- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной), формула интегрирования по частям.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •17. Понятие несобственного интеграла I рода
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •23. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. Определитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
33. Ортогональная система функций:
Определение: последовательность функций называется ортогональной на отрезке , если
СМ. «38. Тригонометрический ряд Фурье» (последний вопрос)
34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
Пусть ограниченная функция удовлетворяет наусловиям:
интервал можно разбить на конечное число интервалов, в которых функция – непрерывная и монотонная.
если xo т. разрыва функции , топределы,. Т.е точкаx0 – т.разрыва 1 рода.
Тогда ряд Фурье функциисходится и имеет место равенство
Замечание. Если представить функцию, периодически продолженную на всю осьOx c периодом , то утверждение теоремы будет справедливо.
35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
Функциональные ряды вида называются степенным рядом по степеням(z-z0), где a1 a2... an R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.
При z0=0 получим .Степенной ряд приz=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться.
Поскольку замена (z-z0)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.
Областью сходимости ряда является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах— расходится
Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда, a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R=). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).
36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.
Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:
Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням () исоответственно ,или представление функции в окрестности точекилистепенным рядом.
Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках =и= 0 соответственно. Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.
Достаточный признак сходимости ряда Тейлора:
Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале<r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю.
Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа
Условие выполняется, если производные всех порядков функции ограничены некоторым числом
37. Ряды Маклорена
Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:
ОСТАЛЬНОЕ СМ. Понятия о ряде Тейлора
38. Тригонометрический ряд Фурье
Рядом Фурье для периодической с периодом T=2π функции y=f(x), определённой на интервале [-π;π], называется тригонометрический ряд:
Коэффициенты ,,находятся по формулам Фурье: