9. Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a,b]  определена  вещественнозначнаяфункция f.

Рассмотрим разбиение отрезка    — конечное множество попарно различных точек отрезка . Это разбиение делит отрезок[a,b] на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков  d = max(Δxi), называется  диаметром разбиения, где Δxi = xi − xi − 1.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке  .  Интегральной суммой называется выражение 

10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

Определенным интегралом от функции у=наназывается конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (noo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (хi 0)

если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки

, где - подынтегральная функция.

-подынтегральное выражение.

а- нижний предел интегрирования.

в- верхний предел интегрирования.

d- длина наибольшего из отрезков разбиения.

Геометрический смысл интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями ,y=0, x=a, x=b, на [a, b].

11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.

Признак Римана (теоретически). Для существующего определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы .

Функция Дирихле — функция, принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

.

Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана.

12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

Основные свойства определенного интеграла.

,

, где c-const,

Определенный интеграл от ф-ий:

Адитивность определенного интеграла

Если , то

Монотонность определенного интеграла. если, то

Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, ,Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что, где-среднее значение.

13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.

Основные свойства определенного интеграла.

,

, где c-const,

Определенный интеграл от ф-ий:

Адитивность определенного интеграла

• Монотонность определенного интеграла . если , то

• Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, ,

• Если , то

14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами

1.Пусть на отрезкеиинтегрируемая функция тогда,; (аналогично, еслина отрезке, то).

2.Если функция интегрируема на, и, то.

3.Если функция интегрируема на, тотоже интегрируема наи имеет место следующее неравенство:.

БРЕЙСЯ! НЕТУ ГРАФИЧЕСКОЙ ИЛЛЮСТРАЦИИ! РИСУЙ САМ!

15. Интегралы с переменным верхним пределом.

Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], тогда она интегрируема на любом отрезке [a, x], где a £ x £ b и имеет смысл интеграл

,

Интегралы с переменным верхним пределом

который представляет собойфункцию от х и называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции f (x) на отрезке [a, b] является первообразной для подынтегральной функции, т.е. для любого x Î [a, b]

16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением

Пусть вокруг осиOx вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезкоми прямымиx=a и x=b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, проведенной через произвольную точку x оси Ox (), есть круг с радиусом . Следовательно,.

Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений (), получаем

(1)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямымиx=0, y=c, y=d (c<d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, по аналогии с формулой (1), равен