- •1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- •8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- •9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- •10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- •11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- •12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- •14. Теорема о структуре общего решения лнду
- •15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- •16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- •17. Необходимый признак сходимости.
- •23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- •25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- •1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- •2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- •3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной), формула интегрирования по частям.
- •9. Понятие интегральной суммы.
- •10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- •11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- •17. Понятие несобственного интеграла I рода
- •18. Понятие несобственного интеграла II рода
- •19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- •21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- •22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- •23. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- •24. Определитель Вронского.
- •25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- •26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- •27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- •28. Интегральный признак Коши.
- •29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- •30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- •32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •33. Ортогональная система функций:
- •34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- •35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- •36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- •37. Ряды Маклорена
- •38. Тригонометрический ряд Фурье
3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной), формула интегрирования по частям.
Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.
Интегрирование по частям. Теорема.Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем
Замена переменной. Теорема. Пусть функция x = j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и j : Т ® X. Тогда если на множестве X функция y = f (x) имеет первообразную F(x), то на множестве Т функция F(j(t)) является первообразной для функции f (j(t)) j¢ (t). Из теоремы следует, что
.
4.Интегрирование рациональных функций.
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:
Qn(x) = (x – a)k…(x – b)r (x2 + p x + q)l… (x2 + p x + q)s , где многочлены (x2 + p x + q) не имеют действительных корней.
3. Представим дробь Pm(x) /Qn(x) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.
6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.
7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.
8. Проинтегрируем простейшие дроби.
5. Метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей.
Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с вещественными коэффициентами)
Qn(x) = a (x - x1) a (x - x2) b …(x2 + p x + q)l … (x2 + r x + s) m ,
где x1, x2,… - вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s) - квадратные трехчлены, не разложимые на вещественные множители (a+…+ b+ l +…+ m = n ). Тогда имеет место разложение
где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , … - вещественные числа (некоторые из которых могут быть равны нулю).
6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы вида , гдеn и m – целые.
1. Если n и m – четные, положительные, то применяются формулы понижения степени:
2. Если n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от нечетной степени один множитель.
3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.
универсальная тригонометрическая подстановка
где R – рациональная функция
7. Интегрирование иррациональных функций.
прием выделения полного квадрата и замены полного квадрата на новую переменную
подстановка:
подстановка:
подстановка:
, где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , гдеs – наименьшее общее кратное a, b, g
, где a, b, g …– дробные рациональные числа. Рационализация проводится подстановкой: , гдеs – наименьшее общее кратное a, b, g
Выражение вида где (m,n,p,a,b) – const, называется дифференциальным биномом, интеграл от него решается при помощи подстановки Чебышева.
8. Интегрирование дифференциального бинома. Теорема
Интеграл вида , гдеm, n, p – рациональные числа
выражается через элементарные функции только в следующих случаях:
p < 0 – целое Þ x = t s, d x = s t s-1 d t , s – нок знаменателей m и n;
–целое Þ , s – знаменатель дроби
p= к/s, ;
– целое Þ ,
s – знаменатель дроби p= к/s,