,

i 1

где Pi – дипольный момент i-ой молекулы; V – объем диэлектрика.

Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля

P 0 E ,

где – диэлектрическая восприимчивость вещества. 9. Вектор электрического смещения

D 0E P, или D 0E,

где = 1 + - диэлектрическая проницаемость вещества. 10. Теорема Гаусса для электростатического поля в

диэлектрике

n

ФD DndS qi,

S i 1

n

где qi – алгебраическая сумма сторонних электрических

i 1

зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности. 11. Условия на границе раздела двух диэлектриков

D2n D1n ;

E2

E1 .

12. Поле в однородном диэлектрике

E E0 / ;

D D0 ,

где E0 и D0 - напряженность и электрическое смещение внешнего поля.

13. Напряженность электрического поля у поверхности проводника

E / 0 ,

где – поверхностная плотность зарядов.

3

14.Электроемкость уединенного проводника и

конденсатора C q / ; C q / ( 1 2 ) . 15. Ёмкость плоского конденсатора

C 0 S / d ,

где S – площадь каждой пластины; d – расстояние между пластинами.

16. Емкость цилиндрического конденсатора

C 2 0 / ln(r2 / r1 ) ,

где

- длина обкладок конденсатора; r1 и r2 - радиусы

коаксиальных цилиндров .

 

 

 

 

 

 

17. Емкость сферического конденсатора

 

 

 

C 4 rr /(r r),

 

 

 

 

 

0

1

2

2

1

где r1 и r2 - радиусы концентрических сфер.

 

18.

Емкость системы конденсаторов при последова-

тельном и параллельном соединении

 

 

 

1

n

1

 

 

n

 

 

 

 

;

C Ci .

 

 

 

C

Ci

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

19.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

 

i -

 

 

W

12 qi i

,

где

потенциал,

создаваемый

в той точке, где находится

заряд qi , всеми зарядами, кроме i – го.

 

 

20.

Энергия системы

с непрерывно распределенным

зарядом

 

 

W 12

dV.

 

21.

Энергия заряженного конденсатора

 

 

W = CU2 / 2 = qU / 2 = q2 / 2C.

22. Объемная плотность энергии электростатического

поля

0 E2 . 2

4

2.1.2. Примеры решения задач

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда q1 q2 q3 q 1нКл расположены в вершинах равносторон-

него треугольника. Какой отрицательный заряд q0 нужно

поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение

Все три заряда, расположенные в вершинах треугольника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов, например q3 .

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд q3

действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд q3 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

 

F1 F2 F0

F F0 0,

(1)

где F1, F2 , F0 – силы,

с которыми соответственно действуют

на заряд q3 заряды q1,

q2 и q0 ;

F – равнодействующая сил

F2 и F1.

q

 

 

 

2

 

 

r

q0

 

 

 

 

 

r1

 

 

q1

F0

q

 

 

3 F

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

F2

F

 

5

 

 

Так как силы F и F0 направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

 

 

 

 

 

 

F F0

0

 

 

или F F0 .

 

 

 

 

 

 

Выразив F через

 

F1

и F2

и учитывая, что F1=F2 , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F F

F2

F

2

2F F cos F

 

 

 

 

.

 

2(1 cos )

 

0

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

Применяя закон Кулона и имея в виду, что q1 q2

q3 q,

 

1

 

 

 

q q

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 cos ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

r2

 

4

0

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

qr

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 cos ) .

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из геометрических построений в равностороннем

треугольнике следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

2

 

 

 

 

 

,

 

 

 

cos cos600

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

С учетом этого формула (2) примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q0

q

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки числовых значений получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q0

0,58 нКл.

 

 

 

 

 

 

Пример 2. На тонком стержне длиной l =20см находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a =10 от ближайшего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ

6

на стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.

При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне малый участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).

dr

r

 

Q1

l

a

Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

dF Q1 dr . 4 0r2

Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l , получаем

Q a l dr

Q

 

 

1

 

1

 

Q l

 

F

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

a r2

 

 

 

 

4 0a(a l)

4 0

4

0 a

 

a l

 

 

откуда

4 0a(a l)F . Ql1

Произведём вычисления:

2,5 10 9 Кл/ м 2,5нКл/ м .

Пример 3. Два точечных электрических заряда Q1 = 1нКл

иQ2 = - 2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см

друг от друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда Q1 на расстоянии r1= 9 см и от заряда Q2 на r2= 7 см.

Решение

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в

7

пространстве других зарядов. Напряжённость Е электростатического поля в искомой точке может быть найдена как

геометрическая сумма напряжённостей Е1 и Е2 полей, создава-

емых каждым зарядом в отдельности: Е Е1 Е2 .

Напряжённости электростатического поля, создаваемого

в воздухе (ε = 1) зарядами Q1 и Q2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е

 

Q1

 

 

 

(1),

 

 

Е

 

 

 

Q2

 

 

 

 

(2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4 r2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

0

r2

 

 

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π- α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

Q1

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

 

Е1 направлен по силовой линии от заряда

Q1,

Вектор

так как этот заряд положителен, вектор Е2

направлен также по

силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора

Е

найдём по теореме косинусов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

E2

E2

2E E

2

 

 

cos ,

(3)

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где α – угол между векторами

Е1

и Е2 , который может быть

найден из треугольника со сторонами r1, r2

и d

 

 

 

 

 

 

cos

d2

r2 r

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2rr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2

из (2) в (3), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е

1

 

 

Q12

 

Q22

2

 

 

Q1

 

 

 

Q2

 

 

cos .

(4)

 

 

 

 

 

 

4

0

r4

r4

 

 

r2r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

1

2

 

 

 

 

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, равен алгебраической сумме потенциалов

1 2 . (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

 

 

 

Q

.

 

 

(6)

4 0r

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1

 

Q2

 

Согласно формулам (5) и (6) получим

 

 

, или

4 0r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0r2

 

1

 

 

 

Q2

 

 

 

 

 

 

 

Q1

 

.

 

 

 

4 0

 

r2

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

Произведём вычисления:

 

φ = - 157 В.

 

 

 

Е = 3,58 В/м,

 

 

 

 

Пример 4. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда σ1=0,4 мкКл/м2 и σ2=0,1мкКл/м2. Определить напряжённость электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.

Решение

Согласно принципа суперпозиции электростатических полей,

E E1 E2 ,

где, E1 12 0 и E2 22 0 - напряженности электростатиче-

ских полей, создаваемых первой и второй плоскостями соответ ственно.

9

Плоскости делят всё пространство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и

следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в

первой и третьей областях равны между собой, противоположно направлены и равны сумме напряжённостей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:

E(I) E(III) E E

2

или

1

 

I

II

III

 

σ1

σ2

E1

E2

E(I) E(III) ( 1 2) .

2 0

Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности напряжённостей полей, создаваемых первой и второй

плоскостями: E(II)

E

E

, или

 

1

2

 

 

 

 

 

E(II)

( 1 2)

.

 

 

 

 

 

 

 

2 0

Подставив данные и произведя вычисления, получим

E(I) E(III) 28,3кВ/ м ,

E(II) 17кВ/ м.

Пример 5. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см, r2 =9 см , r3 = 15 см. Построить график Е(r).

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]