- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной), формула интегрирования по частям.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •17. Понятие несобственного интеграла I рода
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •23. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. Определитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
23. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
24. Определитель Вронского.
Определитель Вронского — определитель следующей матрицы:
Применяется для решения дифференциальных уравнений.
Имеют место следующие теоремы: Пусть y1(x),…,yn(x) — (n-1) раз дифференцируемые функции, тогда:
Если y1(x),…,yn(x) линейно зависимы на X, то det(W) = 0.
Если det(W) = 0 хотя бы для одного , то y1(x),…,yn(x) линейно зависимы на X.
Или:
Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что y1(x),…,yn(x) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, что означает линейную независимость функций y1(x),…,yn(x).
25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, где все Pi (i=)= const
будем искать частное решение y=ekx , к – неизвестная постоянная
y’=kekx
y’’=k2ekx
……
y(n)=k(n) ekx
k(n) ekx + P1k(n-1) ekx + … + Pnekx = ekx(k(n) + P1k(n-1) + … + Pn) = 0
ekx0 => k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0, (1)
y=ekx - решение ДУ
(1) – характеристическое уравнение для ЛОДу с постоянными коэффициентами, выражения слева характеристический многочлен.
Решением характеристич уравнения (1) дает систему частных решений ЛОДу, структура ФСР зависит от вида корней характер уравнения.
(1) – алгебраическое уравнение n-ой степени, может иметь не более, чем n корней, обознач-м эти корни характеристического уравнения через k1 ,k2 …kn
Возможны случай
1)все корни хар-го уранения вещественны и различны
2)все корни различны, но среди них есть комплексные
3)среди действительных корней имеются кратные
4)среди комплексных корней есть кратные
Общий алгоритм решения ЛОДу с постоянным коэффициентом
1) составим характер уравнение : y=ekx , k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0
2) найти корни характер уравнения k1 ,k2 …kn
3) по характеру корней находим частное линейно-независимое решение по таблице 1
4) подставляем частное решение на основе Теоремы о структуре общего решения ЛОДУ и получаем общее решениеy =
№ |
Вид корня |
Соответственное решение |
1 |
Действ корень кратности 1 |
ekx |
2 |
Пара корней abi;кратнос 1 |
eаxcosbx , eаxsinbx |
3 |
Действит корень кратност α |
ekx, хekx, х2ekx, х3ekx,…, хα-1ekx |
4 |
Пара сопряж корней α abi |
eаxcosbx , eаxsinbx хeаxcosbx , хeаxsinbx х2eаxcosbx , х2eаxsinbx хα-1eаxcosbx , хα-1eаxsinbx |
26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
Если функция (n+1)-й переменной в некоторой области (n+1)-мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные Ч.П. по переменным , (), то для любой фиксированной точки этой области и при том единственное решение уравнения .
Определенное на и удовлетворяет начальным условиям , , .
Д.У. 2-го порядка c начальными условиями , . Через точку проходят бесконечно много интегральных кривых, и задаем и выбираем единственную интегральную кривую.