27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой

частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

Пусть дана последовательность вещественных чисел {a1, a2, a3, …, an, …} .

Определение. Выражение a1 + a2 + a3 + …+ an +… называется числовым рядом и обозначается

При этом: числа a1, a2, a3, …, an, … – называются членами ряда; an – называют общим членом ряда (или n-м членом ряда). По заданной последовательность чисел {a1, a2, a3, …, an, …} построим последовательность

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2+ a3, …, S n = a1 + a2+ a3+ …+ an, …

Определение. Числа S1 , S2 , S3 , …, S n , … называются частными суммами числового ряда.

Определение. Если предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину S, называют суммой числового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится.

28. Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд , члены этого ряда являются непрерывной функцией

g(x) при целых х и пусть функция g(x) является убывающей на промежутке,

тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ,

и расходится, если расходится ;

29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.

Теорема Лейбница.

Если =0 (1) иu_n u_n+1>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд

(3) сходится.

30. Равномерная сходимость функционального ряда.

Функциональный ряд u_n(x) называется равномерно сходящимся в некоторой области x, если для каждого сколь угодно малого числа >0 найдётся такое целое положительное числоN(), что приn>N выполняется неравенство=<для всехx из области X.

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.

Достаточным признаком равномерности сходимости является - Признак Вейерштрасса.

31. Теорема и признак Вейерштрасса:

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a1+ a2+…+an+…, т.е.

|U1(x)|a1, |U2(x)|a2, |U3(x)|a3, … |Un(x)|an, …

То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).

Знакоположительный числовой ряд называетсямажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.

Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {an}, что =0, аn(1),

(2) для всех n=1,2… и всех х, то последовательность {} равномерно на E сходится к функции.

Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер, что an<для всех. Но тогда в силу условия (2)для всехи всех х, а это и означает равномерную сходимость последовательности {} к функциина множестве Е.

32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.

1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.

Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.

2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функцииS(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его суммаS^*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =()'=S'(x)

3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функцииS(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования равномерно сходится и имеет суммуS**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда

S**(x)= ==